Вопросы для подготовки к экзамену

Вопросы для подготовки к экзамену для студентов гр. АК3-41 2 курс 4 семестр1. Комплексное переменное, комплексная плоскость. Алгебраическая форма записи комплексного числа.Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Арифметические действиянад комплексными числами. Возведение в n-ую степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.2. Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности комплексных чисел. Связь с пределамипоследовательностей, составленных из действительной и мнимой частей. Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана.3.

Функции комплексного переменного. Определение и геометрическая интерпретация.4. Предел функции комплексного переменного. Связь с пределами действительной и мнимой частей функциикомплексного переменного. Непрерывность функции комплексного переменного.5. Элементарные функции комплексного переменного ex, cos z, sin z, ch z, sh z. Логарифмическая функция. Обратныетригонометрические и гиперболические функции. Обобщенные степенная и показательная функции.6.

Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Вычисление значений элементарных функций.7. Производная и дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана – необходимые идостаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного (с выводом). Условия Коши-Римана вполярных координатах (с выводом). Регулярность функции в точке и в области.8. Правила дифференцируемости функций комплексного переменного.9. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Понятие о конформном отображении.10. Интеграл от функции комплексного переменного. Определение, формула для вычисления и сведение копределенному интегралу. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.11. Гармонические функции, их связь с регулярными. Сопряженные гармонические функции. Восстановлениерегулярной функции по ее действительной или мнимой части.12. Интегральная теорема Коши (с доказательством) для односвязной и многосвязной области.13. Независимость от пути интегрирования интеграла от регулярной функции комплексного переменного.

Интеграл спеременным верхним пределом. Неопределенный интеграл от функции комплексного переменного. Формула НьютонаЛейбница.14. Интегральная формула Коши (с выводом). Формула для n-ой производной от регулярной функции.15. Следствия из интегральной формулы Коши: неравенство Коши, теорема о среднем для регулярных и гармоническихфункций, теорема Лиувилля и теорема Мореры. Принцип максимума модуля регулярной функции.16. Комплексные числовые ряды, абсолютная и условная сходимость. Связь сходимости комплексных рядов исходимости рядов, составленных из действительной и мнимой частей членов комплексных ряда. Необходимый признаксходимости. Критерий Коши сходимости комплексных ряда.17.

*** Степенные ряды. Теорема Абеля (с доказательством). Круг сходимости комплексных степенные рядов, интервалсходимости действительных степенных рядов. Радиус сходимости степенного ряда.18. *** Функциональный ряд, его область сходимости. Абсолютная и равномерная сходимость. Необходимый признаксходимости и равномерной сходимости функционального ряда. Критерий Коши сходимости и равномернойсходимости функционального ряда.19. *** Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда (с доказательством).

Признак Абеля –Дирихле равномерной сходимости функционального ряда (без доказательства).20. *** Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов (с доказательством): непрерывность суммы,почленный предельный переход, почленное интегрирование и дифференцирование.21. Свойства равномерно сходящихся комплексных функциональных рядов (с доказательством): регулярность суммыряда регулярных функций, равномерная сходимость ряда из произведения членов двух рядов, один из которых сходитсяравномерно, а члены другого ограничены в совокупности.22. Изолированные особые точки функции комплексного переменного.

Разложение функции, регулярной в кольце, в рядЛорана. Формула для коэффициентов ряда Лорана.23. Разложение функции, регулярной в круге, в ряд Тейлора. Формулы для коэффициентов ряда Тейлора. РядыТейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

Формула Эйлера.24. Классификация изолированных особых точек функции комплексного переменного по значению предела функциив этих точках. Связь типа особой точки с видом лорановского разложения функции в окрестности данной особой точки.25. Бесконечно удаленная точка как изолированная особая. Классификация изолированных бесконечно удаленныхособых точек по значению предела функции в этих точках. Связь типа изолированной бесконечно удаленной особойточки с видом лорановского разложения функции в окрестности данной особой точки.26.

Вычет функции в изолированной особой точке (конечной). Связь вычета с одним из коэффициентов ряда Лорана.Вычет функции в устранимой (конечной) особой точке.27. Нули регулярной функции комплексного переменного. Порядок нуля. Связь нулей и полюсов.28. Формулы для вычисления вычета в полюсе первого порядка (с выводом), в полюсе n-ого порядка (с выводом).29. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Связь этого вычета с одним из коэффициентов ряда Лорана.30. Теорема Коши о связи интеграла от функции комплексного переменного и вычетов этой функции (сдоказательством). Теорема о сумме вычетов (с доказательством).31.

** Вычисление при помощи вычетов интегралов от действительной рациональной функции, зависящей от синуса икосинуса аргумента.32. **; *** Вычисление при помощи вычетов несобственных интегралов от действительной функции. Лемма Жордана(баз доказательства). Вычисление интеграла Дирихле.33. * Евклидово пространство. Ортонормированная система (ОНС). Евклидово пространство функций, кусочнонепрерывных на отрезке. Скалярное произведение и норма в этом пространстве.

Тригонометрическая система функцийкак пример ОНС.34. * Ортогональность тригонометрической системы функций (с вычислением некоторых определенных интегралов оттригонометрических функций).35. * Ряд Фурье по ортонормированной системе и коэффициенты Фурье. Частичная сумма ряда Фурье. Определениесходимости ряда Фурье по норме. Теорема о минимизации нормы разности коэффициентами Фурье.

Следствия из этойтеоремы. Неравенство Бесселя.36. Тригонометрический ряд Фурье (как ряд Фурье по тригонометрической системе функций). Формулыкоэффициентов Фурье и неравенство Бесселя для тригонометрического ряда Фурье. Формулы коэффициентов Фурье инеравенство Бесселя для тригонометрического ряда Фурье, записанного в наиболее употребительной форме.37. * Замкнутые ортонормированные системы.

Равенство Парсеваля.38. * Полные ортонормированные системы. Теорема о полноте замкнутой ортонормированной системы. Теорема осовпадении элементов полной ортонормированной системы с одинаковыми рядами Фурье.39. * Тригонометрический полином. Равномерное приближение функции тригонометрическими полиномами. ТеоремаВейерштрасса (без доказательства).

Теорема о замкнутости тригонометрической системы функций (баз доказательства).Равенство Парсеваля для тригонометрической системы функций.40. *Комплексная форма ряда Фурье.41. *; *** Тригонометрический ряд как ряд Фурье по Теоремы о ой системе функций. Теоремы о равномернойсходимости тригонометрического ряда и следствия из них (без доказательства).42. *; *** Ядро Дирихле (с выводом). Лемма о представлении интегралом частичной суммы ряда Фурье, содержащимядро Дирихле (без доказательства).

Лемма Римана (без доказательства).43. *; *** Обобщенная левая и правая производные. Теорема о достаточном условии поточечной сходимоститригонометрического ряда и о сумме этого ряда. Функции, кусочно дифференцируемые на отрезке. Следствия изуказанной теоремы (без доказательства). (Для желающих еще: принцип локализации Римана).44. * Функции, кусочно монотонные на отрезке. Условия Дирихле.

Теорема Дирихле о достаточном условиипоточечной сходимости тригонометрического ряда и о сумме этого ряда.45. * Функции, имеющие кусочно непрерывную производную на отрезке. Теорема о равномерной сходимоститригонометрического ряда к породившей его функции и о равномерной сходимости ряда из модулей (бездоказательства). Формулы для оценки малости коэффициентов Фурье функции, имеющей кусочно непрерывнуюпроизводную n – ого порядка на отрезке   ,  (без доказательства).46. * Теоремы о дифференцировании и интегрировании тригонометрических рядов Фурье.47.

* Признак Дирихле. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке   ,   . Формулы длякоэффициентов Фурье.48. * Сдвиг отрезка разложения. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезкеФормулы для коэффициентов Фурье.49. * Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке a, a  2 . l, l  . Формулы для коэффициентов Фурье.50.

* Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье на отрезке  a, a  2l  . Формулы для коэффициентовФурье.51. * Разложение четных функций в тригонометрический ряд Фурье на отрезкахкоэффициентов Фурье.  ,  и  l, l  . Формулы для52. * Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье на отрезках   ,  и  l, l . Формулыдля коэффициентов Фурье.53. *; *** Вычисление сумм числовых рядов с помощью рядов Фурье.54.

*; *** Интеграл Фурье.55. *; *** Понятие о преобразовании Фурье.-------------------------------------------------------------------------------------------------*** и ; *** - эти вопросы в билеты не войдут* - по этим вопросам дополнительно можно смотреть книгу Е.А. Власова «Ряды» (вып. IX):В. 33. п.