Методические указания по выполнению домашнего задания

Московский государственный технический университетим.Н.Э.Баумана_________________________________________________________________________Деменков Н.П.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ ПРОЦЕССАМИ»_______________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»Московский государственный технический университетим.

Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________Домашнее задание по дисциплине«ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ ПРОЦЕССАМИ»для студентов специальности 22.01 каф.ИУ-1Задача 1. Найти оптимальную по быстродействию и расходу топлива тягудвигателя P(t) при посадке КА постоянной массы m на поверхность планеты, лишеннойатмосферы, в функции от высоты h и вертикальной скорости h& .

КА находится на высотеh=x1(t) и движется с вертикальной скоростью h& =x2(t).Уравнения движения КА имеют вид:x& 1(t)=x2(t),x& 2(t)= P(t)/m - g, где |P(t)| ≤Pmax.Количество потребляемого топлива определяется соотношениемtkQ= ∫ |P(t)|dt.t0Здесь g=const – ускорение планеты, Pmax ≥ mg, tk не задано.Исходные данные для выполнения ДЗ берутся из таблицы.

Расчеты проводятся длянечетных вариантов с использованием принципа максимума при спуске на Марс, длячетных - с использованием классического вариационного исчисления при спуске на Луну.Существуют ли начальные значения положения и скорости КА, которые приводятк аварии?Сколько существует решений, оптимальных по расходу топлива?Какова область начальных состояний КА, для которой оптимальное по расходутоплива решение является единственным.п.№123456789101112131415161718192021х10, м600059005800570056005400520051005000490048004700460045004400430042004100400039003800х20, м/мс-200-205-210-215-220-225-230-235-240-245-250-255-260-265-270-275-280-285-290-295-300х1k, м303234363840424446485052545658606264666870х2k, м/с-3,0-3,2-3,4-3,6-3,8-4,0-4,2-4,4-4,6-4,8-5,0-5,2-5,4-5,6-5,8-6,0-6,2-6,4-6,6-6,8-7,0m, кг500048004600440042004000380036003400320030002800260024002200200018001600140012001000Отчет должен содержать: постановку задачи, метод решения, синтезированныйалгоритм оптимального управления, структурную схему замкнутой оптимальной системыпосадки на планету, ее фазовый портрет, графики оптимального управления и переходныхпроцессов.__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»2Московский государственный технический университетим.

Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________Домашнее задание по дисциплине«ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ ПРОЦЕССАМИ»для студентов специальности 22.01 каф.ИУ-1Задача 2. Произвести синтез следящей системы, оптимальной по быстродействию,при отработке входного сигнала, изменяющегося по линейному закону u(t)=a0+a1t.Объект управления описывается уравнениемdxd 2xT 2 += Kudtdtгде /u/ ≤Umax, x’(t0)=0.Исходные данные для выполнения ДЗ берутся из таблицы..

Расчеты проводятся длянечетных вариантов с использованием принципа максимума, для четных - сиспользованием классического вариационного исчисления.При каких условиях можно добиться нулевой ошибки в воспроизведении входногосигнала?Приведите примеры 3-х технических задач, решаемых в такой постановке задачиоптимизации.п.№123456789101112131415161718192021K0,0010,0020,0030,0040,0010,0020,0030,0040,0010,0020,0030,0040,0010,0020,0030,0040,0010,0020,0030,0040,001T, c0,60,50,40,30,60,50,40,30,60,50,40,30,60,50,40,30,60,50,40,30,6x(t0)a0, сa1, с-1Umax1,81,92,02,12,22,32,42,51,81,92,02,12,22,32,42,51,81,92,02,12,20,300,320,340,360,380,400,420,440,460,480,500,520,540,560,580,600,620,640,660,680,701,01,21,41,61,82,01,21,41,61,82,01,21,41,61,82,01,21,41,61,82,0150160170180190200210220150160170180190200210220150160170180190Отчет должен содержать: постановку задачи, метод решения, синтезированныйалгоритм оптимального управления, структурную схему замкнутой оптимальной системы,ее фазовый портрет, графики оптимального управления и переходных процессов, а такжеописание 3-х технических задач, решаемых в такой постановке задачи оптимизации.__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»3Московский государственный технический университетим.

Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________Домашнее задание по дисциплине«ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ ПРОЦЕССАМИ»для студентов специальности 22.01 каф.ИУ-1Задача 3. Синтезировать алгоритм оптимального управления и рассчитатьоптимальные процессы для привода с двигателем постоянного тока, имеющимноминальными: число оборотов nн=700 об/мин, Uн=220B, Рн=1200 Bт, при ограниченииего нагрева. Привод описывается следующей системой уравнений:dΩ =K i - M , |i| ≤ i ,двснJdtdα=Ω .dtТребуется перевести координаты объекта из положения при t=0 α0=0 рад, Ω0=0рад/с в положение при t=tk αк=200 рад, Ωк =0 рад/с за минимально допустимое время tkпри ограничении на нагревtk∫Ri2dt ≤ A .t0Исходные данные для выполнения ДЗ берутся из таблицы.

Расчеты проводятся длянечетных вариантов с использованием принципа максимума, для четных - сиспользованием классического вариационного исчисления.Меньше какого значения нельзя сделать tk?Как влияет ограничение по нагреву на время переходного процесса в оптимальнойсистеме?п.№123456789101112131415161718192021J, кгм20,60,50,40,30,60,50,40,30,60,50,40,30,60,50,40,30,60,50,40,30,5Кдв0,160,150,140,130,120,110,100,110,120,130,140,150,160,150,140,130,110,120,110,100,16Мс, нм0,010,020,030,040,010,020,030,040,010,020,030,040,010,020,030,040,010,020,030,040,01i н, a7,06,96,86,76,56,46,36,26,16,06,16,26,36,46,56,66,76,86,97,07,0А, втс150148146144142140138136134132130128126124122120118116114112150R, ом4,03,93,83,73,63,53,43,33,23,13,02,92,82,72,62,52,42,32,22,12,0Отчет должен содержать: постановку задачи, метод решения, синтезированныйалгоритм оптимального управления, структурную схему замкнутой оптимальной системы,ее фазовый портрет, графики оптимального управления и переходных процессов.__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»4Московский государственный технический университетим.

Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________Рекомендуемая литература1. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.2.Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Подобщей ред. К.А.Пупкова. Учебник. –М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2000. -736с.2.

Деменков Н.П. Вычислительные аспекты решения задач оптимальногоуправления: Учеб. Пособие. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2007. - 171с.3.Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Изд-во Наука, 1968. - 368с.4.Математическаятеорияоптимальныхпроцессов/Л.С.Понтрягин,В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко, М: Изд-во Наука, 1983. - 408с.5. Деменков Н.П.

Нечеткое управление в технических системах: Учеб. пособие. М.:Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2005. - 200с.6. Брайсон А., Хо Ю Ши Прикладная теория оптимального управления, М.: Изд-воМир, 1972. –544с.7. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Изд-воНаука, 1971. - 424с.8. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во ИЛ, 1960. -120с.__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»5Московский государственный технический университетим. Н.Э.

Баумана___________________________________________________________________________Пример решения задачи №1Задание:Найти оптимальную по расходу топлива тягу двигателя P ( t ) при посадке КАпостоянной массы M на поверхность планеты, лишенной атмосферы, в функции отвысоты h и вертикальной скорости h& . КА находится на высоте h = x1 ( t ) и движется свертикальной скоростью h& = x 2 ( t ) . Уравнения движения КА имеют вид:x& 1 ( t ) = x2 ( t ),x10 = 6000 м , x 20 = −200 м с ,x1k = 30 м , x 2 k = −3 м сx& 2 ( t ) = P ( t ) / M − g ,где Pmin ≤ P ( t ) ≤ Pmax ,Количество потребляемого топлива определяется соотношением:Q=tk∫ P ( t ) dtt0Здесь g = const - ускорение планеты, Pmax ≥ Mg , t k - не задано.Расчеты проводятся с использованием классического вариационного исчисления приспуске на Луну.Существуют ли начальные значения высоты и скорости, которые приводят к аварии?Сколько существует оптимальных по расходу топлива решений?Какова область начальных состояний, для которой оптимальное по расходу топливарешение является единственным?Решение:Для удобства дальнейшего представления расчетов, перенесем начало координатфазовой плоскости так, чтобы оно совпадало с конечным состоянием системы.

Приэтом получим новые начальные условия:⎧ x10 = 5970 м⎨⎩ x20 = −197 м сx1 k = 0x2 k = 0(1)В роли управления в данной задаче выступает тяга реактивного двигателя посадки:u( t ) = P ( t )В дальнейшем будем пользоваться обозначением управления как u( t ) .Запишем уравнения состояния системы:⎧ x& 1 ( t ) = x2 ( t )⎪⎨u( t )&=−gx(t)2⎪⎩M(2)Для удобства вычислений, будем вести отсчет времени с момента включениереактивных двигателей, тогда t0 = 0 .__________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»6Московский государственный технический университетим. Н.Э. Баумана___________________________________________________________________________Минимизируемый функционал:Q=tk∫ u( t ) dt → min(3)0*Составим Гамильтониан H :⎛ u( t )⎞− g ⎟ + u( t )H * = pT ( Fx + gu ) + u = p1 x 2 ( t ) + p2 ⎜⎝ M⎠(4)Уравнения для сопряженной системы:⎧∂H *⎪ p& 1 = −∂x 1⎪⎨*⎪ p& = − ∂H⎪⎩ 2∂x 2p& 1 = 0(5 )⇒ p1 ( t ) = const = C1(6 )p& 2 = p1 ⇒ p2 ( t ) = p1t + C 2 = C1t + C 2(7 )Данная задача является частным случаем, когда критерий качества, уравнениядвижения и ограничения являются линейными функциями от фазовых координат иуправляющих переменных.

Согласно [6], в общем случае минимума для подобныхзадач не существует, если не наложены ограничения типа неравенств на управляющиепеременные. Так как в данном случае эти ограничения наложены, то минимизирующеерешение, если оно существует, соответствует управлению, которое находится в той илииной точке границы области допустимых управлений. В общем случае происходитодно или несколько переключений управления.