Презентация (Сравнение детерминированного и стохастического метода частиц для уравнения диффузии)

Московский государственный университетим. М.В.ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетики«Сравнение стохастического мдетерминированного метода частиц длярешения квазилинейного уравнениядиффузии»Научный руководитель: Богомолов С.В.Выполнил: Беспамятнов Д.А., группа 505Цель работы• Цель работы изучить поведениястохастического и детерминированногометодов частиц при численном решенииквазилинейного уравнения диффузии.• Программно реализовать стохастический идетерминированный методы частиц дляквазилинейного уравнения диффузии.• Сравнить оба метода с точным решением.2Квазилинейное уравнениедиффузииu 1 2  u  (u) 2  f (u )t 2x23Стохастический метод частицМы решаем квазилинейное уравнение диффузии. Искомая функция – функцияплотностиu( xчастиц)Обычно для функции u( x)составляют уравнение.

Но можно и проследить за перемещением каждойчастицы, которая будет двигаться по закону:dx   (u)dW, гдеdW  dt *  N (0,1)4Математическая основа методачастицN (m, x)* mx 0 m0xu ( x)  lim limx N (m, x)  b  B(m) xb  x  2B(m)xb- множество всех частиц.- координата b-ой частицыdx   (u)dW-закон движенияЧисленное решение1)Разбиваем область на конечные элементы.2)Предполагаем, что функции u(x), f(x) кусочно постоянны и на элементах постоянны.3)Инициализация: задаем начальное распределение u0 ( x ).Затем вычисляем количество частиц в ячейке. Добавляем в каждую ячейку это количествочастиц.0ni0 4) Перемещение частицui hmxbj 1  xbj   (uij )* t *   cos(2 ) 2ln rr и φ – независимые случайные величины. Принимают значения из [0,1].

Это есть преобразование БоксаМюллера.jf(ui )* t * h5) Учет правых частей. Частицы добавляем равномерно: n i6) Вычисление новой ui :j 1a) Вычислить nij 1mm * nij 1hб) ui7) Переходим на шаг 4)6Детерминированный метод частиц1) Поток частиц:1 2uQ( x)   (u )2x2) Так же вводится сетка.3) Инициализация4) Вычисляем поток на каждой границе:Qi121 2  ui 1  ui  2  25) Вычисляем новое значение u(x):uij 1  uij  Q1i2uij11  uij1  Qi* t12* t ui 1  ui hТестовая задача1)Задача одномерная2) 2 (u )  uf  u23)4) Начальное распределение при t=0:1  q *(t  t )  f 0u ( x, t )  LT0,|x|21 2*(  1)LT2  *x**cos ,| x |LT 2 *(  2)Точное решениеИзучим пространственно-временное поведение распределениятемпературы в теплопроводном веществе с нелинейнымиисточниками тепла.

Энергия выделяется в результате горения,протекания химических или иных реакций. Среда считаетсянеограниченной (Задача Коши), процесс горения одномерным. Онописывается уравнением T    k *T * T   q *Tdtx 0x 0С начальной функцией:Ответ:1  q *(t  t )  f 0u ( x, t )  LT0,| x |21 2*(  1)LT2  *x**cos,|x|*(2)L2T Результаты расчетовРезультаты расчетовВыводыЦелью данной работы было получение численного решенияквазилинейного уравнения диффузии стохастическим идетерминированным методом частиц.Приведен алгоритм решения. В качестве тестового задания было выбраноточное решение для квазилинейного уравнения диффузии. Показано, чтопри достаточно малом шаге по времени получена приемлемая точность.Сравнивая оба метода, выясняется, что детерминированный метод частицболее точен, чем стохастический.

Однако большим плюсомстохастического метода частиц является возможность его простогораспараллеливания, что довольно актуально при увеличении объемавычислений в наше время.СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.