Условия Домашнего задания по математической статистике

Домашнее заданиеМатематическая статистикаЗадача 1. а) Смоделировать выборку следующим образом: на листе бумаги нарисоватьпараллельные линии на расстоянии в диаметр пятирублевой монеты. Подбрасываяn = 25 раз монету, измерить с точностью до миллиметра длину накрываемого монетойотрезка.(см. рис.)Для полученной в результате эксперимента выборки, построить вариационный ряд,найти теоретическую функцию распределения F ( x ) длины накрываемого отрезка иэмпирическую функцию распределения Fn ( x ) и построить их графики в одной и той жесистеме координат, найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.б) Смоделировать выборку объема n = 250 используя таблицы Excel. Воспользоватьсяметодомобратнойфункции(функцияраспределенияX i имеетt2).

В одной и той же системе координатd2построить графики эмпирической функции распределенияFn ( t ) и теоретическойфункции распределения F ( t ) .Сравнить графики а) и б) и сделать вывод.Указания. Для построения графика на листе Excel сформировать три столбца:в первом столбце расположить члены вариационного ряда X ( i ) , во втором значениявид F ( t ) = P ( X i < t ) = 1 − 1 −i. По этим трем столбцам построить графики, выбравnв Вставке точечную диаграмму с непрерывными графиками.функции F ( X ( i ) ) , в третьем числаЗадача 2.

По выборке x1 , x2 ,..., xn найти методом моментов выражения для точечныхоценок параметров, если плотность распределения имеет вид:1. f ( x ) =θ 3 x22e −θ x ,x > 0.θ −θ xe , x > 0.πx2. f ( x ) =3. f ( x ) =θ α xα −1 −θ xe , x > 0.Γ (α )4. f ( x ) =5. f ( x ) =xθ −1 − xe ,Γ (θ )6. f ( x ) = θ x − (θ +1) ,x > 0.27. f ( x ) = θ 4 xe −θ x ,9. f ( x ) =x > 0.2θ 2,x3x > θ.12. f ( x ) =13. f ( x ) =λ α +1 xα − λ xe , x > 0.Γ ( α + 1)14.

f ( x ) =15. f ( x ) =e−θ x,3!x−xθ −1e 2,17. f ( x ) = θ2 Γ (θ )x > 0.19. f ( x ) =xθe− x ,Γ (θ + 1)21. f ( x ) =x 4 −θe ,θ 5 4!1θ16. f ( x ) =23. f ( x ) = θ xe−θ x27. f ( x ) =θ 2θ 5 x44e29. f ( x ) = 4 xx > 2.,−θ 5 x44!xe θ,e −θ x ,x > 0.x > 0.3θ 3,x4x > 0.20. f ( x ) =x 3 −θe ,θ 4 3!22. f ( x ) =x−xθ −14e,4θ Γ (θ )x > θ.x24. f ( x ) =θ22xex > 0.−θ xx > 0..θ +1x > 2.− (θ x )26. f ( x ) =2,x > 0.28.

f ( x ) =θ +1θ 4θ18. f ( x ) =x > 0., 2 xx > 0.,x−2θπ xθ +125. f ( x ) =−xx > 1.x > 0.x > 0.,2 21x2ex > 0.x > 1.10. f ( x ) = 2θ 2 xe −θ11. f ( x ) =θ 4 x3e −θ x ,Γ (3 / 2 )8. f ( x ) = (θ − 1) x −θ ,x > 0.xθ / 2 −1e− x / 2 ,2θ / 2 Γ (θ / 2 )θ 3 / 2 x1/ 2,x > 4.30. f ( x ) =θ 3, 3 x4θ 4,x5θ2e−θ xx > 3.x > θ..Задача 3. По выборке x1 , x2 ,..., xn найти общий вид оценки максимального правдоподобияи подсчитать ее конкретное значение для приведенных данных.1. Распределение Пуассона:θ x e −θf ( x) =, x = 0,1, 2,...

.x!x1 = 1, x2 = 3, x3 = 4, x4 = 7, x5 = 5.2. Экспоненциальное распределение:f ( x ) = θ e −θ x , x > 0.x1 = 8, x2 = 3, x3 = 2, x4 = 5, x5 = 14.3. Распределение Релея:x− 21f ( x) =e 2θ , x > 0.θ 2π xx1 = 4.2, x2 = 7.8, x3 = 16.3,4. Распределение Вейбулла:x4 = 11.6,x5 = 5.1.αf ( x ) = αθ xα −1e −θ x , x > 0, α = 2.x1 = 8, x2 = 5, x3 = 2, x4 = 6, x5 = 14.5.

Гамма-распределение:θ α xα −1 −θ xf ( x) =e , x > 0, α = 3.Γ (α )x1 = 4,x2 = 1,x3 = 3,x4 = 5,x5 = 7.6. Логарифмически нормальное распределение:( ln x − µ )2−12f ( x) =e 2σ , x > 0, σ = 1.x 2π σx1 = e, x2 = e 2 , x3 = e 3 , x4 = e 5 , x5 = e 4 .7. Распределение Лапласа:f ( x) =θ−θ x − a, a = 2.2x1 = 4, x2 = −2, x3 = 3, x4 = −5,8.

Биномиальное распределение:ef ( x ) = С nxθ x (1 − θ )x1 = 4,x2 = 5,n− xx5 = 7.x = 0,1,..., n,,x3 = 16,x4 = 8,−xαe θ,α +1θ Γ ( α + 1)n = 8.x5 = 7.x9. f ( x ) =x1 = 4,x2 = 8,x3 = 3,x > 0, α = 4.x4 = 1,x5 = 4.310. f ( x ) = 3θ x 2 e −θ x , x > 0.x1 = 4.2, x2 = 5.7, x3 = 16.6,αx4 = 8.1,x5 = 5.4.α −111. f ( x ) =θ xe −θ x , x > 0, α = 5.Γ (α )x1 = 4.2,x2 = 1.6,x3 = 2.7,x4 = 4.7,x5 = 6.8.x4 = 9.1,x5 = 5.4.x4 = 4.9,x5 = 6.8.x4 = 0.7,x5 = 1.6.212. f ( x ) = 2θ xe −θ x , x > 0.x1 = 4.1, x2 = 5.8, x3 = 15.6,13.

f ( x ) =x1 = 2.2,θ θ xΓ (3 / 2 )e −θ x ,x2 = 3.6,314. f ( x ) =x1 = 0.4,θ xx > 0.x3 = 2.5,2e −θ x ,2!x2 = 1.5,x > 0.x3 = 0.8,θ +115. f ( x ) =x1 = e 2 ,θ 4  , x > 4.4 xx2 = e 6 , x3 = e 3 , x4 = e 5 ,16. f ( x ) =x5 = e 4 .θ α xα −1 −θ xe , x > 0, α = 3.5.Γ (α )x1 = 0.4,x2 = 1.5,x3 = 0.8,x4 = 2.7,x5 = 1.6.17. f ( x ) = 3θ x 2 e −θ x , x > 0.x1 = 1.2, x2 = 3.6, x3 = 2.5,x4 = 5.9,x5 = 6.8.3( ln x − µ )2−1218. f ( x ) =e 2σ , x > 0, µ = 1.x 2π σx1 = e, x2 = e 2 , x3 = e 3 , x4 = e 5 , x5 = e 4 .θ19. f ( x ) =x1 = 4,e−θ x − 32x2 = −5,420. f ( x ) =x1 = 0.4,θ xx3 = 6,xx4 = 8,x5 = −10.3e −θ x ,3!x2 = 2.5,21.

f ( x ) =x1 = 1.2,.3−4θ 3!x > 0.x3 = 0.8,x4 = 1.7,x5 = 1.6.x4 = 4.9,x5 = 6.8.xe θ,x2 = 2.6,x > 0.x3 = 4.5,x22. f ( x ) =x1 = 3.1,x 2 −θe , x > 0.2θ 3x2 = 4.8, x3 = 14.6,x4 = 8.1,x5 = 4.4.θ +1θ 323. f ( x ) =x1 = e 2 ,  , x > 3.3 xx2 = e 6 , x3 = e 3 , x4 = e 5 ,x24. f ( x ) =x1 = 1.1,−xe θ,θ2x5 = e 4 .x > 0.x2 = 2.7,x3 = 4.6,x4 = 4.9,x5 = 6.7.θ +1θ 225. f ( x ) =x1 = e,  , x > 2.2 xx2 = e 2 , x3 = e 3 , x4 = e 5 ,26.

f ( x ) =x1 = 4,θ−θ x +1e2x2 = −5,x5 = e 4 ..x3 = 6,x4 = 8,x5 = 0.327. f ( x ) = 3θ x 2 e −θ x , x > 0.x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2, x4 = 1,28. f ( x ) =x1 = 2.2,x−4θ 3!θee θ,−θ x2x2 = − 4,x5 = 4.xx2 = 4.6,29. . f ( x ) =x1 = 3,3x > 0.x3 = 1.5,x4 = 2.9,x5 = 6.8..x3 = 5,x4 = −2,x5 = 1.x30. f ( x ) =x1 = 3.2,− 21e 2θ , x > 0.θ 2π xx2 = 6.8, x3 = 15.3, x4 = 10.6,x5 = 4.1.Задача 4. Выборка Х1,…,Х25 получена из нормального распределения. Найтисимметричные доверительные интервалы с уровнем доверия γ = 0.95 для среднегозначения и дисперсии (используя информацию об известном втором параметре и неиспользуя эту информацию).ВариантСреднееCр.кв.откл.X1X2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16x17x18x19x20x21x22x23x24X25ВариантСреднееCр.кв.откл.x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16x171234567891011121314153213213213213211212121212121214,21,31,35,41,70,50,83,30,10,61,61,82,31,2-0,53,01,31,71,11,43,33,12,90,53,11,4-1,92,72,21,62,93,0-0,53,32,62,7-0,4-1,62,33,21,00,72,64,51,03,50,12,01,82,6-0,80,41,4-0,63,82,41,43,20,30,53,1-1,10,31,50,90,55,11,50,20,91,91,03,67,33,23,70,20,85,72,11,23,53,21,82,91,90,14,42,42,45,20,11,46,12,44,72,40,0-0,96,41,31,63,73,60,22,93,12,14,02,0-0,82,90,81,60,10,6-1,03,7-1,93,81,8-0,12,73,21,91,43,91,71,46,61,3-1,82,10,21,51,02,21,15,40,71,62,90,30,05,91,30,63,5-0,80,62,90,90,62,3-0,32,63,10,81,72,82,12,42,03,91,41,75,30,04,41,1-0,92,2-0,73,25,51,3-1,84,3-2,1-0,82,10,00,15,12,6-1,91,91,80,43,12,50,82,92,01,12,83,40,62,81,3-0,63,32,80,04,71,03,43,23,62,23,84,20,75,22,05,74,4-0,10,02,12,02,52,52,02,73,61,10,80,71,8-1,53,3-0,12,50,81,31,23,74,1-1,02,92,32,05,82,33,32,63,42,22,32,4-1,84,1-1,91,33,35,00,21,62,4-0,13,7-0,11,17,91,5-0,93,74,21,73,41,81,83,71,60,22,06,01,13,10,93,33,93,42,72,40,81,12,82,21,02,74,2-1,01,71,0-0,23,80,20,64,24,41,63,21,70,72,00,52,95,22,4-0,42,84,50,91,86,11,6-0,92,31,54,80,41,66,60,7-2,32,24,12,05,22,10,62,41,40,84,67,00,76,51,40,63,51,00,24,52,30,90,94,00,22,73,41,00,72,6-1,93,23,90,32,93,01,20,62,03,22,91,2-0,75,52,60,83,4-1,51,11617181920212223242526272829303213213212321322121212121121215,13,01,23,5-0,81,33,11,70,01,94,21,31,35,41,77,73,8-2,23,20,5-1,15,10,74,31,63,01,31,71,11,41,12,02,11,01,71,6-1,72,3-0,71,92,93,0-0,53,32,67,01,91,92,82,31,12,60,70,00,93,50,12,01,82,62,41,4-1,93,26,70,81,91,10,43,13,1-1,10,31,50,92,01,42,40,65,60,25,43,11,41,93,70,20,85,72,15,31,30,72,33,72,0-0,62,62,13,75,20,11,46,12,40,02,93,23,02,6-0,7-1,22,73,11,92,93,12,14,02,03,63,8-0,72,60,71,06,13,83,71,91,8-0,12,73,21,93,82,4-4,14,21,01,90,91,33,23,21,02,21,15,40,72,90,91,92,25,9-0,20,63,30,31,42,90,90,62,3-0,31,63,72,33,84,31,31,82,52,21,81,75,30,04,41,14,42,30,82,66,41,33,72,94,50,52,10,00,15,12,61,31,43,03,22,33,44,51,0-0,13,22,83,40,62,81,30,31,25,93,22,51,61,80,5-0,44,33,84,20,75,22,03,41,1-0,52,81,71,11,11,91,62,73,61,10,80,71,81,52,63,52,70,31,11,21,03,41,42,92,32,05,82,3x18x19x20x21x22x23x24x253,91,62,32,12,03,5-0,20,90,92,03,35,00,21,62,41,6-0,11,14,73,1-1,01,51,93,6-0,12,63,41,81,83,72,63,60,12,20,91,14,71,2-0,60,52,40,81,12,82,24,43,51,33,93,71,35,02,32,62,44,24,41,63,21,71,22,6-0,73,14,33,23,10,20,72,21,86,11,6-0,92,33,02,51,43,06,00,41,53,3-1,33,95,22,10,62,41,44,02,9-1,42,44,71,14,41,45,52,14,52,30,90,94,03,03,3-2,51,81,50,44,61,90,52,32,93,01,20,62,0Задача 5.

В условиях задачи 1 найти теоретическое среднее значение наблюдаемойслучайной величины. По экспериментальным данным для первой и второй выборокпостроить приближенный доверительный интервал для математического ожидания суровнем доверия γ = 0.9 .Задача 6. Построить приближенный доверительный интервал с уровнем доверияγ = 0.99 для параметра p - вероятность «успеха» в схеме Бернулли при условии, чтов серии из n испытаний наблюдалось m «успехов».№ вар.nm№ вар.nm№ вар.nm1100351116020211204529040121201022140203901513100452315050415033145010241604051601201560422516010061205516805026805074016171572745158601517209285020980601960202990301090182080203012040.