Компьютерное моделирование топологии модельного ансамбля молекул ДНК

Московский Государственный Университет им. М. В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетКафедра дифференциальной геометрии и приложенийДипломная работастудентки 507 группыКиреевой Альбины Александровны.Компьютерное моделирование топологии модельного ансамблямолекул ДНК.Научный руководитель:д. ф.-м. н., профессор Голо Войслав ЛюбомировичМосква, 2010Введение.Дезоксирибонуклеиновая кислота (ДНК) — один из двух типов нуклеиновыхкислот, обеспечивающих хранение, передачу из поколения в поколение и реализациюгенетической программы развития и функционирования живых организмов. Основнаяроль ДНК в клетках — долговременное хранение информации о структуре РНК ибелков. В клетках эукариот (например, животных или растений) ДНК находитсяв ядре клетки в составе хромосом, а также в некоторых клеточных органоидах(митохондриях и пластидах).

С химической точки зрения, ДНК — это длиннаяполимерная молекула, состоящая из повторяющихся блоков, нуклеотидов. Каждыйнуклеотид состоит из азотистого основания, сахара (дезоксирибозы) и фосфатной группы(см. рис.1). Связи между нуклеотидами в цепи образуются за счёт дезоксирибозы ифосфатной группы. В подавляющем большинстве случаев (кроме некоторых вирусов,содержащих одноцепочечную ДНК) макромолекула ДНК состоит из двух цепей,ориентированных азотистыми основаниями друг к другу. Структура молекулы ДНКполучила название «двойной спирали». В ДНК встречается четыре вида азотистыхоснований (аденин, гуанин, тимин и цитозин). Азотистые основания одной из цепейсоединены с азотистыми основаниями другой цепи водородными связями согласнопринципу комплементарности: аденин соединяется только с тимином, гуанин — толькос цитозином.

Полимер ДНК обладает довольно сложной структурой. Нуклеотидысоединены между собой ковалентно в длинные полинуклеотидные цепи. Эти цепи в подавляющем большинстве случаев (кроме некоторых вирусов, обладающих одноцепочечнымиДНК-геномами) попарно объединяются при помощи водородных связей в структуру,получившую название двойной спирали. Остов каждой из цепей состоит из чередующихсяфосфатов и сахаров. [1].Рис.

1: Фрагмент молекулы ДНК.1Как уже было сказано выше, у подавляющего большинства живых организмов ДНКсостоит не из одной, а из двух полинуклеотидных цепей. Эти две длинные цепи закрученыодна вокруг другой в виде двойной спирали, стабилизированной водородными связями,образующимися между обращёнными друг к другу азотистыми основаниями входящихв неё цепей. В природе эта спираль, чаще всего, правозакрученная. Ширина двойнойспирали составляет от 22 до 24 Å, или 2, 2 — 2, 4 нм, расстояние между соседними парамиоснований 3, 4 Å. ДНК обладает длиной персистентности. Экспериментально выяснено,что отрезки ДНК длиной 100−150 пар оснований (500 Å) образуют жидкокристаллическиефазы при определенных параметрах плотности и температуры [2][3].Жидкий кристалл - состояние вещества, сочетающее в себе свойства кристалла (пространственная упорядоченность в одном или двух направлениях) и жидкости.

Выделяютследующие виды жидких кристаллов в зависимости от ориентационного порядка: нематические жидкие кристаллы (наличествует дальний ориентационный порядок, все молекулырасположены примерно вдоль одной оси), холестерические жидкие кристаллы (от слоя кслою происходит поворот оси, вдоль которой ориентируются молекулы) и смектики(молекулы расположены слоями).[5][6].Рис. 2: Нематик, холестерик, смектикВ экспериментах с отрезками ДНК, описанных в работах [2][3], наблюдаются различныефазы, зависящие от концентрации молекул в растворе и температуры.

Для расстояниймежду между осями молекул от 28 до 35 Å, отрезки молекул ДНК в растворе образуюттвердую гексагональную фазу. Для расстояний более 45Å появляется холестерическаяструктура c шагом холестерической спирали, варьирующемся в пределах (1.5 ÷ 3.5)103 Å.Принято считать [10], что электростатическое взаимодействие должно играть существеннуюроль в образовании холестерической фазы, поскольку молекулы ДНК сильно заряжены.Поскольку система очень сложна и невозможно, даже применяя численные методы иболшие компьютерные мощности, точно учесть все взаимодействия, необходим модельныйподход. Для разных целей возможны разные модели ДНК.

ДНК - сильно заряженнаямолекула, полэтому предполагается, что природа взаимодействия определяется электростатическими силами. Реализовывать эту гипотеу в модели можно различными способами.Распространенный подход основан на представлении молекулы ДНК как цилиндра снепрерывным винтообразным распределением зарядов[10]. Однако, интересно также рассмотреть случай дискретного распределения зарядов. В настоящей работе рассматриваетсяподход, основанный на представлении о дискретном распределении зарядов с учетомгеликоидальной симметрии. Задачей данной работы является моделирование ансамбля изотрезков молекул ДНК, что является существенным продвижением относительно сделанных ранее работ [8][9], в которых исследовался исключительно парный потенциал.2Модель.В настоящей работе отрезок молекулы ДНК моделируется одномерной решеткой, сдискретно расположенными зарядами, соответствующими фосфатным группам, и диполями,соответствующими парам оснований.Рис.

3: Схематическое изображение модели одной молекулы ДНК: крупными точками обозначенызаряды, стрелки обозначают дипольные моменты пар оснований. Диполи перпендикуллярны осимолекулы, относительный угол поворота между диполями - π/5Расстояние между соседними диполями берется равным 3.4Å, что копируетпространственную конформацию диполей пар оснований. Диполи располагаютсяперпендикулярно оси стержня, угол поворота следующего диполя относительнопредыдущего равен π/5, чтобы учесть спираль.

Заряды считаются лежащими точнопосередине между соседними диполями. Все величины для упрощения счета переводятсяв систему единиц ДНК:• M = 10−22 gr единица массы, порядок массы пары оснований;• L = 3 × 10−8 cm единица длины, расстояние между соседними парами оснований;• T = 10−13 sec единица времени, согласно верхней границе звуковых колебаний в ДНК.Исходя из такой перенормировки, величины заряда электрона, дипольного моментав 1 Debye и энергии в 1erg примут следующие значения:• 1e = 1;• 1 Debye = 0.06 ;• 1 erg = 1011 .Согласно данным работы [4], электрические дипольные моменты пар основанийизмеряются в пределах 3 ÷ 9Debye, что в системе единиц ДНК соответствует 0.2 ÷ 0.6.3Энергия взаимодействия двух молекул считается как сумма элементарных энергийвзаимодействия:U = udd + ucd + udc + ucc ,Где udd – энергия взаимодействия диполя первой молекулы с диполем второй, ucd– энергия взаимодействия заряда первой молекулы с диполем второй, udc – энергиявзаимодействия диполя первой с зарядом второй, ucc – энегрия взаимодействия зарядовпервой и второй.

Взаимодействия вычисляются по следующим формулам [7]:~0 p~0 ,(~r−r~0 )))udd = ( ρ13 (~p, p~0 ) − 3 (~p,(~r−r ))(ρ5~0udc = Q0 (~p,(rρ3−~r))~0~0r ))ucd = Q (p ,(~ρr−3ucc =QQ0ρρ =| ~r − r~0 |Где ~r, r~0 - вектора из начала координат в соответствующие узлы решетки молекулы, Q, Q0- заряды, заданные соответствующими фосфатными группами.Важным вопросом является экранировка. В настоящее время пока не выяснено,насколько применима теория Дебая-Хюккеля для молекул ДНК в растворе. Посколькумодель, рассматриваемая в данной работе, является очень грубой, экранировкаучитывается лишь косвенно, за счет изменения величины зарядов.В данной работе так же не учитывается диэлектрическая проницаемость среды.В работах [2][3] сообщается об экспериментах с жидкокристаллическими фазамиДНК для случая отрезков длины порядка 500Å(150 − 152 пары оснований). Нопри моделировании ансамбля молекул такой длины возникают вычислительныетрудности - компьютерный счет занимает длительное время.

Поэтому исследуютсяконформации специального вида для ансамбля более коротких молекул - длины 32 парыоснований. Можно предположить, что проведенные вычисления позволяют качественноинтерпретировать результаты [2][3].Энергия взаимодействия ансамбля молекул считается как сумма энергий попарныхвзаимодействий.4Численное моделированиеОсновной задачей работы является исследование ансамбля молекул ДНК при влиянитемпературы. Во всей полноте численное моделирование раствора молекул ДНК внастоящее время едва ли возможно по причине недостаточной мощности компьютеров иотсутствия соответствующих алгоритмических методов. Одной из существенных проблемявляется также проверка результатов.

Ввиду этого мы ограничиваемся частным случаем,который позволяет получить качественную информацию.Для моделирования выбрана следующая система конфигураций: молекулы лежатодна над другой, их центры фиксированы и лежат на одной прямой. Все молекулы лежатв плоскостях, перпендикулярных этой прямой. Расстояние между плоскостями соседнихмолекул одинаково и фиксировано (в данной работе это расстояние считалось равным 4в безразмерных единицах, в пересчете 12Å) и является параметром, отражающимконцентрацию молекул в объеме. На рисунке 4 изображена идеальная холестерическаяконфигурация. Если электростатические силы играют основную роль при формированиихолестерических фаз, то выбранная таким образом система предположительно будет этоотражать, и можно будет сделать качественные выводы об экспериментах [2][3].Рис.

4: На рисунке схематично показаны молекулы, находящиеся в идеальной холестерическойконфигурации. Молекулы находятся в плоскостях, перпендикулярных общей прямой, расстояние междуплоскостями соседних молекул фиксировано и одинаково. Обозначен угол отклонения относительнопервой молекулы (пунктирная линия показывает параллельно пренесенное положение первой молекулы).В изображенной конфигурации относительные углы между соседними молекулами одинаковы.5Выбор базовой конфигурации.Для дальнейшего исследования нужно выбрать начальную конфигурацию,которая потом будет подвергаться влиянию температуры в термостате Гиббса (прификсированном объеме, фиксированной температуре и числе молекул). Кроме того,нужно определить какой эффективный заряд в модели может привести к результатам,качественно похожим на эксперименты с жидкокристаллическими фазами ДНК.

С этойцелью были сконструированы различные положения системы и подсчитаны энергии дляполучившихся различных положений.При разных значениях заряда построены профили энергии для систем, в которыхмолекулы расположены по "винту": угол поворота следующей относительно предыдущейодинаков (см. рис. 4).

На рисунках 5, 6, 7, 8 для различных значений зарядов изображеныпрофили энергии сконструированных "винтовых"конфигураций в зависимости ототносительного угла поворота соседних молекул.Рис. 5: Профиль энергии сконструированных систем в зависимости от угла поворота между соседнимимолекулами. По оси абсцисс - угол поворота между соседними молекулами. По оси ординат - значениеэнергии системы. Заряды 1На графике (рис. 4)видны глобальные минимумы в областях углов 2π/5 и 3π/5, −2π/5и −3π/5 Из графика следует, что при значениях заряда 1 при обсчете этой системыв термостате маловероятно сохранение конфигурации с малым относительным угломповорота. Поскольку нас интересуют именно малые относительные углы, такие зарядыпока подробно не рассматривались.С уменьшением заряда происходит сдвиг минимума в область углов 0.1(см.