В.И. Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения

В.И.АрнольдОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯОтличается от имеющихся учебных руководств по обыкновеннымдифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью сприложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим,бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, номного понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовыепотоки,однопараметрическиегруппы,диффеоморфизмы,касательныепространства и расслоения) и примеров из механики (например, исследованиефазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теориямалых колебаний, параметрический резонанс).Для третьего издания книга значительно переработана и дополнена.

Длястудентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов ивузов с расширенной программой по математике, но будет интересна испециалистам в области математики и ее приложении.ОглавлениеПредисловие к третьему изданию.5Предисловие к первому изданию8Некоторые постоянно употребляемые обозначения10Глава 1. Основные понятия11§ 1. Фазовые пространства11§ 2. Векторные поля на прямой30§ 3. Линейные уравнения40§ 4. Фазовые потоки48§ 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений 55§ 6.

Симметрии63Глава 2. Основные теоремы73§ 7. Теоремы о выпрямлении73§ 8. Применения к уравнениям выше первого порядка85§ 9. фазовые кривые автономной системы95§ 10. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы99§ 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными105производными§ 12. Консервативная система с одной степенью свободы112Глава 3. Линейные системы124§ 13. Линейные задачи124§ 14. Показательная функция126§ 15.

Свойства экспоненты132§ 16. Определитель экспоненты137§ 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты—случай140вещественных и различных собственных чисел§ 18. Комплексификация и овеществление143§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством§ 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения§ 21. Классификация особых точек линейных систем§ 22. Типологическая классификация особых точек§ 23. Устойчивость положений равновесия§ 24. Случай чисто мнимых собственных чисел§ 25. Случай кратных собственных чисел§ 26. О квазимногочленах§ 27.

Линейные неавтономные уравнения§ 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами§29. Вариация постоянныхГлава 4. Доказательства основных теорем§ 30. Сжатые отображения§ 31. Доказательство теорем существования и непрерывно и зависимости отначальных условий§ 32. Теорема о дифференцируемостиГлава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях§ 33. Дифференцируемые многообразия§ 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии§ 35. Фазовый поток, заданный векторным полем§ 36.

Индексы особых точек векторного поляПрограмма экзаменаОбразцы экзаменационных задачПредметный Указатель146150158161170174179186196208214216216217225233233241247250262263268ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАвтоколебания 39, 121Гиперповерхность 106Алгебра Ли 102— начальная 106Атласы 234, 235Гипотеза Пуанкаре 240Аттрактор 40Гладкость 14База расслоения 243— многообразия .233Вариации 77, 226Голономия 25—постоянных 44, 214Гомеоморфизм 167Вектор, касательный в точке 57, 242Гомоморфизм 14, 167— скорости фазовой 53Градуирование 68Веса переменных 67Граница множества 82Возмущения малые 44, 77, 80, 121,Группа абстрактная 48195, 214—диффеоморфизмов 51Выпрямление поля векторного 84,— квазиоднородных растяжений 67246— коммутативная (абелева) 50— — направлений 73— контактная 112Геодезическая 264— однопараметрическая 50— преобразований 48——линейных 52, 125— симметрии 63— стационарная 97Движения медленные 266Действие группы 49Диаграмма Ламерея 25— Ньютона 66Дивергенция 203Диффеоморфизм 51— контактный 112— многообразия 240Диффеоморфизм сопрягающий62Дифференцируемость 14— многообразия 233Диффузия 267Зависимость линейная рациональная176, 186, 199Задача Кеплера 115— Коши 106— Штурма — Лиувилля 207, 265Закон тяготения 90— локальной эволюции 54Зонтик сложенный 266Изометрия 48Инволюция 266Индекс кривой 250— особой точки 253Интеграл первый 102— —, зависящий от времени 104——локальный 103Канал звуковой 264Карты 234Квазимногочлены 131, 186Квота отлова 21Колебания вынужденные 39, 47.

192—главные (собственные) 185— релаксационные 268—слабо нелинейные 195Коммутатор 101Компакт 82Комплексификация 143—линейного уравнения 150Координаты аффинные 233— локальные 242— однородные 233—тангенциальные 95Кривая двойственная 95— дискриминантная 94—интегральная 14,23— Лиссажу 186— логистическая 20— Михайлова 193— параметризованная 240Кривая фазовая 23, 51— — замкнутая 97Лемма Адамара 116— Морса 116Лестница Ламерея 25Линеаризация 41, 124Линии асимптотические 267— геодезические 264— параболические 267—уровня энергии 113Лист Мебиуса 67, 244Ломаные Эйлера 136, 224Маятник 27, 78.

85, 113, 120, 141,155, 195, 201, 208Метод комплексных амплитуд 191— малого параметра 80Мираж 264Многообразия аналитические 234—дифференцируемые (гладкие) 234— ориентированные 235— связные 238— топологические 234Множитель интегрирующий 70Модель Лотка — Вольтерра 24, 36,265Монодромия 25, 42, 264Мультипликатор 42, 47Норма 128, 219— оператора 127Образ вектора 55— векторного поля 58— фазового потока 62Овеществление 143Оператор диагональный 130—комплексно сопряженный 145— Лапласа 71—пильпотептный 130— производящий 134 Определитель137— Вандермонда 201— Вронского 199Орбита 49Отображение дифференцируемое(гладкое) 55, 238— за период 209— касательное 75—локально эквивалентное 75— невырожденное 75— Пикара 218— Пуанкаре 25— сжатое 216— Уитни (сборка) 57Оценка априорная 117Параллелизация 244Плоскость двойственная 95Плоскость контактная 93Поворот гиперболический 52—эллиптический 154Подмногообразия 240Подмножество инвариантное 151— компактное 237— открытое 237Поле векторное 16— — на многообразии 241— — фазовой скорости 53— направлений 16, 94— — квазиодпородное эйлерово 68— — контактных плоскостей 93— — эйлерово 63, 66Положение равновесия 16Последовательность возвратная 182— Коши 128— Фибоначчи 142Постоянная Липшица 31Поток фазовый 51— — уравнения 54Преобразование Лежандра 95— множества 48ПриближенияПикара 217— последовательное 217Признак Вейерштрасса 128Проблема Рауса—Гурвица 173Продолжение решений 81, 88, 117Произведение прямое 32Производная Ли 100— отображения 56— по направлению вектора 99— — — поля 100Пространство аффинное 10— евклидово 10— касательное 56, 242—координатное 10— линейное 10— матричное 127— нормированное 128— полное 127— проективное 60, 233— расслоения 243— расслоенное 241— струй 93— фазовое 1 I— — расширенное 23Процессы эволюционные IIПрямая проективная 66Равновесие безразличное 26— устойчивое 170Размерность многообразия 238Распределение Гиббса 265Расслоение касательное 241— векторное 241Режим автоколебательный 26, 123— колебательный 35— стационарный 21Резонанс 193— параметрический 212Решение уравнения 15— — общее 157— — периодическое 47— — n-го порядка 85Свойство групповое 50, 132Седло 34Сечение расслоения 243Симметрия векторного поля 63Системамеханическаяконсервативная 112—решений фундаментальная 119— уравнений автономная 95— — в вариациях 225— — Гамильтона каноническая 89,103— — неавтономная 96— — Ньютона 89Скобки Пуассона 101След оператора 138Слой расслоения 243Спираль логарифмическая 148Степень отображения 259Структура дифференцируемая 57— контактная 93— линейная 57— многообразия 234Сфера Милнера 240Теорема единственности 30, 76, 87,223— Клеро 264—Лиувилля 71, 202— о выпрямлении 73, 229— — дифференцируемости 76, 88,226, 230— — неявной функции 75— —продолжении 81, 88, 117Теорема сравнения 205— существования 30, 76, 87, 223— Штурма 204— Эйлера 66, 68Теория бифуркаций 39— возмущений 80— катастроф 39Траектории 51Узел 34— сложенный 268Уравнение автономное 16, 23, 79— Бесселя 200— в вариациях 77, 226— Ван-дср-Поля 123— вековое 141— взрыва 19— Гамильтона — Якоби 112— гипергеометрическое Гаусса 201—дифференциальное 15— квазилинейное 108— квазиоднородное 67Уравнение Клеро 92, 94— Лапласа 71—линеаризованное 125— лилейное неоднородное 43, 47,189 214— — —с частными производными107— —однородное 40, 126.

133, 146,179, 196, 200, 208— — —с частными производными105— — с периодическимикоэффициентами 41, 47, 208— логистическое 20— Лотка — Вольтерра 24, 36, 265— малых колебаний 27, 78, 85, 113,120, 141, 155, 184— Матье 200, 211— неавтономное 196— нелинейное 124, 162, 170, 195— — с частными производными 110— неразрешенное относительнопроизводной 91, 266— Ньютона 69, 75, 89, 117Уравнение— однородное 65— размножения 18— — с конкуренцией 20— разностное 87— с разделяющимися переменными34— теплопроводности 69—характеристик 105, 109, 111— эволюционное 16— n-ro порядка 85, 189, 200Условие Липшица 31, 220— начальное 15, 87— устойчивости 209Устойчивость асимптотическая 171,209, 265— по Ляпунову 170, 209, 265— сильная 210Усы седла 169Ферми-частица 265Фокус 149— сложенный 266Форма дифференциальная 17, 35— нормальная жорданова 163— симметричная 36— уравнения, неразрешенногоотносительно производной 266Формула Барроу 30— Кардано 71— Лиувилля 130— Ньютона 16— Ньютона — Лейбница 221— Тейлора 130— Эйлера 134Функторы 144Функция влияния 45— Гамильтона 103— гармоническая 72Функция Грина 45— Дирака 44— квазиоднородная 68— Ляпунова 163— однородная 66— последования 25— собственная 207Характеристика амплитудно-фазовая194— эйлерова 260Характеристики уравнения 105, 109,111Хвост ласточкин 267Цикл 25, 265— невырожденный 38— предельный 26— устойчивый 38Цунами 264Частота собственная 185Эквивалентность потоков 62, 160Энергия 113, 184.