KursLek110 (Лекция), страница 4

Для шестнадцатеричной с/с = 4, и группа из четырех разрядов называется тетрадой. При разбиении нагруппы из n разрядов может возникнуть ситуация, когда крайние справаи/или слева группы являются неполными, т.е. в них не достает количестворазрядов до n.

В этом случае такие группы дополняются нулями дополучения n разрядов в группе.2) Каждая двоичная группа из n разрядов заменяется эквивалентной цифрой с/с,в которую преобразуется исходное двоичное число. В соответствующемместе ставиться разделительная запятая. Полученное число и являетсярезультатом преобразования двоичного числа в число с основанием 2 .Пример. Преобразовать в восьмеричную с/с двоичное число1000101100011,11101011011.Разбивается двоичное число на триады влево и вправо от запятой:1 000 101 100 011,111 010 110 11.Левую крайнюю триаду дополняем двумя нулями, а правую крайнюю триаду однимнулем:001 000 101 100 011,111 010 110 110.Каждая двоичная триада заменяется эквивалентной ей восьмеричной цифрой.

Врезультате получается восьмеричное число 10543,72668 , т.е.1000101100011,111010110112 = 10543,72668.Преобразование чисел из с/с с основанием 2 , в двоичную с/с.Процедура преобразования сводится к замене каждой цифры исходного числа,заданного в с/с с основанием 2 , двоичным n разрядным эквивалентом, всоответствующем месте ставиться разделительная запятая. Полученное число иявляется результатом преобразования.Пример. Преобразовать в двоичное число заданное шестнадцатеричное число4А01,5916 .Каждаяшестнадцатеричнаяцифразаменяетсяэквивалентнымчетырехразрядным двоичным числом:4А01,5916 = 0100 1010 0000 1111 0001,0101 1100 10012 .1.6. Особенности выбора с/сВыбор с/с – один из важнейших вопросов при проектировании, как алгоритмовфункционированияотдельныхустройств,такиприрасчететехническиххарактеристик вычислительных систем.С/с, применяемая на практике проектирования, должна обеспечивать: представление любого числа в заданном диапазоне величин; единственность представления; простоту оперирования с числами.Введем понятие разрядной сетки вычислительной системы.

Под разряднойсеткойпонимаетсяколичестворазрядов,которыемогутодновременнообрабатываться и имеют постоянный формат.Диапазон представления чисел – это интервал числовой оси, заключенныймежду максимальным и минимальным числами, представленными в заданнойразрядной сетке.При выборе с/с необходимо учитывать следующее: основание с/с определяет количество устойчивых состояний функциональныхэлементов, выбранных для представления разрядов числа; длина числа существенно зависит от основания S с/с; с/с должна обеспечивать простые алгоритмы выполнения арифметическихопераций.Использование десятичной с/с затруднено её технической реализацией.Элементы, обладающие десятью устойчивыми состояниями (сегнетокерамические,декатроны и др.) имеют невысокую скорость переключения.

В большинстве своемэлектронные схемы имеют два устойчивых состояния. Поэтому для этих целейнаиболее подходящей является двоичная с/с. Однако двоичная с/с не являетсярациональной с точки зрения затрат оборудования. Введем понятие экономичности Соборудования вычислительной системы:С = ∗ ,где - основание с/с, - длина разрядной сетки.Примем, что каждый разряд числа аппаратно представлен не одним элементом с состояниями, а элементами с одним состоянием.

Тогда показатель экономичностис/с покажет условное количество оборудования, необходимое для представлениячисел в заданной с/с.Максимальное число, которое можно представить в заданной с/с, в общем видезаписывается как: = − 1.Отсюда можно найти требуемую длину разрядной сетки: = ( + 1).Для рассмотрения функции = () примем, что является непрерывнойвеличиной. Тогда для сравнения любой с/с с двоичной с/с можно ввестиотносительный показатель экономичности: = ∗ ( + 1)/2 ∗ 2 (+ 1)2Так как функция непрерывна, то из соотношения видно, что она имеет min,определяемый как / = 0, что соответствует значению = , т.е.

приближенно2,7. Используя соотношение для можно доказать, что троичная с/с экономичнеедвоичной с/с. Некоторые значения этой функции приведены в табл. 1.2.Таблица 1.2S23F 1,0 0,94641,068101,148 1,333 1,5051.7. Коды чисел со знакомВ обычной практике оперирования с числами для обозначения знака числаиспользуют символы «+» и «-». Однако следствием введения дополнительныхсимволов является расширение алфавита с/с.

Поэтому в вычислительной техникепринято следующее представление знаков чисел: 0 для положительных чисел; ( − 1) для отрицательных чисел, где S – основание с/с.Введем понятие разрядной сетки, которая определяет фиксированное количестворазрядов, предназначенных для представления чисел. Для двоичной с/с разряднаясетка кратна восьми разрядам, байту (1 байт = 8 бит, бит – один двоичный разряд).

Дляпредставления символа знака числа выделяется специальный разряд – знаковыйразряд. Знаковый разряд фиксируется слева от старшего значащего разряда числа. Взаписи чисел со знаком условимся отделять знаковый разряд от значащей части числаточкой.Наиболее простым способом представления чисел со знаком является прямойкод, в котором знак числа записывается в крайнем левом разряде, а в остальныхразрядах записывается абсолютное значение числа. Например, прямой код двоичногочисла +101101 записывается как 0.101101, а прямой код двоичного числа – 1101101 –как 1.1101101.

В прямом коде существует два представления нуля: 0.000… и S1.000…, где S – основание с/с. Любое число представляется в виде прямого кодаследующим образом:0. при ≥ 0,[]п =(1.1) − 1. при ≤ 0.В дальнейшем будем рассматривать основные положения отдельно для целыхчисел и чисел, значение которых по модулю меньше единицы (будем называть ихдробными числами).Важным является вопрос о диапазоне представления чисел в прямом коде длязаданной разрядной сетке. Будем считать, что задана n-разрядная сетка, причем n-1разряд отведен под знак для кодов целых чисел, а разряд с номером 0 – для знакакодов дробных чисел. На примере целых двоичных чисел можно утверждать, чтомаксимальное по абсолютной величине значение прямого кода представляется всемиединицами в значащих разрядах.

Это можно записать как −1 − 1. Тогда можнозаписать диапазон представления целых чисел в прямом коде:1 − −1 ≤ ≤ −1 − 1(1.2)Рассмотрим диапазон представления дробных чисел в прямом коде в nразряднойсетке.Максимальноепоабсолютнойвеличинедвоичноечислопредставляется всеми единицами в значащих разрядах, а его значение записываетсякак 1 − −+1 . Диапазон представление дробных чисел в прямом коде определяетсяотношениями: −+1 − 1 ≤ ≤ 1 − −+1(1.3)Логический вывод формул (1.2) и (1.3) рассматривался для двоичной с/с.1.8. Дополнительный и обратный коды чиселСуществуют и другие способы представления чисел со знаком. Отрицательныечисла можно представлять в виде дополнений до некоторого положительногозначения, т.е. путем сдвига по числовой оси исходного отрицательного числа нанекоторую положительную константу К.

Отрицательное число представляется ввиде + > 0.В зависимости от значения К различают коды: дополнительный, обратный.Введем понятие дополнительного кода чисел с помощью следующихсоотношений:- для целых чисел:0. при ≥ 0,(1.4)[]д = + при < 0;- для дробных чисел:0. при ≥ 0,(1.5)[]д = + при < 0.Определение 1.9. Код, определенный с помощью соотношений (1.4) и (1.5),называется дополнительным кодом числа.Введем понятие обратного кода чисел с помощью следующих соотношений:- для целых чисел:0.

при ≥ 0,(1.6)[]о = − 0 + при < 0;- для дробных чисел:0. при ≥ 0,(1.7)[]о = − −+1 + при < 0.Определение 1.10. Код, определенный с помощью соотношений (1.6) и (1.7)называется обратным кодом числа.Из приведенных выше соотношений (1.4) – (1.7) видим, что прямой,дополнительный и обратный коды положительных чисел совпадают. Из соотношений(1.4) – (1.7) вытекает очевидная связь между обратным и дополнительным кодамиотрицательного числа :- для кодов целого числа []д = []о + 0 = []о + 1,- для кодов числа || < 1[]д = []о + −+1 .Рассмотрим правила перехода к кодам отрицательных чисел.Правило 1. Для получения обратного кода отрицательного числа необходимо вкаждом разряде –ичной записи числа заменить цифру на цифру, дополняющуюисходную цифру до − 1 , в знаковом разряде записать цифру − 1.Пример.

Представить отрицательное десятичное число х= –3597 в обратномкоде.Решение: для десятичной системы − 1 равно 10-1=9, тогда результат[] = 9.6402.Для двоичной с/с правило получения обратного кода отрицательного числапроще. В знаковом разряде записывается значение 1, а значащие разряды исходногочисла инвертируются, т.е. 0 заменяется на 1, 1 заменяется на 0.Пример. Представить отрицательное двоичное число х= –0.10111011 в обратномкоде.Решение: [] =1.01000100Правило 2.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа .необходимо получить его обратный код и прибавить 1 к младшему разряду для целыхчисел и −+1 для чисел || < 1.Пример. Представить отрицательное пятеричное число х= –20431 в обратномкоде.Решение: для пятеричной системы − 1 равно 5-1=4, тогда результат[] = 4.24013,[]д = 4.24014.Пример. Представить отрицательное двоичное число х= –0.10111011 вдополнительном коде.Решение: [] =1.01000100, результат []д =1.01000101.Рассмотрим диапазон чисел, представленных в дополнительном и обратномкодах, для разрядной сетки из разрядов.Диапазон чисел, представленных в дополнительном коде, определяется как:- для целых чисел − −1 ≤ ≤ −1 − 1;- для чисел || < 1−1 ≤ ≤ 1 − −+1 .Диапазон чисел, представленных в обратном коде, определяется как:- для целых чисел 1 − −1 ≤ ≤ −1 − 1;- для чисел || < 1 −+1 − 1 ≤ ≤ 1 − −+1 .В дополнительном коде нуль имеет одно представление 0.00…0.