Высшая математика (01.04.04 Прикладная математика)

Федеральное гоеударетаееюе бнздьаеонзе образомнельное учреьааенне аь|еюего образования нМосковский госунарсгвенный технический университет имени Н,.Э. Баумана (наннонаньный исснеаоваз еньскнй уннверсн гет)э (МГГУ нм. Н.'.). Баумана) по напрввпенгпо подготовки 01.04.04 Прикнаднаа математика Факблыот Фундаментальные наука (ФН~ Кафедра Высшаа магемагика (ФН-Н 1.

ОВЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ К вступительным испытаниям в магистратуру допускаются лица. имеющие документ )осулйрс!Венного О«)рГ!!Ий О Высшем! ОГ)рйзовании любоп) уре)вня !диплом !)ака)!ВВ1зй. мйгистра или специалиста). !!ицй, предъявившие .нилом х!Гн.истра, могут быть зачислены только на договорной ОСНОВЕ.

При!.м «)суп)сс !т!)!яе!«я па конк, рщ!Ой ~~~о~е по разуть Гйтам йсту пительных испытйний. 1!ро)рамма вступительных испыганий в магистратуру по направлению по:потовки 01.04.04 Прик))влияя математика составлена на основании Федерального государственного образовательнщо стандарта высшего образования подготовки бакалавра по направлению 01.03.04 Прикладная математика и охватывает базовые дисциплины подготовки бакалавров по названному направлсни!о. Программа солергкит описание формы вступительных испытаний, перечень вопросов для вступите:)ьных испыпганий и список Г)И!ературы.

рекомендуемой для под)отовки. 2. ЦЕЛЬ ВстУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Вступит«:!ьиьге испьпаппя призваны ОГ!рслелить с1«пень )оп>в!юсГИ Гн)ступа!Ошс)о к освоении) основной образовгпельной программы магистратуры по направлени!о 01,04.04 Прикладная математика 3. ФОРМА ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Вступит«льные испытания прОВодятся В письменной фОрме В соответстВии с установленным приемной комисси«й М!ПРУ расписанием.

! 10с!11!йкпцсх!у' пред)!а!Т)«тся ОпюГить пнсьм«нно на 10 Вопросов и залач би'н тй, располо)кенных в порядке возрастания трудности и охватывакнних содергкание разделов и тем программы соотп)езствуиз«цнх Всгупительных испытаний. На ответы по вопросам и задачам билета отводится 210 минут. Результаты испы Ганий оцснивгпотся по стобалльиой Гпкале.

Результаты испытаний оглашгиотся не позднее !ем через три рабочих дня. 4. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЬП'АНИЙ Письменное испытание проводится по программе, базирующейся на основной образовательной программе бакалавриата по направлению 01.03.04 Прикладная математика Перечень разделов и тем, включенных в письменное испытание ;1!!! !Г!!1 !. !!!!1Л!..!1)е!)е!)е!)е'1!!Г!Еее! ы!ьее )1)пе))ее)пел Введение 1. Основные понятия матема!л)чсского анализа: пределы и их вычисление; дифференцируемые функции и их свойства: ыногочз)ен '!ейлорв и теорема Тейлора; исследование функций и построение их графиков.

2. Основные понятия линейной й.небры: линейное пространство. оазис; линейный Опера)ОР и е!'0 ма)риГГВ; преООразОВГ)ние матрицы линейноГО ОГ!ератора и приВ«денис к дий) она:!Ьному Виду. Сооствеппые !)!«лй и ~обста~нные Векторы:Гинейно1О Г)Г)ератора. 3. Основные свойства интеграла, Неопределенный и определенный интегралы. Несобственные шззсгр шы.

Кратные интегралы и их вычисление, 4. Основнгае свойсгва числовых рядов: частичные суммы. сходимость. признаки сходимости. Степепныс ряды. область их сходимости. Приемы разложения функций в степенной ряд. Обыкновенные дифференциальные уравнения 5. Инте| рнрование обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение с разделякццимися пе1зсмсннььми. ~11шейное уравнение и уравнение Бернулли. Однородное уравнение. 6.

Обыкновенныс дифференциальные уравнения и-го порядка. Задача Коши и теорема о существовании и единственное си решения. Методы понижения порядка. 7. Нормальная сисзема обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши и теорема о существовании и единственности решения. Первые интегралы нормальной системы дифференциальных у1завнений и меподы их нахождения. 8. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка.

С.груктура общего решения. Методы построения ~астного решения !метод вариации и метод подбора частного решения при правой части специально~о вида!. 9. Снсгемы линейных дифференциальных уравнений. Понятие фунда~ентальн~Й системы решений. Определитель Вронского и его свойства.. Структура обгцего решения такой системы. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнегнзе системы. Общее решение такой системы. 1О. УстоЙчивость по 31япунову решений систем ооглкновенпых диффе1зенциальных уравнений.

Исследование на усгойчивость положений равновесия !метод функций Ляпунова и метод линейного приближения). Критерий Рауса — Гуркина, Классификация по;южений равновесия двуме!зных линейных сис и м, 11. Преобразование '!ап:иса, его свойства. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами операционного исчисления. Дифференциальные уравнения математической физики 12. Посгановки задач математической физики. Виды краевых условий.

Понятие о корректной зада ге математической физики. ! 3. Линейные и квазилнпейныс дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Квадратичная форма дифференциального уравнения. Классификация линейных дифференциальньгх уравнений. Приведение квазилинсйного дифференциального уравнения от двух псрсменнгях к каноническому виду. Уравнение характеристик, Уравнение характеристик в дифференциалах для уравнений от двух переменных. 14. Понятие гид ьбср сова пространства, ории опальные системы в гильоертовом пространстве, 1'яд Фурье по ортогональной системе, Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

Минимальное свойство ряда Фурье. Примеры ортогональных систем, 15. 1!онятне тригонометрического ряда. '1 ригонометрический ряд как ряд по ортогональной системс. Условия сходимости тригонометрического ряда. 16. Метод Фурье разделения переменных в задачах математической физики. Задачи на собствспныс функции. Задача 1!1г рма -- 7! иувн:шя. 17. Решение задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в прямо!тальнике..

18. Понятие разнос гной схемы. Методы конструирования разностных схем. Сходимость, устойчивость и порядок аппроксимации разностной схемы. 19. Методы построения разностных схем. Приемы реализации граничных условий. Лнализ погрешности аппроксимации разностных схем. нх устойчивость и сходимость, 20. Явные и неявные разностные схемы, '!'нповые разностные схемы для простейших задач математической физики (для уравнений теплопроводности, колебаний.

уравнения Пуассона). Дополнительная учебная лптература Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит. 2004, -- 400 с. Булак Б.М.. Самарский Л.А.. !нхонов Л.Н. Сборник задач по математической физике: учеб. пособие для ун- гов. -. 4-е изд., испр. — М.: Физматлит. 2004. — 686 с.

Галанин Ы.П.. Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.; Изд-во М1 ТУ им. Н. 3. Баумана, 2010. 592 с. Самарский Л.Л. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука. !971. — 552 с. Пример билета письменных вступитсаьных испьпаний е' — 1 1. Вычислите предел !йп (8 баллов) -" (8.хз+.1 3гх 2. Исследуйте функцию у = 2х ч 6 — 3~)(х-'. 3)' и постройте се график. 3. 11айдите собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного 1 О О', своей магрццей 1 2 1 ~.

(8 баллов) ~,101, 4. Вычислите интеграз ~(х+1)гЬЙх)а. где à — — тело. ограниченное поверхносгямн (8 баллов) 2.х + 3 ~ ~- = =- 1 „.х = О; г — — 1: " =- О (8 баллов) запишите степенной ряд ио степеням х, укажите область (8 оаллов) 1 5. Для функции )'(л.)-- их сходимости этОГО ряда. Основная учебная литера~ура Лгафонов С.Л.. Герман ЛД.. Муратова Т.В.

Дифференциальные уравнения: Учеб, для вузов ~' Под рсд, !З.С. За!зубина. А.П. Крин(енко. -- 4-е нзд., исправя. — М.: Изд-во М1ТУ нм. Н.Э. Баумана, 2006. — 352 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. Ч!!!). Фнлишюв Л.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений: Учебник. Изд. 2-е, испр. — М.; КомКнгпа. 2007, -240 с. Филиппов Л. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамнкая. 2000.

— 176 с. Мартинсон )1.К.. Х!азов 10.И, Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. лля вузов: Под род. В.С. Зарубина, Л,П. Крищенко. — 3-е изд.. исправл. — М.: Изд-во МПУ нм. !!.3. Баумана, 2006. -- 368 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вьш.

Хп). Власова Е.Л.. Зарубин В.С., Куьчяркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: У геб. для вуюв. — 2-е изд.. стереотип. ~ 1"!од ред. В.С. Зарубина. Л.П. Крищснко. —. М.: !Ьд-во МПУ им. Н.'). Баумана, 2004. — 704 с. (Сер. Матемьпика в техническом университете. Вып, ХП)). 6. Р«ппгге уравнение; !' + г = совх. (8 баллон) 7. Сформулируйте определение решения устойчивого по Ляпунову. Для системы х=х(1-х) — 2хт, г= ту(1 — г) — х! найдите все п1тложения равновесия и исследуйте ик иа устойчивость. (12 баллов) 8.

Дайте определение линейного и квазилииейного диФФеренциального уравнения 2-го порядка, зап1И1и Ге т иенцы зтих у)ъавн«ниЙ. Опр«делите тип дифференциального уравнения и, — 2хи„ч х и,, — и, == 0. приведите его к каноническому виду, (12 оаллоВ) (). Сформулируйте задачу Штурма — Лиувилля иа отрезке 10,1). Рец!ите следующую х«1;,1 краевую задачу: Ди =-О, 0 <х<1, Осу < 2; и! =сов", 1Й = соя ", н'1 г а(п!гх, 1 =в , =К1пбгт! Дайте оиредс:1«пи«скогн1мости разностной сксмм. Иссле11уйте на устойчивость разностнуюск«му и,"' — н' = '.11!,'" — 2н"'+и,"! — ",1и' — 2и ьи,', > для одномерного уравнения теплопроводности н, =- н„. пос1роенную по равномерной сетке с платами г и Й.

(16 баллон!) Автор(ь!) програмгиьи 1(ок13оВскт1Й ЛД., к,ф."м.н,. доцегп' Декан 111акультета ФН Заведук1щий кафедрой Ф(11 11ачальннк о гдела ма! истра1уры Б.Г!д рет~ .