Экзаменационные билеты

Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 1 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А.)Экзаменационный билет № 2 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А..)Модуль 1: Теория вероятностей1.1. Случайные события. Определение вероятности. (5 баллов)2. Найти распределение дискретной случайной величины ξ ,принимающей значения x1 с вероятности 0,5 и x2 , если2.M ( ξ ) = 1, 4 ; D ( ξ ) = 0 ,49 .

(5 баллов).3. Найти распределение случайной величины Z = X + Y , еслиX i : 10 12 16Yi : 1 2(5 баллов).pi : 0, 4 0,1 0,5qi : 0,8 0, 2Модуль 2: Математическая статистика4. Точечные оценки параметров распределения, их свойства:несмещенность,эффективность,состоятельность.Оценкигенеральной и выборочной дисперсии. (6 баллов)5. Найти интервальную оценку дисперсии вариационного рядаX i : 12 14 16 18Ni :5 10 30 10при доверительной вероятности β = 0,95 .(5 баллов)6.

Дополнительные вопросы (4 балла)Модуль 1: Теория вероятностейСлучайная величина (дискретная, непрерывная). Законраспределения дискретной случайной величины. Функцияраспределения случайной величины. (5 баллов)Задана плотность вероятности случайной величиныX : f ( x) = 0,5sin x , при x ∈ (0, π ); f ( x) = 0 , при x ∉ (0, π ) , найтиплотность(5 баллов)3.распределениеСлучайныевеличиныраспределение.Прислучайнойξ1этомиξ2величиныимеютM ( ξ1 ) = 1 ,Y = 0,5 x 2 .пуассоновскоеM ( ξ2 ) = 9 .НайтиD ( 3ξ1 − 2ξ 2 − 3) , если коэффициент корреляции ρ ( ξ1 ,ξ 2 ) = −0 ,8(5 баллов)Модуль 2: Математическая статистика4. Методом моментов найти оценки параметров α и β плотности1α −x βf ( x ) = α+1x e ; x ≥ 0 .

(6 баллов)β Г (α +1)5. Найти интервальную оценку математического ожидания суровнем доверия γ = 0,9 , если при n = 10 измерениях получено2x = 15 и S = 3 (5 баллов)6. Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.СидняевБилет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН.

Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 3 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А..)1.Модуль 1: Теория вероятностейБиномиальный закон распределения, его математическоеожидание и дисперсия. (5 баллов)2. Определить значение константы C и записать функциюраспределения F ( x) по заданной функции плотности вероятностиπ πC ⋅ sin 3 x, если x ∈ ( 6 ; 3 ]f ( x) = .π π 0, если x ∉ ( ; ]6 3(5 баллов)3.

Восстановить закон распределения дискретной случайнойвеличины ξ принимающей значения 1; –2 и 3, если M ( ξ ) = 0 ,3 ;D ( ξ ) = 5,61 . (5 баллов)Модуль 2: Математическая статистика4. Метод максимума правдоподобия (ММП). Точечные оценкипараметров в ММП для нормального закона распределения.(6 баллов)5. На уровне значимости α = 0,05 проверить равенство оценки2x = 15 при n = 20 и числа 13, если S = 4 . (5 баллов)6. Дополнительные вопросы (4 балла)Московский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 4 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А..)Модуль 1: Теория вероятностей1. Закон распределения Пуассона, его математическое ожидание идисперсия. (5 баллов)2.

Задана непрерывная двумерная случайная величина,распределенная равномерно в треугольнике с вершинами:A ( 0; 0 ) , B (1; 0 ) , C (1; 1) . Найти плотности составляющих иусловные математические ожидания M ( X |Y ) и M (Y | X ) .(5 баллов)3. Случайные величиныраспределение.Приξ1этоми ξ2имеют экспоненциальноеM ( ξ1 ) = 2 ;M ( ξ2 ) = 5 .НайтиD ( 5ξ1 − 3ξ2 + 4 ) , если коэффициент корреляции ρ ( ξ1 ,ξ 2 ) = −0,3(5 баллов)Модуль 2: Математическая статистика4. Оценка минимальной дисперсии в методе максимумаправдоподобия с помощью теоремы Крамера – Рао. (6 баллов)5. Случайная величина X имеет показательное распределениеf ( x ) = λe − λx ; x ≥ 0 .

Найти точечную оценку параметра λ идисперсиюоценкипорезультатамизмерений:x : 5, 15, 25, 35, 45(5 баллов)n : 365, 245, 150 , 70 , 456. Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.СидняевБилет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.СидняевМосковский государственный технический университет им. Н.Э.

БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 5 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А..)Экзаменационный билет № 6 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А..)Модуль 1: Теория вероятностей1. Двумерная непрерывная случайная величина. Совместнаяфункция распределения и совместная плотность вероятности –связь между ними и условными распределениями составляющих.(5 балла)2. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины.

Наудачу отобраны тричеловека. Найти вероятность того, что все отобранные будутмужчинами. (4 балла)3. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение спараметрами a = 1 и ξ 2 = 4 . Найти вероятности P {ξ ∈ [ −1, 2 ]} иP {ξ > 4} (5 баллов)Модуль 2: Математическая статистика4. Интервальные оценки, доверительный интервал. Интервальныеоценки математического ожидания нормально распределеннойслучайной величины с известной и неизвестной дисперсией.(6 баллов)5. Методом максимума правдоподобия определить оценку θ и еедисперсиюфункцииf ( x ) = θ 3 x 2e−θ xпорезультатамнаблюдений: x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3, x4 = 4 , x5 = 5 , если D ( x ) = 0 ,1 .Случайные величины θ и X независимы. (6 баллов)Модуль 1: Теория вероятностей1. Функция распределения и плотность вероятностей непрерывнойслучайной величины.

Их свойства. (5 баллов)2.Задана плотность вероятности случайной величиныX : f ( x) = 0,5sin x , при x ∈ (0, π ); f ( x) = 0 , при x ∉ (0, π ) , найтиплотность(5 баллов)распределениеслучайнойвеличиныY = 0,5 x 2 .3. Вывести формулу для вероятности суммы случайных событийA + B + C , если P ( A ) , P ( B ) и P ( C ) известны. События А, В иС совместны и независимы. (4 балла)Модуль 2: Математическая статистика4. Интервальная оценка среднеквадратического отклонениянормально распределенной случайной величины. (6 баллов)5.

Методом моментов определить оценку θ и ее дисперсиюфункцииf ( x ) = θ 3 x 2e−θ xпо результатам наблюдений: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 ,если D( x) = 0,1. Случайные величины θ и X независимы.(6 баллов)6. Дополнительные вопросы (4 балла)6. Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.СидняевБилет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.СидняевМосковский государственный технический университет им.

Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Московский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаФакультет ФН. Кафедра «Высшая математика»Экзаменационный билет № 7 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А..)Экзаменационный билет № 8 по курсу:«Теория вероятностей и математическая статистика»ИБМ, 3-й семестр (поток Грешилова А.А..)Модуль 1: Теория вероятностей1. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайныхвеличин. Их свойства. (5 баллов)2. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком притрех выстрелах равна 0,784. Найти вероятность попадания приодном выстреле. (3 балла)3.Заданаплотностьвероятностислучайнойвеличины2X : f ( x ) = C ( 2 x − x ) при x ∈ (0; 2); f ( x ) = 0 при x ∉ (0; 2) .Найти дисперсию случайной величины Y = X 2 .

(6 баллов)Модуль 2: Математическая статистика4. Точечная оценка параметров по методу максимума правдоподобия.Записать формулы для получения точечных оценок и дисперсии.(6 баллов)5. Установить, значимо ли расхождение между эмпирическимичастотами ni и теоретическими частотами ni′ , вычисленными впредложении нормального закона распределения генеральнойсовокупности:ni : 1 5 10 20 8 7ni′ : 2 6 14 18 7 5.6.

Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав. кафедрой «Высшая математика»Н.И.Сидняев1.ВычислитьМодуль 1: Теория вероятностейтеоретические моменты, дляплотности2 2f ( x ) = 2 λ2 x ⋅ e − λ x ; x ≥ 0 (5 баллов)2. Произвели залп из 5 орудий. Вероятность попадания каждым изорудий соответственно равна: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найтивероятность хотя бы одного попадания. (4 балла)3.

Плотность распределения случайной величины ξ имеет видkx; x ∈ [ 0;2]. Случайная величина η является функцией отf ( x) = 0; x ∉ [ 0;2]ξ: η = ξ 2 − 7 . Найти константу k, плотность распределения ифункцию распределения величины η . (6 баллов)Модуль 2: Математическая статистика4. Регрессия Х на Y и Y на Х. Регрессионный парадокс. (6 баллов)25. По заданным n = 20 , x = 20 и S = 5 проверить на уровнезначимости α = 0,05 гипотезу о среднем а генеральной H : a = 18совокупности:  0(5 баллов) H1 : a > 186. Дополнительные вопросы (4 балла)Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 14.12.2011г.Зав.