ïÉ 18 (Лабораторная работа № 18 Исследование дифракции Фраунгофера)

Лабораторная работа № 18Исследование дифракции ФраунгофераЦелью работы является компьютерное моделирование и экспериментальноеисследование дифракции Фраунгофера на отверстиях различной формы.1. ВведениеДифракционный интеграл Френеля—Кирхгофа. Для исследованиядифракции волн на препятствиях различной формы (рис.1) применимдифракционный интеграл Френеля—Кирхгофа [1]exp  jk ( r − r0 )  jkA E ( P) =−αcos()dF , ∫∫rr0 2π  Fгде k – модуль волнового вектора, А – амплитуда падающей на экран волны.Если расстояния от точек Р0 и Р до экрана велики по сравнению с линейнымиразмерами отверстия, то множитель cos(α) изменяется по отверстиюнезначительно, поэтому его можно вынести за знак интеграла. Множитель 1/rr0можно заменить на 1/r'r'0, где r' и r'0— расстояния от точек Р и Р0 до началакоординат.

Тогда дифракционный интеграл принимает вид jkA cos α E ( P) =− ∫∫ exp  jk ( r − r0 )  dF .′′2πrr0F(1)Возьмем за начало декартовой системы координат точку О отверстия, а осиоξ и оη выберем в плоскости отверстия (рис. 1).1хуzРис. 1. Дифракция волны на отверстии в плоском экранеПусть (х0, у0, z0) и (х, у, z) – координаты точек Р0 и Р, а (ξ, η) – координатыточки Q отверстия в плоскости экрана, тогдаr02 = (x0 – ξ)2 + (y0 – η)2 + z02;r2 = (x – ξ)2 + (y – η)2 + z2;r′02 = x02 + y02 + z02;r′ 2 = x2 + y2 + z2.Следовательно,r02= r′02 – 2(x0ξ + y0η) + ξ2 + η2;r2 = r′2 – 2(xξ + yη) + ξ2 + η2.Предположим, что линейные размеры экрана малы по сравнению с r' и r′0, ипоэтому можно разложить координаты точек Р0 и Р соответственно r' и r0' встепенные ряды поr0ξ η ξ ηтогда получим; ; ;r ′ r ′ r0′ r0′22x0ξ + y0 η ) ( ξ + η ) ( x0ξ + y0 η )(≈ r′ −+−0r0′2r0′2+ ...

;2r0′32(xξ + yη) (ξ 2 + η 2 ) ( xξ + yη)r ≈ r′ −+−+ ...r′2r ′2r ′ 3.Подставляя эти выражения в (1), получаем2exp[ jk ( r0′ − r ′)]⋅∫∫exp ( jkf (ξ,η ) )d ξd η  ,E ( P) =− jkA cosα2π r ′r0′F(2)где( x ξ + y0η ) − ( xξ + yη ) + ξ 2 + η2  1 r′ + 1 r′  −f ( ξ,η ) =− 0()  2 2 0 r0′r′( x ξ + y0η ) + ... .− 02r0′32(3)Выражение (2) существенно упрощается, если в (3) можно пренебречьквадратичными и более высокого порядка членами. Такой вид дифракцииназывается дифракцией Фраунгофера и играет большую роль в прикладнойфизической оптике.Ограничиться линейными членами в (3) можно, если выполняется условие(x ξ+ y ηk 1 1  20 +  ξ + η2 − 02  r′ r′ r′ 300)()2( xξ + yη )−r ′32+ ...

<< π(4)Так как первое слагаемое в этом выражении больше, чем остальные, тонеравенство (4) выполняется, если(ξr ′ >>2+ η2 )λmax;(ξr ′ >>2+ η2 )0maxλ.(5)Таким образом, дифракция Фраунгофера наблюдается, если расстояния отисточника до экрана и от точки наблюдения до экрана достаточно велики.Введем обозначения величинx x0y y+ =p и + 0 =q , которые характеризуютr ′ r0′r ′ r0′направление распространения дифрагированной волны, тогда выражение (2)принимает вид=E ( P ) C ∫∫ expξ[ jk (ηp d+ qd)] ξ η ,где С — величина, стоящая перед интегралом в (2).3(6)Соотношение (6) можно записать в виде двумерного интеграла Фурье, есливвести функцию зрачка, определяемую соотношениемC ,если ξ,η ∈;FG(ξ,η)= 0,если ξ,η ∉.FТогда (6) имеет вид=E ( p,q )∞∫ ∫ G ( ξ,η ) exp - jk ( pξ + qη )  dξ dη .−∞(7)Соотношение (7) позволяет проводить расчеты дифракционных картин (ДК)для любых форм отверстий с учетом оговоренных выше приближений.В литературе часто используется другая запись выражения (7).

Введемобозначения kp = ωξ ; kq = ωη , тогда (7) принимает вид)∞=E ω ,ξ,ηω exp ∫ - ∫ G ( ξξ η−∞()η j dωd + ω   ξ η .η   ξВеличины ωξ и ωη имеют размерность рад/мм и называютсяпространственными частотами. Таким образом, дифракционная картинаФраунгофера представляет собой двумерное преобразование Фурье от функциизрачка.Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстииРассмотрим дифракцию Фраунгофера на прямоугольном отверстии.

Еслиначало координат О находится в центре прямоугольника с размерами a × b, а осиξ и η параллельны его сторонам (рис. 2,a), то (6) принимает видE ( p,q ) =a2∫ ∫ exp -jk ( pξ + qη) dξdη =-a2b2a2-b2= C ∫ exp ( -jkpξ ) dξ ×a2b2∫ exp ( -jkqη) dη.-b2Интегралы, входящие в последнее выражение, легко вычисляются4a21 expjkpdξξ=−() jkp  exp ( - jkpξ )∫a−2a2−a2= asin( kpa )kpa.Такой же вид имеет и второй интеграл. Следовательно, дифракционное полеопределяется как kqb  kpa E ( p,q ) = Cab sinc sinc 2  2 ,а интенсивность kpa 2  kqb I ( p,q ) = I 0 sinc 2  sinc , 2  2 (8)sin x; I0—интенсивность в центре дифракционной картины.xГрафик функции у = sinс2х приведен на рис.

2, б. Она имеет главный максимумy = 1 при x = 0 и минимумы, равные нулю, при x=±π, ±2π, ±3π, ... Эти минимумыразделяют вторичные максимумы, положения которых приведены в таблице 1.где sinc x ≡Рис. 2. Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии:а — размеры экрана; б — график функции y = sinc2x5Таблица 1х04,4937,72510,9014.02sinc2x10,047180,016940,008340,00503Интенсивность I(р, q) равна нулю вдоль двух рядов линий, параллельныхсторонам прямоугольника. Положение этих двух линий определяется изсоотношенийkpa= ± nπ ,2kpb= ± mπ ,2где п, m = 1; 2; 3 ..., откуда получаем значения направлений, вдоль которыхнаблюдаются минимумы интенсивности дифрагированного светаp= ±nλmλ, q= ±.baЧем меньше размер отверстия, тем под большим углом к первоначальномунаправлению распространения волны наблюдается соответствующий минимумДК.

Внутри каждого прямоугольника, образованного парами темных полос,интенсивность дифрагированного света достигает максимумов, однакоинтенсивность света в этих максимумах составляет малую долю от интенсивностив центре ДК.Дифракция Фраунгофера на круглом отверстииДля вычисления ДК целесообразно использовать полярные координатывместо прямоугольных (рис.

3.а). Пусть R, θ полярные координаты произвольнойточки отверстия, т. е. R cos θ = η; R sin θ = ξ, и пусть υ, ψ, — координаты точки Рв дифракционной картине, т. е. υcos ψ = p, υsin ψ = q. Очевидно, что=υp2 + q2 .Если ρ — радиус отверстия, то дифракционный интеграл (6) принимает видEυ()ρC2π∫ ∫ exp jkRυθ0cos ( d− φdθ)R R.06ξa)ρб)QηRθРис. 3. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии: 2J ( x ) a — размеры отверстия; б — график функции y =  1  x 2Вычисление этого интеграла дает πρ 2  Jρυ1 (kE ( υ) = C 2k 2ρυ),где J1(x) —функция Бесселя первого рода первого порядка.Распределение интенсивности в ДК записывается как J ( kρυ ) I (υ ) = I0  2 1 ,ρυk2(9)где I0 — интенсивность света в центре ДК. Соотношение (9) известнокак формула Эйри. J ( x) График функции y =  2 1  приведен на рис.

3, б. Она имеет главныйx 2максимум у = 1 при х = 0 и с увеличениием х осциллирует с постепеннымуменьшением амплитуды вторичных максимумов. В таблице 2 приведены J ( x) значения функции y =  2 1 x 2в экстремальных точках.7Таблица 2x03,8325,1367,0168,41710,17411,320[2J1(x)/x]2100,017500,004200,0016Анализ графика, представленного на рис. 3,б, показывает, что ДК имеет видсветлого диска с центром p = q = 0, окруженного светлыми и темными кольцами.Интенсивность светлых колец быстро уменьшается с увеличением радиуса.

Радиусы темных колец определяются из условия х = 3,82; 7,016; 10,174, т. е. υ = 0,61λ/ρ; 1,12 λ/ρ; 1,62 λ/ρ; ... . Таким образом, эффективные размеры ДК обратнопропорциональны линейным размерам отверстия. В центральном дифракционномкруге с радиусом υ = 0,61 λ/ρ сосредоточено около 80% мощностидифрагированного света.Дифракция Фраунгофера на двух одинаковых отверстияхПусть на экран, содержащий два одинаковых отверстия, падает плоскаямонохроматическая волна. На каждом отверстии волна испытывает дифракцию, адифрагированные волны интерферируют, так как они являются когерентными. Всоответствии с (6) имеемE ( P )= C ∫∫ expξ{− jkη( p dξd+q)}F1expη +C ∫∫ξ{− jkη( p dξd+q)}η . (10)F2где F1 и F2 —площади первого и второго отверстий соответственно.Предположим, что отверстия расположены симметрично относительно началаl2координат и центры их расположены в точках с координатами 0, − и 0, +l2соответственно, где l — расстояние между отверстиями.

Так как попредположению форма отверстий одинакова, то (10) принимает видpl  pl E ( P ) = C exp − jk  + exp  jk  E1 ( P ) ,2 2 где через Е1 (Р) обозначен интеграл по отверстию, описывающийдифрагированное поле на одном отверстии.Тогда интенсивность kpl I ( p,q ) = 4 I1 ( p,q ) cos 2 , 2 (11)8т.е. дифракционная картина от одного отверстия оказываетсяпромодулирована пространственной гармонической функцией, зависящей отрасстояния между отверстиями.2.

Экспериментальная установкаОбщие сведения и составАвтоматизированное лабораторное место студента АРМС - 7 [4]представляет собой компьютерную систему технического зрения на основеуправляемой твердотельной ПЗС-камеры. Система позволяет:• Визуализировать на экране дисплея компьютера в режиме реальноговремени распределение освещенности на приемной площадке ШС камеры,формируемое внешней оптической системой или штатным объективом камеры• Записывать стоп-кадры вводимого видеосигнала в BMP формате• Визуализировать ранее записанные в BMP формате кадры изображения• Производить амплитудные и координатные измерения непрерывнопоступающего или ранее записанного видеосигнала, а также измерять такиестатистические характеристики как среднее, уровень шума, отношениесигнал/шум при произвольной величине выборки, неравномерность ТВ сигнала• Распечатывать как сами изображения, так и графики видеосигналов строки столбцов отдельных кадров.• Просматривать изображение с использованием переменного увеличения(электронная лупа).• Формировать результаты измерений в виде текстовых файлов сзадаваемой пользователем структурой для последующей их обработки средствамиMicrosoft Excel.В состав системы входят:• Оптическая система формирования дифракционных иинтерференционных изображений• Видеокамера типа VAC-135 или аналогичная9• Персональный компьютерВ состав объектов исследования входят:• наборы дифракционных объектов (фотолитография)• щель переменной ширины (механическая) с отсчетным устройствомВ комплект программного обеспечения входит программа обработкивидеоизображения OSCWDM.