TEORIYA PODOBIYA V LAZERNYH SISTEMAH (Раздаточный материал)

ЗАГИДУЛЛИН Р.Ш.стр. 120.02.03Теория подобия в расчетах лазерных системИзвестно, что уравнения, представляющие собой математическую модель процесса, характерны тем, что припроизвольном выборе основных единиц вид уравнения не изменяется. Правило Фурье говорит о том, что всечлены любого уравнения, описывающего какой-либо процесс, всегда имеют одинаковую размерность. Такоеуравнение всегда можно привести к безразмерному виду, если разделить его на один из членов уравнения.Обозначая результат деления πi, имеющие вид безразмерных степенных комплексов, параметров,характеризующие рассматриваемый процесс, их называют критериями подобия.

Критерии подобия численноодинаковы для сходственных точек подобных процессов.Условия необходимые и достаточные для существования подобия обусловлены тремя теоремами теорииподобия:- теорема Ньютонаявления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически,математически и так далее) имеют определенные сочетания параметров, называемыекритериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений.- π-теоремавсякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системеединиц, может быть представлено функциональной зависимостью между критериямиподобия, полученными из участвующих в процессе параметров (эта теорема устанавливает возможность представления интеграла дифференциального уравненияфизического процесса не как функции параметров и системы, в которой проистекают этипроцессы, а как функции соответствующим образом построенных некоторыхбезразмерных величин - критериев подобия).- теорема Кирпичева-Гухмананеобходимым и достаточным условием для создания подобия являетсяпропорциональность сходственных параметров входящих в условия однозначности иравенства критериев подобия сопоставляемых явлений.Определение критериев подобия по уравнениям исследуемого процесса возможно в двух случаяхматематического описания физического процесса:- все члены уравнения есть однородные функции параметров, определяющие протекание этого процесса, и ихпроизводных; при этом все члены уравнения имеют общий множитель, который может быть вынесен за знакфункциональной зависимости,- часть членов уравнения - неоднородные функции параметров не допускающие вынос за знак функцииtмножителя (например, функции вида sin(ωt + φ ); exp(− ) ) и так далее).τДля определения из уравнения процесса, содержащего л членов, критериев подобия способом интегральныханалогов необходимо:¬ разделить все члены уравнения на какой-либо из них,¬ опустить символы связи между членами, символы дифференцирования и интегрирования, а такженеоднородные функций,¬ к полученным в результате этих операций ( n − 1) основным критериям подобия необходимоприсовокупить а дополнительных критериев - аргументов неоднородных функций, входящих вчлены уравнения.Общее число критериев подобия, найденных способом интегральных аналогов равноk j = (n − 1) + aЧисло возможных форм записи ( n − 1) основных критериев, получаемых приведенных выше способомприведения уравнения к безразмерному виду, равно числу членов уравненияFj = nРассмотрим определение критериев подобия способом интегральных аналогов на примере балансныхуравнений на этапе излучения импульса, при этом предположим, что добротность резонатора включаетсямгновенно.1.

Запишем балансные уравнения в видестр. 1 из 4ЗАГИДУЛЛИН Р.Ш.стр. 220.02.03 du dt = vµ ( χy − k пот )u dy= −2 B(ν )uy dtгде индексы ( i ) и ( j ) условно опущены.2. Опустим символы связи “-“;”+”;”=” между членами уравнения du dt vµ ( χy k пот )u dy− 2 B(ν )uy dtduϕ1 = ;ϕ 2 = vµχy;ϕ 3 = vµk пот udtduϕ 4 = ;ϕ 5 = −2 B(ν )uydt3. Опустим в выраженияхϕ1* =utϕ 4* =4. Разделимϕ1иϕ4символы дифференцированияytϕ1* , ϕ 2наϕ 3 .

Для первого уравнения системыϕϕuvµχyuχy1==; π2 = 2 ==ϕ 3 tvµk лот u tvµk лотϕ 3 vµk пот u k пот*ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 имеют одинаковую размерность, следовательно, π 1π1 =здесь*1иπ2есть безразмерные критерииподобия первого уравнения системы.Разделимϕ5наϕ 4*и для второго уравнения системыπ5 =2 B(ν )uyt= 2 B(ν )utyздесьϕ 5 , ϕ 4*одинаковую размерность, следовательно,π 5 - безразмерный критерий подобия для второгоуравнения системы.5. Преобразуем полученные выражения для критериев подобия в более удобную форму записи посредствомих перемножения, деления, возведения в степень, умножения на постоянный коэффициент,π 1* = (π ) −1 = vµk пот t2 B (ν )ut 2 B(ν )π 5* = π 5π 1 ==uvµk плт t vµk пот6.

Назовем критерий S обобщенным коэффициентом усиления лазера ( π 2 ).S=χyk потКритерийZ=π*5назовем обобщенной амплитудой излучения в лазере2 B(ν )uvµk потКритерийπ*1назовем обобщенным временемτ. Откуда можем записать соотношения:стр. 2 из 4ЗАГИДУЛЛИН Р.Ш.стр. 320.02.03Таблица 1Для исходной моделиy=SДля критериальной моделиk потS=yχvµk потu=Z2 B(ν )1t =τvµk потχk пот2 B(ν )Z =uvµk потτ = tvµk потАналогично можно перейти к безразмерным комплексам и при записи усредненных уравнений в виде χ dI v dt = σ 21∆I − ( β + β Σ ) Id∆= −2σ 21∆Idtгде I - число фотонов проходящих через единицу площади в единицу времени (то есть плотность потокафотонов).β - потери не связанные с резонансными эффектами индуцированного поглощения ииндуцированного испускания фотонов (рассеяния на оптических неоднородностях, нерезонансноепоглощение и так далее).

β Σ - потери на излучение.βΣ =11ln2l R1R 2где l – длина активного вещества. R1, R2 – коэффициенты отражения зеркал резонатора.вынужденного поглощения кванта с частотой ν , для центра линии излученияσ0 =τВσ 21 - поперечникc4π ν 0τ В ∆ν22время жизни возбужденного состояния, ∆ν -∆ν =Γ2πГ- ширина результирующей линии излучения,вакууме, а параметрχ=χν0 -центральная частота линии,с - скорость света вопределяется из соотношения( L − l ) + nlnlL и l длина резонатора и активного образца соответственно, n - показатель преломления кристалла.Проведя определение критериев подобия для этапа излучения импульсов аналогично выше приведенномуслучаю, получим,Для исходной моделиДля критериальной модели∆=Sv( β + β Σ )χσ 21v( β + β Σ )I =Z2 χσ 21χt =τβ + βΣχσ 21v( β + β Σ )2 χσ 21Z=Iv( β + β Σ )β + βΣτt = tχS =∆стр.

3 из 4ЗАГИДУЛЛИН Р.Ш.стр. 420.02.03Система обобщенных уравнений будет иметь вид: dZ dτ = ( S − 1) Z dS= − ZS dτстр. 4 из 4.