Математическое моделирование механизмов параллельной структуры типа «додекапод», страница 2

Трубные роботы параллельной структурыДодекапод Саяпина-Синева. В отличие от гексапода, додекапод не толькоимеет большее рабочее пространство, но и способен самоперемещаться повнутренним и наружным поверхностям. Концепция додекапода основана напредставленном в диссертации анализе прочности платоновых тел.Используемая в диссертации модель додекапода состоит из шестишарнирных узлов A,B,C,D,E,F и двенадцати штанг переменной длины,соединяющих эти узлы (рисунок 2). Узлы A,B,C и D,E,F определяют двеплоскости. При движении додекапода в цилиндрической трубе какпостоянного, так и переменного сечений, эти тройки узлов играют роль упоров.Принимаем, что в процессе движения додекапода отсутствует проскальзываниешарниров.Рисунок 2.

Модель робот параллельной структры типа Синева-СаяпинаВторая глава посвящена математическому моделированию кинематикидодекапода (решению прямой и обратной позиционной задач кинематики) иисследованию его рабочего пространства. С помощь формулы СомоваМалышева и Грюблера вычислено число степеней свободы додекапода,равное 12.Задача анализа кинематики додекапода заключается в установлениисоотношений между длинами штанг L  (l1, l2 ,..., l12 ) и положениями узловB  ( B1, B2 , B3 ) , P  ( P1, P2 , P3 ) . Задача разделяется на прямую и обратнуюпозиционные задачи.7Обратная позиционная задача формулируется как задача отыскания длинштанг L по известным положениям узлов B, P. При определении координатузлов, использовался метод преобразования системы координат Ролла-ПичаЙора (Р-П-Й, англ.

Roll-Pitch-Yaw). Схема алгоритма решения обратной задачиимеет следующий вид (рисунок 3).Рисунок 3. Схема векторов для штанги Bi Pj1. Вычислить позиции всех точек Bi , Pi по формуламpi  [rP cos i rP sin i 0];bi  [rB cos i rB sin i 0];i [1: 3] ,где rB , rP - радиус основания и платформы; i , i - углы между шарнирамиоснования и платформы.2.

Определить матрицу вращения R( ,  ,  ) , где  ,  ,  - углы Р-П-Й.3. Вычислить длины всех штанг по схеме векторов (рисунок 3)li , j  bi  p   R, pj  ,(1)где p=(x,y,z); (⋅,⋅) – оператор скалярного произведения; i,j ∈ [1:3], i ≠ j.Прямая позиционная задача формулируется следующим образом:известны длины штанг манипулятора L. Требуется найти координаты всехузлов B, P. При неизвестных параметрах ( x, y, z,  ,  ,  ) , определяющихположение и ориентацию платформы, длины (1) штанг платформы являютсякорнями системы шести алгебраических уравнений второго порядкаli , j  bix  22 x  (R x , pjT )  biy  y  (R y , pjT )  biz  z  (R z , pjT )2 0, (2)Tгде R  R x R y R z  - матрица вращения; i,j ∈ [1:3], i ≠ j.В диссертации для решения прямой позиционной задачи додекаподапредложен метод, основанный на сведении системы (2) к задаче нелинейногопрограммированияmin ( x , y , z , , , ) ( )  l33i 1 j 1i, j li*, j2,(3)гдеli*, j   222bix  x  (R x , pjT )  biy  y  (R y , pjT )  biz  z  (R z , pjT ) .8Для решения задачи (3) метод использует гибридный алгоритм на основеалгоритмов роя частиц (Particle Swarm Optimization, PSO) и мультистарта.Схема одного старта метода решения прямой позиционной задачи имеетследующий вид.1.

Инициализируем популяцию из S частиц, положение каждой изкоторых определяет вектор  .2. Для каждой из частиц i , i [1: S ] по формуле (3) вычисляем значениефункции  (  ) .3. Вычисляем текущие приращения положения частицi  bI i1  U [0 : bC ]  ( i*  i )  U [0 : bS ]  ( i**  i ),(4)где bI  0,7298 ; bC  bS  1,49618 ; U [a : b] - вектор случайных чисел, равномернораспределенных в интервале [a : b] ;  - символ прямого произведениявекторов;  i* - вектор координат частицы, соответствующий ее наилучшемузначению функции приспособленности в течение всех предыдущих итераций,то естьmin  ( i ( ))   ( i* (t )); [ 0;t ] i** - вектор координат соседней с данной частицы (в смысле используемойтопологии соседства) с наилучшим значением приспособленности, то естьmin  (  )   ( i** ).N ( i )Здесь N ( i ) - множество соседей частицы  i .4.

Находим новые позиции всех частиц популяции по формулеi  i  i .5. Повторяем шаги 2 – 4 до выполнения условия окончания итераций,например, до достижения заданного их числа.Рабочее пространство додекапода представляет собой часть пространства,в каждую из точек которого можно перевести схват механизма, не нарушаяограничений на длины штанг lmin  li  lmax .В диссертации предложен алгоритм построения конечномернойаппроксимации рабочего пространства додекапода, схема которого имеетследующий вид.1. Организуем вложенные циклы по i  [0 : nz ] , j  [0 : n ] , k  [0 : n ] . Длятекущего набора (i, j, k ) выполняем следующие действия.bi , j ,k  ( xi , y j , zk ) ,2. Определяемкоординатыточкиpi , j , k  ( xi , j , k , yi , j , k , zi , j , k )  p( zi , j , k ) .3.

Получаем матрицу вращения R i, j , k .4. Для z=zk вычисляем длины всех боковых штанг манипулятора.95. Проверяем выполнение ограничений на длины штанг. Если всеполученные длины штанг удовлетворяют этим ограничениям, то сохраняемкоординаты точки Pi,j,k и циклический процесс продолжаем, то есть полагаемρi= ρi+Δρ. В противном случае цикл по k завершаем.Построенная конечномерная аппроксимация рабочего пространствадодекапода позволяет вычислить приближенный объем этого пространства.Схема метода вычисления объема рабочего пространства додекапода имеетследующий вид (рисунок 4).1. Определяем диапазоны изменения радиусов основания rB иплатформы rP .2. Для каждого набора значений  rB , rP  строим конечномернуюаппроксимацию рабочего пространства додекапода.3. Находим объединение построенных конечномерных аппроксимацийрабочего пространства (рисунок 4,а).4.

Определяем объем каждого слоя, толщина которого равнаzi  zi 1  zi (рисунок 4.б).4.1. Вычисляем объем каждого сектора dVi , j .4.2. Суммируем все полученные объемы Vi .5. Определение полный объем рабочего пространства додекапода поформуле V nzV .i1а)б)Рисунок 4. Объем рабочего пространства додекапода:а) сечения рабочего пространства для двух конечномерных аппроксимаций; б)схема вычисления объема слояТретья глава посвящена математическому моделированию динамикидодекапода.Позиция подвижного шарнира определяется равенствомqi  p  R  pi ,(5)где p – вектор переноса от основания до платформы; pi– вектор положенияшарнира на платформе; R – матрица вращения Р-П-Й.10Угловые скорости верхней и нижней части штанги равны соответственноv в  qi  l   lв n    I  lв n  qi2 lнnT n v н  l  lнn   qi l (6),(7),где ωl- угловая скорость штанги; n – единичный вектор направления штанги; lв,lн – длина верхней и нижней части штанги.С использованием формализма Лагранжа в диссертации полученывыражения для усилий в штангах додекапода видаfi   M1  M2  I RpT RT  q  M3 I RpT RT  q   M1  M2   2Rp  Q f  Qн  Qв  , (8)гдеT l n2  l n2 M1   I  в  mв  I  в  ;l l M3 mв lвl2nq n n  n q n n  n nq n  TiTTTiTTiM2mвlв2l3I в  I н  nT n;l22 In q n n  n nq n   TTiTTiнl Iв 3nT nqinT ;Qf, Qн, Qв - обобщенные силы действующие на штангу; mн, mв – масса нижней иверхней частей штанги.Разработана математическая модель додекапода в среде Matlab Simulink,структура которой представлена на рисунке 5.Рисунок 5.

Структурная схема додекаподав среде Matlab SimulinkВ четвертой главе выполнен синтез алгоритмов движения додекапода вцилиндрических трубах разных сечений.Прямолинейные трубы постоянного сечения. Получено условиепрохождения такой трубы, имеющее вид1122lmin    d lmax   ,33(9)где lmin, l max – минимальная и максимальная длина штанги; d – диаметр трубы; δ– диаметр шарнира (рисунок 6).Алгоритм движения додекапода в прямолинейной трубе постоянногосечения имеет следующий вид.1. Задаем начальные положения длин штанг и положения шарниров.2. Уменьшаем длины штанг основания AB, BC, CA с ls до lmin .3. Аналогично уменьшаем длины боковых штанг с lmax до lmin .4. Увеличиваем длины штанг основания с lmin до ls .5.

Уменьшаем длины штанг платформы DE, EF , DF с ls до lmin .6. Увеличиваем длины боковых штанг с lmin до lmax .7. Увеличиваем длины штанг платформы с lmin до ls . В результатедодекапод перемещается вправо на шаг hs  H max  H min .8. Повторяем шаги 2-7 требуемое число раз.Рисунок 6. Определение длин штанг додекаподаПрямолинейные трубы переменного сечения.Условия прохождения трубы в данном случае имеет вид22 d    LП (11)lmin    d1 , d2 lmax  (10),H min  22(d1  d2 )33где d1,d2 – диаметры трубы; LП – длина перехода трубы (рисунок 7).Алгоритм движения додекапода в прямолинейной трубе переменногосечения определяет следующая последовательность этапов.1.

Додекапод перемещается по трубе d1 с шагом hs  H max  H min .  H min .2. Если L >H , то додекапод движется с шагом hs  H maxПmax12Рисунок 7. Определение условия прохожденияв прямолинейной трубе переменного сечения3. Если LП ≤ Hmax, то додекапод может преодолеть переход за один шаг.Если hsmax(17LП/20)-3LП/20 ≥ Hmin, то додекапод останавливается.

В противномслучае додекапод преодолевает переход с шагом3  d2    *hs max 4 zIh LП  .4. Додекапод продолжает двигаться по трубе d2 с шагом hs’ .Криволинейная труба постоянного сечения.Условия прохождения трубы додекаподом имеет вид22lmin    d lmax   (12), П  min(13),33где θП- выбираемый шаг движения; θmin – минимальный шаг движения(рисунок 8).Алгоритм движения додекапода в криволинейной трубе имеетследующий вид.1. Проверяем условия (11), (12) прохождения трубы.2. Додекапод движется вперед в прямолинейной части трубы смаксимальным возможным шагом hs  H max  H min до перехода междупрямолинейной и криволинейной частями трубы.3.

Додекапод движется в криволинейной части с максимальнымвозможным шагом  s  max  min . После преодоления перехода, додекаподдвижется вперед в прямолинейной части с шагом hs  H max  H min .Рисунок 8. Определение условий прохождениядодекаподом криволинейной трубы13Самопересекающиеся трубы постоянного сечения.Условия прохождения додекаподом такой трубы имеет вид22lmin    d1 , d 2 lmax  33(14),lmin d   d  2 2 212(15).Алгоритм движения додекапода в самопересекающихся цилиндрическихтрубах определяет следующая последовательность этапов.1. Проверяем условия (13), (14) прохождения труб.2. Додекапод движется вперед в первой трубе с шагом hs  hs max  H minдо перехода.3.

Грань DEF фиксирует на переходе приблизительно параллельносечению перехода.4. Грань ABC переходит внутрь пересекающейся части и фиксируется.5. Грань DEF переходит внутрь пересекающейся части и фиксируется.6. Додекапод движется вперед в прямолинейной части второй трубы с .шагом hs  hs max  H minРазработана динамическая SolidWorks модель додекапода.В пятой главе представлен программный комплекс ДОДЕКАПОД,реализующий основные модели, методы и алгоритмы, разработанные вдиссертации. Комплекс включает в себя два основных модуля: вычислительныймодуль; моделирующий модуль.В вычислительном модуле реализованы следующие методы (глава 2):- метод решения прямой позиционной задачи путем сведения ее к задаченелинейного программирования и решения последней гибридным методом роячастиц и мультистарта;- метод конечномерной аппроксимации рабочего пространствадодекапода;- метод вычисления объема рабочего пространства додекапода на основеего конечномерной аппроксимацииМоделирующий модуль включает в себя реализацию следующихматематических моделей (глава 3, 4):- Simulink динамическая модель додекапода;- SolidWorks динамическая модель додекапода.В качестве среды программирования комплекса ДОДЕКАПОДиспользованы средства Matlab 2009 и SolidWorks 2010.На рисунке 9 показано главное окно программного комплекса.С помощью программного комплекса ДОДЕКАПОД выполненоисследование эффективности предложенного в диссертации математического,алгоритмического и программного обеспечения.