Л.Г. Бебчук , Ю.В. Богачев, С.В. Бодров, В.И.Кузичев, Л.И. Михайловская - Сборник задач по курсу «Прикладная оптика», страница 11

Используяn' 2свойства и соотношения для апланатических точек, можно образоватьапланатические мениски шести типов.Нарушение гомоцентричности вышедшего из оптической системыосевого пучка лучей можно характеризовать разностью продольных отрезковs′0 для параксиальных лучей и s′ для лучей, проходящих через плоскостьвходного зрачка на конечных высотах: Δs’ = s’-s’o . Эта разность называетсяпродольной сферической аберрацией.

Наличие сферической аберрацииприводит к тому, что в плоскости идеального изображения получаетсякружок рассеяния, диаметр которого равен удвоенному значению Δy′. Этавеличина называется поперечной сферической аберрацией и связана спродольной сферической аберрацией соотношением Δy’ = Δs’.tgσ΄.Продольнаясферическаяаберрацияможетбытьпредставленамногочленом, содержащим четные степени параметра σ′ или m:Δs’ = a . tg2σ΄+ b . tg4σ’+ c . tg6σ’+…,где коэффициент а определяется через SI и характеризует аберрацию третьегопорядка, коэффициент b характеризует аберрацию пятого порядка, сседьмого порядка и т.д.Если осевая предметная точка расположена в бесконечности, то дляприведенной оптической системы (условия нормировки α1=0, α′q=1, h1=1,β1=1,H1 =Spf′, I=-n1) продольная и поперечная сферические аберрациитретьего порядка вычисляются по формулам:ΔS 'Для2=−m SI ,III2f'предмета,Δy'III3= − m SΙ .III2 f '2расположенногонаконечномрасстоянии(условияn′α′q=1, α = q β , h1= s1α1, β1=1, H1=sP , I=-n′q(s1-sP)β),1 n1нормировкипоперечнаяΔy'сферическая=−m3SΙаберрация32nq, ⎛⎜ s − s ⎞⎟ α 3P⎠ 1⎝ 1.третьегопорядкабудетравнаМеройΔy' =меридиональнойкомыявляетсявеличина( y 'в + y ' н )− y' гл , где: y′в, y′н, y′гл- ординаты пересечения соответственно2верхнего, нижнего и главного лучей с плоскостью изображения.Для предмета, расположенного в бесконечности, при n′q=1 иприведенной системе, меридиональная кома третьего порядка вычисляетсяпо формулеΔy'III=−3m 2tgωS II.2f'Меридиональная составляющая поперечной аберрации третьегопорядка для приведенной оптической системы и бесконечно удаленногопредметаΔy'IIIпринеравенственулюSIIIиопределяетсяSIV= − m tg 2 ω(3S III + S IV ) , если предмет и изображение находятся в2воздухе, то есть n′q=n1=1.Расстояния по оптической оси от плоскости идеального изображениядо точек схода меридионального и сагиттального пучков, обозначаемыесоответственноz 'm = −z′mиz′s,вычисляютсяпоформуламf' 2f'tg ω(3S + S ) , z ' = − tg 2ω(S III + S ) .IIIIVIVS22Тогда астигматическая разностьΔz 'a = z ' s − z 'm = f ' tg 2 ω ⋅ S III .Значение дисторсии для данной точки поля определяется разностьюмежду ординатойу΄гл главного луча и ординатой у΄о, соответствующейидеальному изображению: Δу΄ = у΄гл - у΄о.Приближенное значение дисторсии оптической системы можновычислить по формулам аберраций третьего порядка, используя суммуSV.ЗейделяΔy'III=−Длябесконечноудаленнойпредметнойплоскостиtg 3ωf ' S V.

А для предметной плоскости, расположенной но2n'qy 3SVконечном расстоянии, линейная дисторсия равна Δy' = −.III2n'q (s − s )31 PАберрация оптической системы, при наличии которой изображенияпредметной точки, образуемые в лучах различных длин волн, получаются вразных местах вдоль оптической оси, называется хроматической аберрациейположения, или хроматизмом положения. Хроматизм положения Δs′λ1,λ2измеряется разностью расстояний для двух длин волн λ1 и λ2:Δs'λ ,λ1 2= s'oλ1− s'oλ2.Приближенно хроматизм положения можно вычислить по формулеΔs'λ ,λ1 2=SΙxp, где SIхр- первая хроматическая сумма.n'q α'2qХроматизм положения одиночной тонкой линзы, расположенной ввоздухе, для бесконечно удаленного предмета равен Δs'λ ,λ1 2=−f',vгде ν- коэффициент дисперсии материала линзы. Если предмет находится наконечном расстоянии, то хроматизм положения тонкой линзыΔs'2= − s' .λ ,λf 'v1 2Условие ахроматизации двухлинзового склееного объектива,расположенного в воздухе, для бесконечно удаленного предметаΦΦ1 =− 2 .νν12Вторичный спектр в области аберраций первого порядка можновычислить для двухлинзового склеенного объектива по формулеΔs'λ ,λ1 2f ' (γ − γ )1 2 , где ν1, ν2 и γ1,γ2 - коэффициенты дисперсии иν −ν1 2=−относительные частные дисперсии соответственно для материалов первой ивторой линз объектива.Другой хроматической аберрацией первого порядка, проявляющейсяуже в параксиальной области, является хроматическая аберрация увеличения,илихроматизмувеличения.Хроматизмувеличенияколличественнооценивается по разности значений y′ для граничных длин волн, то естьΔy'λ ,λ1 2= y'λ1− y'λ2.Приближенноy'хроматизмувеличениявычисляютпоформуле⎛ y'⎞Sλo IIxp ⎜ λo ⎟k =q, где SIiхр- вторая хроматическаяΔy'==⎜⎟ ∑ H CKKλ ,λII⎜⎟⎜⎟ k =11 2⎝⎠сумма;Hk-высотаточкипересечениясповерхностямивтороговспомогательного луча.Формулы аберраций третьего порядка для плоскопараллельнойпластинки:Δs'z 'm =III=(n 2 − 1)d ⋅ tg 2σ;2n 33(n 2 − 1)d ⋅ tg 2 ω;32n(n 2 − 1)d ⋅ tg 3ωΔy'=;3IIIn2дΔy'z's =Δs'III K(n 2 − 1)d ⋅ tg 2ω;32nλ ,λ1 2=(n − 1)d;n 2ν=3(n 2 − 1)d ⋅ tg 2 σ ⋅ tgω;2n 3Δz 'a = −Δy'λ ,λ1 2(n 2 − 1)d ⋅ tg 2ω;3n=(n − 1)d ⋅ tgω.n 2νМеридиональная составляющая поперечной аберрации третьего порядкадля приведенной оптической системы и бесконечно удаленного предметабудет иметь вид:233S Ι3m 2tgωS ΙΙ mtg ω(3S III + S IV ) tg ωf ' SVmΔy' = −−−−;IIInn22'2'2''fnqqq2n'q f 'Δy ′ = Δy'+ Δy '+ Δy'+ Δy'.IIIIIIIIIIIIIIIKKPСдСимволами SI, SII, SIII, SIV и SV обозначены суммы Зейделя,определяемые через параметры вспомогательных лучей, а SIхр и SIiхрхроматические суммы:k =qS = ∑ h P ;Ι k =1 k kδβk =qk ;S = ∑ h PΙΙ k =1 k k δαk⎛ δβk =qS = ∑ h P ⎜⎜ kΙΙΙ k =1 k k ⎜ δαk⎝⎞⎟⎟⎟⎠2;⎡⎛ δβk =q ⎢S = ∑ ⎢h P ⎜⎜ kV k =1 ⎢ k k ⎜ δαk⎝⎢k =q δ(α n )k k ;S = ∑IV k =1 h n nk k k +1⎣k =qSh С ;=Ιxp k∑=1 k kгде Pk⎛ δα= ⎜⎜ k⎜ δμk⎝⎞⎟⎟⎟⎠2hk+1=hk-dkαkδαβ;ΔnδαC = k ⋅δ k = kk δμnδμkkk⎛ n⎞⎜ k ⎟α=⎟α kk +1 ⎜⎜ n⎟⎝ k +1 ⎠n⎡⎛⎢ ⎜1 − μ k⋅ δ⎢ ⎝⎢ νk⎣⎢⎞⎤⎟⎥⎠ ;⎥⎥⎦⎥⎤δ(α n ) ⎥ δβk k ⎥ k ;+ I2h n n⎥ δαk k k +1 ⎥ k⎦I =-n1α1(s1-sP)β1 ;n−n Hk β + k +1 k ⋅ kk +1 nknrk +1k +1k=2k =qS=− ∑ H C ,ΙΙxpk =1 k kδ(α μ ) ; μ = 1 ;k kk nkδβk=βk+1-βk ; δ(αkμk) = αk+1μk+1-αkμk ;⎞⎟⎟⎟⎠δαk=αk+1-αk ;−n hk+1k⋅ k;+nrk +1kn;Hk+1=Hk-dkβk+1;n −nn −1λλoλo.; γ = 1ν =k n −nk n −nλλλλ1212Выражения сумм Зейделя, зависящие от параметра лишь первоговспомогательного луча, имеют следующий вид:i=mS = ∑ hi Pi ;Ι i=1i =mi =mS = ∑ H i Pi − I ∑ Wi ;ΙΙ i=1i=1i=m H i2i =m Hi =mS = ∑Pi − 2 I ∑ i Wi + I 2 ∑ Φ i ;III i=1 hi=1 hii=1ii=m H i3i=m H i2i =m HS = ∑Pi − 3I ∑Wi + I 2 ∑ i (3 + πi )Φ i ;V i=1 h 2i=1 h 2i =1 hiiiSi =m= ∑ Φ i πi ;IV i=1k =qk =q⎛⎜ δαгде Pi = ∑ Ρ = ∑ ⎜ kk =1 k k =1⎜⎝ δμ k⎞⎟⎟⎟⎠2δ(α μ ) ;k kk =qk =q δαk δ(α μ ) ;Wi = ∑ W = ∑kk kδμk =1k =1 kI=-n1α1(s1-sp)β1 ;α − αiпри s1=-∞ , I=-n1h1β1 ; Φ i = i+1;hit=z ϕt=z Φπi = ∑ t = 1 ∑ t .t =1 nt Φ i t =1 ntspПри условии нормировки α1=0 , α′q=1 , h1 = 1 , β1=1 , H =дляf'тонкого компонента :SΙ = Ρ;2S III = H P + 2 H W + 1 ;S ΙΙ = H P + W ;32S IV = π = 1 ≈ 0,7 ; S V = H P + 3H W + 3,7 H .nВыражения для основных параметров2⎡ ⎛⎤⎞⎛⎞Ρ = ⎛⎜ n ⎞⎟ ⎢1 − ⎜⎜ 2 + 1 ⎟⎟α + ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟α 2 ⎥ ;n ⎠ 2 ⎝ n ⎠ 2 ⎦⎥⎝ n − 1 ⎠ ⎣⎢ ⎝Ρ = P min⎡+ ⎢⎢1 −⎣⎢⎤⎥ ⋅ ⎡W⎥ ⎢⎣2n + 1 ⎦⎥1()2⎤1−,2(2 + n )⎥⎦PиWW=тонкой линзы имеют видn ⎡⎢ (n + 1)α 2 ⎤⎥1−⎥nn −1 ⎢⎣гдеP min =;⎦(4n − 1)n4(2 + n)(n − 1) 2; n-показатель преломления стекла линзы; α2- угол первого параксиального лучав стекле.При n = 1,5 параметры линзы Ρ = 21α 2 − 24α + 9 ; W = 3 − 5α .222Если sр=ар=0 , то , Η = 0 , а S I = Ρ ; S II = W ; S III = 1 ; S IV = 0,7 ;SV = 0 .Для сферического зеркала при s1=-∞ , α1=0 , α΄ =1 , β1=1 , n´=-n=1,h = 1 ,;H=apf'2H1H 1; S I = − ; S II = − + ; S III = −+ H + 1 ; S IV = 1 ;444 232HH+3− 2H .SV = −42Нечетные значения углов α тонкого объектива из положительныхлинз одинаковой оптической силы определяются по формулам:α(2n + 1)(2t − 1)= t −1 ; αo =; α=t ,2t −12t +1 z2tz2(n + 2) zгде t –номер линзы объектива; z – число линз одинаковой оптической силы;n – показатель преломления материала линз.

При этом углы α02tсоответствуют минимальной сферической аберрации каждой линзы.Нечетные значения углов α тонкого конденсора из положительныхлинз одинаковой оптической силы вычисляются следующим образом:α2t +1=α(2n + 1)(α)+α1− β2t +12t −1; αo =2t2t −1z2(2 + n)+при α1=β1 , α2z+1=1 , h1=s1β , гдеβ – линейное увеличение конденсора.Задачи11.1. Найти положение апланатических точек относительно вершинывогнутой сферической преломляющей поверхности, имеющей радиус 200 мм,если показатели преломления равны: а) 1,7 и 1; б) 1 и 1,7.11.2. Определить конструктивные параметры двух апланатическихменисков при условии: линейное увеличение менисков равно 1, предметрасположен перед менисками на расстоянии 100 мм, толщина менисков 10мм, а показатель преломления стекла 1,5.

При решении использоватьсвойства и соотношения второй и третьей пар апланатических точек.11.3. Вычислить аберрации 3-го порядка сферического вогнутогозеркала при условии, что предмет расположен в бесконечности, радиусзеркала 100 мм. Относительное отверстие 1:5, угловое поле 6о для разныхположений входного зрачка: -100 мм; -50 мм и 0.11.4. Определитьмонохроматическиеаберрации3-гопорядкаплоскопараллельной пластинки, изготовленной из стекла с показателемпреломления 1,65, толщиной 40 мм, используемой в телескопическойсистеме и расположенной за объективом, фокусное расстояние которого 200мм, относительное отверстие 1:5, а угловое поле 12 о.11.5. Какизменятсяхроматические аберрации 1-го порядкапентапризмы, используемой в трубе Кеплера, при замене стекла К8 на стеклоТФ1, если синус переднего апертурного угла равен 0,12 , угловое поле 12о ,а диаметрвходной грани призмы 25 мм ?11.6.