Разработка методики расчета долговечности элементов приводов прокатных станов, страница 8

5).Срок службы предохранительного шпинделя автоматического стана220 ПНТЗ по данным эксплуатации за 10 лет составляет 0,9 года (по даннымВНИИМЕТМАШ им. академика А.И. Целикова).расчетногоПогрешность сравненияи эксплуатационного сроков службы предохранительногошпинделя составляетΔ Т сл =эксплТ сл − Т сл1,59 − 0,9⋅ 100% =⋅ 100% = 43% .Т сл1,59(2.15)Таблица 5Результаты расчета долговечности по формуле (2.13)Заданные деталиζαрПредохранительный шпиндель0,750,441,5943 %Карданный шпиндель0,650,364,9950 %Рабочий валок0,750,434,6962 %Универсальный шпиндель0,670,3510,89—Т сл , летПараметры блока нагружения, а также параметры кривой усталости длядетали, входящие в формулу расчета долговечности (2.13), имеют рассеяниеи рассматриваются как случайные величины.Расчет долговечностипроизводится в вероятностном плане, для чего используется метод МонтеКарло.

Если случайная величина х равномерно распределена в интервале [а,в], то для разыгрывания х используется выражение [11]: х = а + γ (в – а), где γ—задаваемаягенераторомслучайныхравномерно распределенная в интервале [0,1].чиселнекотораявеличина,53Поэтому для величин τ−1д,N0, m, τi , ni при их разбросе до ± 20% отноминальных значений τ−1д , N 0 , m , τi , n i справедливы формулы [18]:τ −1д = (0,8 + 0,4 ⋅ γ ) ⋅ τ−1дN 0 = (0,8 + 0,4 ⋅ γ ) ⋅ N 0m = (0,8 + 0,4 ⋅ γ ) ⋅ mτ i = (0,8 + 0,4 ⋅ γ ) ⋅ τi(2.16)n i = (0,8 + 0,4 ⋅ γ ) ⋅ n iДля вычисления срока службы Тсл по формуле (2.13) с учетом разбросазначений входящих в нее параметров разработаны Маткад-программа иДельта-программа. С помощью этих программ для каждой заданной деталиразыграно 1000 численных значений сроков службы Тсл (рис.2.18),вычислено медианное значение сроков службы Т сл и среднеквадратическоеотклонение сроков службы σ на множестве всех реализаций (табл.

6).Рис. 2.18. Графическая реализация метода Монте–Карло(предохранительный шпиндель)54Диапазон изменения срока службы разбит на интервалы с заданнымшагом, после чего построена гистограмма (рис.2.19).Рис. 2.19. Гистограмма распределения долговечностиПостроены теоретическая « сплошная» и эмпирическая « пунктирная»кривые плотности вероятности долговечности (рис.2.20).Рис.

2.20. Плотность вероятности долговечности55Предположение о законе распределения Вейбулла для долговечностейвсех заданных деталей подтверждено критерием согласия Пирсона (χ2):k∑(n− npj теор )2j эмпирnpj теорj=1< χ2 (k − 3) ,(2.17)где n j эмпир — число попаданий случайной величины долговечности в j – тыйинтервал; pj теор— теоретическое значение плотности вероятности; k —число интервалов; n = 1000 — число розыгрышей сроков службы.Плотность и функция распределения Вейбулла:b ⎛T −c⎞f (TСЛ ) = ⎜ СЛ⎟α⎝ α ⎠b −1⎡ ⎛ TСЛ − c ⎞ b ⎤⋅ exp⎢− ⎜⎟ ⎥;⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎥⎦⎡ ⎛ TСЛ ⎞ b ⎤F(TСЛ ) = 1 − exp ⎢− ⎜⎟ ⎥ , (2.18)⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎥⎦где α, b, c = 0 — параметры масштаба, формы и сдвига.Параметры масштаба и формы определены из соотношений:⎧⎛ b + 1⎞⎪ α ⋅ Г ⎜ b ⎟ = Т СЛ ;⎝⎠⎪⎨⎪ α 2 ⋅ ⎡ Г ⎛⎜ b + 2 ⎞⎟ − Г 2 ⎛⎜ b + 1 ⎞⎟ ⎤ = σ 2 .⎢⎥⎪⎩⎝ b ⎠⎦⎣ ⎝ b ⎠(2.19)Погрешность сравнения расчетного среднего (без учета сниженияпределавыносливости)иэксплуатационногосроковслужбыпредохранительного шпинделя составляетэксплТ сл − Т сл1,28 − 0,9Δ Т сл =⋅ 100 % =⋅ 100% = 30% .Т сл1,28(2.20)Таблица 6Результаты расчета долговечности без учета истории нагруженияЗаданные деталиТ СЛ , летσ, летаbПредохранительный шпиндель1,2830 %1,141,341,12Карданный шпиндель4,0438 %3,354,311,21Рабочий валок3,6250 %3,553,651,02Универсальный шпиндель8,47—7,768,761,09562.6.

Расчет долговечности с учетом истории нагруженияУчтем теперь то обстоятельство, что по мере накопления усталостныхповреждений предел выносливости постепенно снижается [8]. Рассмотренаодна из моделей такого снижения (рис.2.21).При случайных процессахнагружения это приводит к тому, что все большее число циклов нагружениястановится повреждающим.вероятностиf(τ)дляПлощадь А на плотности распределенияамплитудныхнапряженийτхарактеризуетотносительное число повреждающих циклов нагружения на начальном этапенагружения.Эта доля возрастает до А+В при некотором накопленномусталостном повреждении ν.Рис. 2.21.

Неавтомодельный процессВ рассматриваемом случае усталостное повреждение зависит ототносительного числа циклов нагружения и уровня амплитуд напряжений,т.е. оно может быть представлено в виде ν = ν( n / N, τ). Скорость накопленияусталостных повреждений будет определяться какdν∂νd (n N )1⋅= ϕ (ν , τ )=.dn ∂ (n N )dnN (τ )(2.21)В отличие от (2.10) выражение (2.21) не может быть представлено ввиде произведения двух функций, одна из которых зависит только от ν, адругая — только от τ.Ожидаемуюскоростьнакопленияусталостныхповрежденийνполучаем путем усреднения по всем циклам нагружения, т.е. имеемdν=dnϕ (ν , τ ) ⋅ f (τ )d τ.∫0N (τ )∞(2.22)57Из (2.22) определяем ожидаемое число циклов нагружений доразрушения1N∗ =∫0∞∫0Пустькриваяdν.ϕ (ν , τ ) ⋅ f (τ )d τN (τ )усталостисучетом(2.23)накопленногоусталостногоповреждения ν описывается соотношением⎧⎪τ m N = τ−m1, ν N0 = (1 − ν)N0 τ−m1, 0 при τ ≥ τ−1, ν⎨⎪⎩N = ∞ при τ < τ−1, ν = τ−1, 0 (1 − ν)(2.24)где τ -1,ν — предел выносливости при накопленном повреждении.Тогда кинетическое уравнение усталостного разрушения имеет вид:⎧τmdν ⎪= ⎨ (1 − ν ) N 0 τ −m1, 0dn⎪0⎩приτ ≥ τ −1 , νприτ < τ −1 , ν(2.25)Из соотношения (2.25) видно, что в рассматриваемом случае скоростьнакопленияусталостныхповрежденийнепредставляетсяввидепроизведения двух функций, одна из которых зависит от ν, а другая от τ.Ожидаемая скорость накопления усталостных повреждений будетопределяться какτmdν=,dn (1 − ν ) N 0 τ m−1, 0(2.26)где∞τm=∫τmf (τ ) d τ ,(2.27)τ −1 , νЕсли⎛ τ2τf (τ ) = 2 exp ⎜⎜ −2s⎝ 2s⎞⎟⎟ ,⎠где s2 — дисперсия процесса нагружения τ (t), то вместо (2.26) имеем(2.28)58⎛mτ −2 1 , ν2m 2sm⎜ν& =+ 1,Г(1 − ν )N 0 τ m− 1 , 0 ⎜⎝ 22s 2⎞⎟,⎟⎠(2.29)где Г(⋅,⋅) — неполная гамма функция.Проинтегрировав (2.29), найдем ожидаемое число циклов нагруженийдо разрушенияN∗ =N 0 τ −m1 , 02m 2sm(1 − ν )d ν,2 m⎞τ 2− 1 , 0 (1 − ν )⎟1∫0⎛mГ⎜+ 1,⎜ 2⎝(2.30)⎟⎠2s 2Соотношения (2.29) и (2.30) полностью решают задачу о нахожденииожидаемой скорости накопления усталостных повреждений и ожидаемойусталостной долговечности при одном заданном случайном процессенагружения.История нагружения элементов конструкций и деталей машин обычноявляется сложной и определяется последовательностью большого числарежимов нагружения, характеризующихся различными по интенсивностислучайнымипроцессаминагружения.Еслипроцессынакопленияусталостных повреждений являются нелинейными и не обладающимиавтомодельными свойствами, то величина накопленного к некоторомумоменту времени усталостного повреждения будет зависеть от историинагружения.Пусть эта история состоит из n1 циклов нагружения сдисперсией s12 , n2 циклов c дисперсией s 22 , n3 циклов c дисперсией s 32 и т.д.(рис.2.22).

Требуется оценить усталостное повреждение за (n1+ n2+ n3+…)цикловнагружения.Полагаяфункциюнакопленияусталостныхповреждений ν = ν(n, s) известной, получаем: ν(n1,s1) — усталостноеповреждение при первом режиме нагружения; ν(n2+n21, s2) — усталостноеповреждение за (n1+n2) циклов нагружения, где величина n21 определяется изусловия ν(n1,s1) = ν(n21, s2),ν(n3+n32, s3) — усталостное повреждение за(n1+n2+n3) циклов нагружения, где величина n32 определяется из условияν(n2+ n21, s2) = ν(n32, s3).59Рис. 2.22.

Различные по интенсивности случайные процессы нагруженияАналогично можно вычислить усталостное повреждение при любомчисле различных режимов нагружения.Приведено графическое решениеэтой задачи (рис.2.22).При определении ожидаемого числа циклов нагружения до разрушенияN* должно быть задано относительное содержание режимов нагружения βi(i=1,2,…). Тогда n1 = β1N*, n2 = β2N*, … и задача сводится к определению N*,при котором ν =1.В реальных ситуациях надежной информации о последовательностипроцессов нагружения с различными интенсивностями (дисперсиями s2) неимеется.В этом случае можно получить лишь «вилку» значенийдолговечности с верхним максимальным значением, полученным припоследовательностиинтенсивностямипроцессовинижнимсмонотонноминимальнымвозрастающимизначением—припоследовательности процессов с монотонно убывающими интенсивностями.Если информация об истории нагружения состоит лишь в том, чтоизвестно относительное содержание («статистический вес») βi для i –гопроцесса (i=1,2,…) с дисперсией s i2 в общей истории нагружения (∑βi =1), тофункцию N* = N*(s)можно рассматривать как функцию со случайнымаргументом s, имеющим плотность вероятности60Kf (s ) = ∑ βi δ(s − s i ) ,(2.31)i =1где δ(⋅) — дельта-функция, к — число процессов нагружения.При этом ожидаемое значение долговечности будет определяться как∞к0i =1N * = ∫ N * (s )f (s )ds = ∑ β i N * (s i ) ,(2.32)Это значение долговечности будет находиться в «вилке» указанныхвыше двух крайних значений.Рассмотрим теперь случай, когда процесс нагружения представляетсобой набор ступеней с различными уровнями амплитуд напряжений: пустьциклы с амплитудами напряжений τ1 встречаются n1 раз, с амплитудаминапряжений τ2 — n2 раза и т.д.

Необходимо учесть постепенное понижениепредела выносливости в расчетах величины накопленного к некоторомумоменту времени усталостного повреждения (рис.2.23).Рис. 2.23. Набор ступеней с различными уровнями амплитуд напряженийКривую усталости с учетом постепенного понижения пределавыносливости примем в виде:⎧ τ m N = τ −m1, ν N 0 при τ ≥ τ −1, ν⎨⎩ N = ∞ при τ < τ −1, ν = τ −1, 0 (1 − ν )(2.33)Величина усталостного повреждения зависит от последовательностиблоков (от истории нагружения) и может быть вычислена по расчетнойсхеме,вкоторойпослекаждогоблоканагруженияпроизводится61сопоставлениеуровняамплитуднапряженийсуровнемпределавыносливости достигнутого к данному моменту времени.Пусть νк — усталостное повреждение за первые к (к = 1,2,…) блоковнагружения. Тогда усталостное повреждение на к + 1 блоке нагружениябудет определяться какν k +1⎧ n k +1⎪= ⎨ N k +1⎪ 0⎩приτ k + 1 ≥ τ −1 , kприτ k + 1 < τ −1 , k(2.34)гдеτ −1, к = τ −1, 0 (1 − ν к ) ,N к +1⎛ τ −1 , 0= N 0 ⎜⎜⎝ τ к +1⎞⎟⎟⎠mВ реальных ситуациях надежной информации о последовательностиблоков нагружения не имеется.