dm3 (Лекция)

11.1ÂâåäåíèåÎ ïðåäìåòå è ñîäåðæàíèè êóðñàÑëîâî "äèñêðåòíûé" ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ïî çíà÷åíèþ ñëîâó "íåïðeðûâíûé", à íåïðåðûâíûìè ìîãóò áûòü òîëüêî áåñêîíå÷íûå îáðàçîâàíèÿ. Äèñêðåòíàÿìàòåìàòèêà èìååò äåëî ñ êîíå÷íûìè îáúåêòàìè: êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè è èõïðåîáðàçîâàíèÿìè (ôóíêöèÿìè, îïðåäåëåííûìè íà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ è ïðèíèìàþùèìè êîíå÷íûå ìíîæåñòâà çíà÷åíèé). Ýëåìåíòû êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ìîæíî îáîçíà÷àòü öåëûìè ÷èñëàìè, ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà îïåðèðóåò öåëûìè ÷èñëàìè, ðåçóëüòàòû âñåõ âû÷èñëåíèé öåëûå ÷èñëà.Èñòîðè÷åñêè íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà ïîÿâèëèñü ðàíüøå âñåõ îñòàëüíûõ,îíè âûðàæàþò êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Òàê ïðèøëè ê ïîíÿòèþ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà äðåâíèå ëþäè, òàê ó÷àò ìàëåíüêèõ äåòåé, ïîêàçûâàÿ è ñðàâíèâàÿìíîæåñòâà ñíà÷àëà îäèíàêîâûõ ïðåäìåòîâ (ïàëî÷åê, êóáèêîâ, øàðèêîâ), à çàòåìè ðàçíîðîäíûõ.

Ïîçæå ïîíÿòèå ÷èñëà ðàñøèðÿåòñÿ â ñâÿçè ñ ïðàêòè÷åñêèìè äåéñòâèÿìè ñ÷åòîì, àðèôìåòè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè è îáðàòíûìè ê íèì. ×èñëî 0 íåèçìåíÿåò èñõîäíîå ïðè ñëîæåíèè, îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà ïîÿâëÿþòñÿ ïðè âûïîëíåíèè âû÷èòàíèÿ, äåéñòâèÿ, îáðàòíîãî ñëîæåíèþ. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ðåçóëüòàòäåëåíèÿ, äåéñòâèÿ, îáðàòíîãî óìíîæåíèþ. Èððàöèîíàëüíûå è êîìïëåêñíûå ÷èñëà ðåçóëüòàò èçâëå÷åíèÿ êîðíåé, äåéñòâèé, îáðàòíûõ âîçâåäåíèþ â ñòåïåíü.Äàæå øêîëüíèêè ìîãóò óáåäèòüñÿ, ÷òî çàäà÷è ñ öåëî÷èñëåííûì ïî ñìûñëó ðåçóëüòàòîì äîâîëüíî ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ îò àíàëîãè÷íûõ çàäà÷ áåç òàêîãî îãðàíè÷åíèÿ: óðàâíåíèÿ, íåðàâåíñòâà è èõ ñèñòåìû ìîãóò íå èìåòü ðåøåíèÿ è, íàïðîòèâ,ðåøåíèå âñåãî ëèøü îäíîãî óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè íåèçâåñòíûìè ìîæåò áûòüåäèíñòâåííûì. äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå, â ñèëó êîíå÷íîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ ìíîæåñòâ, íåâîçìîæåí ïðåäåëüíûé ïåðåõîä è, ñëåäîâàòåëüíî, íåïðèìåíèìû îñíîâàííûå íà ïîíÿòèè ïðåäåëà ìåòîäû äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ.

Íåîáõîäèìû èíûå ïîäõîäû, îáóñëîâëåííûå ñïåöèôèêîé äèñêðåòíûõ çàäà÷, è ñèñòåìàòèçàöèÿ èõ â îñîáîì ðàçäåëå ìàòåìàòèêè.  ÕÕ âåêå äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêàïîëó÷èëà äîïîëíèòåëüíûé ñòèìóë ê ðàçâèòèþ â ñâÿçè ñ ïîÿâëåíèåì è øèðîêèìïðèìåíåíèåì öèôðîâîé òåõíèêè. Ëþáîå òàêîå óñòðîéñòâî êîíå÷íî, è â íåì öèôðàìè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëèøü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÷èñåë, êàê áû âåëèêî îíîíè áûëî. Ýòèì ñõîæè è ïðîñòåéøèé äðåâíèé âû÷èñëèòåëüíûé èíñòðóìåíò àáàê(ñ÷åòû), è ñîâðåìåííûé ñóïåðêîìïüþòåð.Îäíàêî íå ñëåäóåò ïðîòèâîïîñòàâëÿòü äèñêðåòíóþ è íåïðåðûâíóþ ìàòåìàòèêó.Îíè, êàê áóäåò âèäíî, íàõîäÿòñÿ â òåñíîé âçàèìîñâÿçè, ìåòîäû îäíîé ïðèìåíÿþòñÿ êàê èíñòðóìåíò â äðóãîé, èõ òðóäíî ðàçäåëèòü.

Îâëàäåíèå è äèñêðåòíûìè,è íåïðåðûâíûì ìåòîäàìè íåîáõîäèìî äëÿ âûðàáîòêè ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû1è óñïåøíîãî ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòèêè â ëþáîé ñôåðå äåÿòåëüíîñòè.Èçëàãàåìûé çäåñü êóðñ ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé. Ïåðâàÿ ÷àñòü ýòî ìåòîäû êîìáèíàòîðíûõ âû÷èñëåíèé, ïîäñ÷åòà ðàçëè÷íûõ êîíå÷íûõ îáúåêòîâ. Âòîðàÿ ÷àñòü ìîäåëè è ìåòîäû òåîðèè ãðàôîâ, ñîâðåìåííîãî ðàçäåëà ìàòåìàòèêè, ïîçâîëÿþùåãî àíàëèçèðîâàòü âñåâîçìîæíûå îòíîøåíèÿ ìåæäó ïàðîé ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãîìíîæåñòâà. Òåîðèÿ ãðàôîâ îáëàäàåò áîëüøîé ñòåïåíüþ óíèâåðñàëüíîñòè, êðàñîòîé è íàãëÿäíîñòüþ, ïîçâîëÿþùåé ñ÷èòàòü åå àíàëîãîì ãåîìåòðèè ïðè êîíå÷íîììíîæåñòâå òî÷åê.

Òðåòüÿ, çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü öåëî÷èñëåííàÿ àðèôìåòèêà,îíà îáëàäàåò, êàê óæå ãîâîðèëîñü, óäèâèòåëüíûìè (íà ïåðâûé âçãëÿä) îñîáåííîñòÿìè, ïîçâîëÿþùèìè â ðÿäå ñëó÷àåâ çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèéè èçáåæàòü îøèáîê. Ðåçóëüòàòû ïåðâîé ÷àñòè ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþòñÿ â ïîñëåäóþùèõ.1.2Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà1. Íàáåáèí À. À. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà Ì.: Íàó÷íûé ìèð, 2010.2. Èâàíîâ Á. Í. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. Àëãîðèòìû è ïðîãðàììû Ì.: Ëàá.áàç. çíàíèé, 2002.3. Íàáåáèí À. À.

Ñáîðíèê çàäàíèé ïî äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêå Ì.: Íàó÷íûéìèð, 2009.Íè îäíà èç êíèã íå ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíîé. Äëÿ îâëàäåíèÿ êóðñîì è óñïåøíîãî âûïîëíåíèÿ çàäàíèé äîñòàòî÷íî ïóáëèêóåìîãî çäåñü ìàòåðèàëà. Íî ïîëåçíîçíàòü, ÷òî òàêèå êíèãè åñòü, êàê è ìíîæåñòâî äðóãèõ, â çàãëàâèè êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò ñëîâà "äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà".1.3Ïðèìåíÿåìûå îáîçíà÷åíèÿN = {1, 2, . . .} ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.Z = {0, ±1, ±2, . . .} ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë.Z+ = {0, 1, 2, . . .} ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë.R = (−∞; +∞) ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.C = {z = x + iy, x, y ∈ R} ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ãäå i ìíèìàÿåäèíèöà, i2 = −1.bxc öåëàÿ ÷àñòü âåùåñòâåííîão x, íàèáîëüøåå öåëîå, íå ïðåâîñõîäÿùåå x.dxe äëÿ âåùåñòâåííîãî ÷èñëà x íàèìåíüøåå öåëîå M òàêîå, ÷òî M ≥ x.

îçíà÷àåò êîíåö äîêàçàòåëüñòâà, "òðåáóåìîå ïîëó÷åíî", "òåîðåìà äîêàçàíà".22Âû÷èñëåíèå êîíå÷íûõ ñóìì çàäà÷àõ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè ïðèõîäèòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî âûïîëíÿòü íåêîòîðûå ñòàíäàðòíûå âû÷èñëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ñóìì, çàâèñÿùèõ îò íåñêîëüêèõ ïàðàìåòðîâ, îäíèì èç ïàðàìåòðîâ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî ñëàãàåìûõ.

Ýòèìè íåñëîæíûìè òåõíè÷åñêèìè ïðèåìàìè íåîáõîäèìî îâëàäåòü äëÿóñïåøíîãî ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ è ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷. Îòìåòèì, ÷òî ïðèíöèïèàëüíûì îòëè÷èåì ýòèõ âû÷èñëåíèé îò ñóììèðîâàíèÿ ðÿäîâ ìåòîäàìè âûñøåéìàòåìàòèêè (òî÷íåå, ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîñòü ÷èñëà ñëàãàåìûõ è íåâîçìîæíîñòü ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå òàêèåñèòóàöèè ÷àñòî ïðèâîäÿò ê ïðèáëèæåííîìó ðåçóëüòàòó (ïîãðåøíîñòü êîòîðîãîìîæíî, òåì íå ìåíåå, îöåíèòü).

Ìû æå áóäåì èñêàòü òî÷íûå çíà÷åíèÿ ñóìì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Íàïîìíèì, ÷òî ðåçóëüòàòîì âñåãäà äîëæíî áûòü öåëîå ÷èñëî.Ðàññìîòðèì äîâîëüíî îáùåå ñåìåéñòâî ñóììSn (k) =nXj k = 1k + 2k + · · · + nk ,(1)j=1çàâèñÿùèõ îò äâóõ öåëî÷èñëåííûõ ïàðàìåòðîâ n ≥ 1 è k ≥ 0.1.1 Ïðè k = 0 áåç òðóäà íàõîäèìSn (0) =nX0j =j=1nX1 = n,j=1Sn (0) = n.(1.1)1.2. Ïðè k = 1 çàïèøåì ñóììó Sn (1) â ïðÿìîì è îáðàòíîì ïîðÿäêå:Sn (1) = 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 2) + (n − 1) + n,Sn (1) = n + (n − 1) + (n − 2) + · · · + 3 + 2 + 1.Ñëîæèâ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì2Sn (1) = (1 + n) + (2 + n − 1) + (3 + n − 2) + · · · + (n − 2 + 3) + (n − 1 + 2) + (n + 1). ïðàâîé ÷àñòè òåïåðü ñóììà n îäèíàêîâûõ ñëàãàåìûõ (n + 1), îòêóäàSn (1) =n(n + 1).2(1.2)Âåëèêèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ (17771855) ïðèäóìàë òàêîéñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ýòîé ñóììû â 7-ëåòíåì âîçðàñòå.3Ðàññìîòðèì èíîé ñïîñîá.

Îí èñïîëüçóåò ñóììó Sn+1 (2). Ñ îäíîé ñòîðîíû,Sn+1 (2) = Sn (2) + (n + 1)2 = Sn (2) + n2 + 2n + 1.Ñ äðóãîé ñòîðîíû,Sn+1 (2) =nX2(j + 1) =j=0nX(j 2 + 2j + 1) = Sn (2) + 2Sn (1) + (n + 1).j=0Òàêèì îáðàçîì,Sn (2) + n2 + 2n + 1 = Sn (2) + 2Sn (1) + n + 1,îòêóäà ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé 2Sn (1) = n2 + n. Ïîëó÷àåì òîò æåðåçóëüòàò (1.2). Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n ïðîèçâåäåíèå n(n + 1) ÷åòíî, ïîýòîìóSn (1) öåëîå.Âòîðîé ñïîñîá ìîæíî ìîäèôèöèðîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ, êàê ìû ïîêàæåì, èáîëåå ñëîæíûõ ñóìì.1.3 (ñóììà ïåðâûõ n ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè a1 , a2 = a1 +d,a3 = a1 + 2d, . .

.ñ ðàçíîñòüþAn (d) =d)nXj=1aj =nX(a1 + (j − 1)d).j=1Ïðåîáðàçóÿ ñóììó è èñïîëüçóÿ (1.2), ïîëó÷àåìAn (d) = na1 + d(1 + 2 + · · · + n − 1) = na1 + d(n − 1)n/2.Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïðèõîäèì ê èçâåñòíûì ñî øêîëû ôîðìóëàìAn (d) =n(2a1 + (n − 1)d) n(a1 + an )=.22(1.3)1.4. Âû÷èñëèì Sn (2) ñïîñîáîì, àíàëîãè÷íûì âòîðîìó ìåòîäó âû÷èñëåíèÿ ñóììû Sn (1). ÈìååìSn+1 (3) = Sn (3) + (n + 1)3 = Sn (3) + n3 + 3n2 + 3n + 1.Ñ äðóãîé ñòîðîíû,Sn+1 (3) =nX3(j + 1) =j=0nX(j 3 + 3j 2 + 3j + 1) = Sn (3) + 3Sn (2) + 3Sn (1) + (n + 1).j=0Òàêèì îáðàçîì,Sn (3) + n3 + 3n2 + 3n + 1 = Sn (3) + 3Sn (2) + 3Sn (1) + n + 1.4Ñ ó÷åòîì (1.2) ïîëó÷àåìn3 + 3n2 + 3n = 3Sn (2) + 3n(n + 1)/2 + n,.n(n + 1)(2n + 1).(1.4)6Óáåäèìñÿ, ÷òî âûðàæåíèå èç ïðàâîé ÷àñòè (1.4) öåëîå. Èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë ðîâíî îäíî ÷åòíî, ïîýòîìó ÷èñëèòåëü äðîáè äåëèòñÿ íà 2.

Ïðîâåðèòü,÷òî îí äåëèòñÿ è íà 3 (ñëåäîâàòåëüíî, íà 6 = 2 · 3) ìîæíî, ðàññìîòðåâ âîçìîæíûåîñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 3 ÷èñëà n (ñëó÷àè n = 3m, 3m + 1, 3m + 2, ãäå m ∈ Z ).Ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.1.5. Àíàëîãè÷íî âû÷èñëèì Sn (3). Èç âûðàæåíèéSn (2) =Sn+1 (4) = Sn (4) + (n + 1)4 = Sn (4) + n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1,Sn+1 (4) =nX4(j + 1) =j=0nX(j 4 + 4j 3 + 6j 2 + 4j + 1) =j=0= Sn (4) + 4Sn (3) + 6Sn (2) + 4Sn (1) + (n + 1)ñëåäóåò ðàâåíñòâîSn (4) + n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 = Sn (4) + 4Sn (3) + 6Sn (2) + 4Sn (1) + n + 1.Ïîäñòàâëÿÿ â íåãî (1.1), (1.2), (1.4), ïîëó÷èìn4 + 4n3 + 6n2 + 4n = 4Sn (3) + n(n + 1)(2n + 1) + 2n(n + 1) + n,îòêóäà 4Sn (3) = n4 + 2n3 + n2 è, íàêîíåö,n2 (n + 1)2Sn (3) =.4(1.5)1.6.

Òàêèì æå ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿþòñÿ ñóììû Sn (4), Sn (5), . . .. Â÷àñòíîñòè,Sn (4) =nXj=1j4 =n(6n4 + 15n3 + 10n2 − 1).30Âûâåäèòå ýòó ôîðìóëó ñàìîñòîÿòåëüíî.1.7. Çíàÿ Sn (0), Sn (1), Sn (2), . . . , Sn (m) è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè ñóìì,ìîæíî âû÷èñëèòü ñóììó ìíîãî÷ëåíîâ còåïåíè m, çàâèñÿùèõ îò j :nX(am j m + am−1 j m−1 + · · · + a1 j + a0 ) =j=15= am Sn (m) + am−1 Sn (m − 1) + · · · a1 Sn (1) + a0 Sn (0).2.ëåìÑóììà ïåðâûõ ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòe-qGn (q) = 1 + q + q 2 + · · · + q nâû÷èñëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì:Gn (1) = n + 1,Gn (−1) = 0 ïðè ÷åòíûõ n,Gn (−1) = 1 ïðè íå÷åòíûõ n,q n+1 − 1Gn (q) =ïðè |q| =6 1.q−1Ïðèìåð.

Âîò ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à, â êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ ñóììà Gn (q).Êàêîâî êîëè÷åñòâî äåñÿòè÷íûõ öåëûõ ÷èñåë îò 0 äî 10n , íå ñîäåðæàùèõ íàõîäÿùèõñÿ ðÿäîì îäèíàêîâûõ öèôð?Îáîçíà÷èì èñêîìóþ âåëè÷èíó êàê xn . Ëåãêî íàéòè x1 = 10, x2 = 100 − 9 = 91.Ïóñòü íàéäåíî ÷èñëî xn . Òîãäà xn+1 = xn + ∆n+1 , ãäå ∆n+1 êîëè÷åñòâî ÷èñåë,ñîäåðæàùèõ ðîâíî n + 1 öèôð d1 , d2 , . . . , dn+1 , ïðè ýòîì d1 6= 0, ò. å. d1 ìîæåòïðèíèìàòü ëþáîå èç 9 çíà÷åíèé 1, . . . , 9. Òîãäà è äëÿ êàæäîãî j = 2, . .

. , n + 1öèôðà dj ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå èç 9 çíà÷åíèé, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó{0, 1, . . . , 9} \ {dj−1 }. Âñå n + 1 öèôð ìîãóò ïðèíèìàòü, òàêèì îáðàçîì, 9n+1çíà÷åíèé (ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùåãî, ÷àñòî èñïîëüçóåìîãî â ðàçëè÷íûõ çàäà÷àõ äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè). Ñëåäîâàòåëüíî, ∆n+1 = 9n+1 ,xn+1 = xn + 9n+1 ,ïðàâèëà ïðîèçâåäåíèÿ9n+1 − 1xn = 10 + 9 + 9 + · · · + 9 = Gn (9) =.823nÇàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÂàðèàíò çàäàíèÿ Âàø íîìåð â ñïèñêå ãðóïïû.Ðåøåíèÿ ïðèñûëàéòå ìíå, Ìåùàíèíîâó Äìèòðèþ Ãåðìàíîâè÷ó, ïîàäðåñó MeshchaninovDG@mpei.ruÍåîáõîäèìî âûïîëíèòü ïî îäíîìó âàðèàíòó êàæäîãî èç òðåõ çàäàíèé âû÷èñëèòü óêàçàííûå ñóììû öåëûõ ÷èñåë.Çàäàíèå 11.1.nPj 2 (j − 3).j=161.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.1.8.1.9.1.10.1.11.1.12.1.13.1.14.1.15.nPj 2 (2j + 1).j=1nP(j 3 − 3j).j=1nP(2j 3 + j − 1).j=1nP(3j 3 − 4).j=1nP(j 3 + 4j).j=1nP(j 3 + 3j 2 ).j=1nP(j 3 − 3j − 1).j=1nPj 2 (j + 2).j=1nPj(j 2 + 2j + 1).j=1nP(j 3 + 3j − 1).j=1nP(j 3 + 2j + 1).j=1nP((j + 1)3 − j).j=1nP(2j 3 − (j − 1)2 ).j=1nP(3j 2 + j 2 (j − 1)).j=17Çàäàíèå 22.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.8.2.9.2.10.2.11.2.12.2.13.2.14.2.15.nP(−1)j 2j.j=0nP(−1)j (2 − j).j=0nP(−1)j (2j − 1).j=0nP(−1)j+1 2j.j=0nP(−1)j−1 (2j + 1).j=0nP(−1)j (4j + 2).j=0nP(−1)j−1 (j + 1).j=0nP3(−1)j (3 − j).j=0nP(−1)j (2j − 3).j=0nP(−1)j (1 − j).j=0nP(−1)(11j) (j − 1).j=0nP(−1)(21j) 2j.j=0nP(−1)(3j) (j − 3).j=0nP(−1)j+4 (j − 4).j=0nP2(−1)j 2j.j=08Çàäàíèå 3Íàéäèòå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ çíà÷åíèåì ñóììû.3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.3.6.3.7.3.8.3.9.3.10.3.11.3.12.3.13.3.14.3.15.11P(1 + (−2)j ).j=09P((−1)j + (−2)j ).j=05P(−15 + (−3)j ).j=06P3((−1)j + (−4)j ).j=05P(3j + (−2)j ).j=06P(4j + (−2)j ).j=06P((−2)2j − (−2)j ).j=06P((−1)j + (−2)j ).j=05P(22j + (−1)j ).j=010P(2j + (−2)j ).j=07P(2(−1)j + (−2)2j ).j=04P((−3)2j + (−2)3j ).j=06P((−1)3j + (−3)j ).j=011P((−1)2j + (−2)j ).j=011P2((−1)j + (−2)j ).j=093Îñíîâíûå êîìáèíàòîðíûå êîíôèãóðàöèè è ÷èñëàÊîìáèíàòîðèêà, êîìáèíàòîðíûé àíàëèç ýòî ðàçäåë ìàòåìàòèêè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîäìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.