KursLek110_2 (Лекция), страница 2

( − 1)( − 1) … ( − 1).Диапазоны представления чисел, представленных в дополнительном иобратном кодах, не совпадают. Представления значения −1 в обратном коде несуществует. По правилам получения кодов нельзя получить представления − −1в дополнительном коде, но оно существует.1.10. Сложение чисел со знакомИспользование дополнительного или обратного кодов позволяют избежатьоперации прямого вычитания.

Операция вычитания сводится к операциисложения дополнительных или обратных кодов слагаемых. Причем знаковыеразряды кодов принимают участие в сложении наравне со значащими разрядамикодов.Рассмотримособенностисложениякодов,которыесвязанысвозникновением переноса из знакового разряда.При возникновении переноса из знакового разряда при сложениидополнительных кодов он отбрасывается.Пример.Найтисуммучисел1 = −54010и2 = 86010 , используядополнительный код.[x1 ]д = 9.460[2 ]д = 0.8601 ← 0.320↓ отбрасываетсяПри возникновении переноса из знакового разряда при сложении обратныхкодов он прибавляется к младшему разряду полученной суммы.

Такой переносназывается циклическим.Пример. Сложить обратные коды двоичных .чисел [x1 ]о = 0.0001101 и[2 ]д =1.1110110.11 1111Переносы0.0001101Циклическийперенос+ 1.11101100.00000111Результат0.0000100Докажем справедливость правила сложения для дополнительного кода напримере двоичных чисел || < 1. Дополнительный код отрицательного числа посоотношению (1.5) вычисляется как − = + ( − ) − Рассмотрим четыре случая.1) > 0, > 0.

Так как результат не должен выходить за разрядную сетку, топрисложении и перенос из знакового разряда должен отсутствовать, т.е. = 0.[]д + []д = + = [ + ]д .2) 0 ≤ < 1, −1 < ≤ 0, || > и −1 < ( + ) ≤ 0.Тогда, исходя из соотношения (1.5) и отношения || > имеем[]д + []д = + ( − ||) < ,а вследствие этого = 0. Отсюда[]д + []д = + + = ( + ) + = [ + ]д ,а это есть дополнительный код отрицательной суммы чисел и .3) 0 ≤ < 1, −1 < ≤ 0, || < и −1 < ( + ) ≤ 0.Тогда, исходя из соотношения (1.5) и отношения || < имеем[]д + []д = + ( − ||) > ,а вследствие этого = 1.

Отсюда[]д + []д = + + − = ( + ) = [ + ]д ,а это есть дополнительный код положительной суммы чисел и .Величина "– " присутствует в выражении вследствие того, что по правилусложения дополнительных кодов перенос = 1 отбрасывается.4) < 0, < 0. Тогда []д + []д > 1, т.е. = 1. Отсюда[]д + []д = + + + − = ( + ) + = [ + ]д ,а это есть дополнительный код отрицательной суммы чисел и .Справедливость отбрасывания переноса из знакового разряда при еговозникновении при сложении дополнительных кодов доказана.Используя эту схему доказательства, можно доказать справедливостьособенности сложения обратных кодов, т.е. использование циклическогопереноса.1.11. ПереполнениеВ процессе выполнения арифметических операций над кодами возможнаситуация, когда результат выходит за пределы представления чисел в заданнойразрядной сетке.

Такая ситуация называется переполнением.Переполнение может возникнуть при сложении чисел с одинаковымизнаками.Привозникновениипереполнениядальнейшиевычисленияпрекращаются.Для двоичной с/с при переполнении происходит смена знака результата.Для обнаружения переполнения вводят специальный контрольный разряд (КР),который помещается слева от знакового разряда. В исходных данных значениеконтрольногоразрядаповторяетКР Зн.РЗначащие цифрызначениезнаковогоразряда.Признакомотсутствияпереполнения является совпадение в результате значений в знаковом иконтрольном разрядах, апризнакомпереполненияконтрольного разрядов.являетсянесовпадениезначенийзнаковогоиОпределение 11.

Коды, содержащие кроме знакового разряда контрольныйразряд, называются модифицированными кодами. В связи с этим можноговорить о модифицированных прямом, обратном и дополнительном кодах.Пример. Найти сумму двоичных чисел и , используя модифицированныйдополнительный код. Использовать разрядную сетку n, равную 7. = +10111, = +10010Сложим модифицированные дополнительные коды:[]д = 00.10111+[]д = 00.10010_________01.01001Результат идентифицирует переполнение.

Если бы не было контрольного разряда,то результат был бы такой: 1.01001. Т.е. при сложении положительных чиселполучен отрицательный результат.Пример.Найтисуммудвоичных чисел и,используямодифицированный обратный код. = −10101, = −01101Сложим модифицированные обратные коды:[]о = 11.01010+[]о = 11.10010_________10.11100Результат идентифицирует переполнение.

Если бы не было контрольного разряда,то результат был бы такой: 0.11100. Т.е. при сложении отрицательных чиселполучен положительный результат.1.12. Операция сдвигаОперация сдвига числа влево или вправо широко используется ввычислительной технике. Дальнейшие рассуждение опираются на двоичную с/с.Сдвиг двоичного числа влево на k разрядов эквивалентно умножению его на 2 .← = × 2Сдвиг двоичного числа вправо на k разрядов эквивалентно делению его на 2 .→ = × 2−Пусть значения находятся в диапазоне 0 ≤ ||<1|.

Сдвиг дополнительногокода отрицательного двоичного числа вправо на k разрядов означаетпреобразование его кода[]д = 2 + в код[ × 2− ]д = 2 + × 2−(1.8)Но, если выполнить операцию сдвига дополнительного кода отрицательногодвоичного числа вправо на k разрядов с заполнением освободившихся разрядовнулями, то получится код[]д × 2− = (2 + ) × 2− = 2−+1 + × 2−(1.9)Код (1.8) превышает код (1.9) на величину[ × 2− ]д − []д × 2− = 2 − 2−+1 = 2 − 2−(−1)(1.10)Код (1.9) можно преобразовать в код (1.8), заполнив единицами старшиеразряды, которые освободились при сдвиге []д вправо. Действительно,последовательность единиц, начиная от знакового разряда и заканчивая – ( − 1)разрядом, равна поправке (1.10), которую надо добавить к (1.9) дляпреобразования его в (1.8).При сдвиге вправо кода двоичного числа освободившиеся старшиезначащие разряды заполняются: нулями для кодов положительных чисел; единицами для кодов отрицательных чисел.При сдвиге влево кода двоичного числа освободившиеся младшие значащиеразряды заполняются: нулями для кодов положительных чисел и для дополнительных кодовотрицательных чисел; единицами для обратных кодов отрицательных чисел.Пример.Заданодвоичноеотрицательноечисло =-100110101.Представить егообратном модифицированном коде и сдвинуть на 3 разряда вправо.

Допущение:разрядная сетка позволяет делать эту операцию без потери значащих разрядов.[]о =11.011001010;3→[]о = 11.111011001010.Здесь освободившиеся при сдвиге вправо на три разряда три старших разрядарезультата заполняются значением 1.1.13. Формы представления чиселВ ЭВМ используется одна из следующих форм представления чисел: с фиксированной запятой (точкой) (естественная форма); с плавающей запятой (точкой) (полулогарифмическая форма).А) Фиксированная запятая.Форма представления чисел с фиксированной запятой характеризуется тем, чтоместо положения запятой в разрядной сетке c n разрядами строго фиксировано.Часто в вычислительной технике используют и термин «с фиксированнойточкой».

Под знаковый разряд отводится старший n-1 разряд. Запятая можетфиксироваться после младшего значащего разряда 0 или перед старшимзначащимразрядом.Запятаяфизическинереализуется,положениеееподразумевается алгоритмами обработки чисел. Ниже способ представлениячисел с фиксированной запятой (точкой) рассмотрены на примере двоичной с/с.В первом случае, когда запятая фиксируется после младшего значащегоразряда (рис), можно представлять целые положительные и отрицательные числав диапазоне 1 ≤ || ≤ 2−1 − 1 и нуль в разрядной сетке с разрядами.n-1 n-2.Зн....0.,Рис. 1.2. Формат фиксированной запятой после младшего значащего разрядаВо втором случае, когда запятая фиксируется перед старшим значащим -1разрядом, можно представлять числа в диапазоне 1 − 2−+1 ≤ || ≤ 2−+1 и нуль.0-1Зн.....n-1.,Рис.

1.3. Формат фиксированной запятой перед старшим значащим разрядеПри фиксации запятой после младшего значащего разряда все числа вдиапазоне1 − 2−+1 ≤ || ≤ 2−+1 не могут быть представлены вразрядной сетке и принимаются равными нулю.При фиксации запятой перед старшим значащим разрядом числа издиапазона1 ≤ || ≤ 2−1 − 1 не могут быть представлены в разрядной сетке.Для обеспечения расширения указанных выше диапазонов представлениячисел в разрядной сетке вводятся масштабы для чисел, т.е.