Презентация (Разработка алгоритма численного решения квазилинейных уравнений)

Московский Государственный Университетим. М. В. ЛомоносоваФакультет Вычислительной Математики и КибернетикиКафедра Вычислительных МетодовДипломная работа«Разработка алгоритма численного решенияквазилинейных уравнений»Выполнил студент 505 группы:Животиков СергейНаучный руководитель:д-р физ.-мат. наук, профессорФаворский Антон ПавловичПлан дипломной работы:• Цели исследования и научная актуальность работы• Постановка задачи Коши для одномерного квазилинейногоуравнения переноса• Построение разностной схемы для исходной задачи– Два подхода к аппроксимации интегральных потоков черезграницы ячейки• Исследование свойств построенной разностной схемы• Тестовые расчеты характерных импульсов•Анализ результатов. Выводы.2Цели исследования и научная актуальность работы:•Провести построение разностной схемы и расчет численного решениядля некоторых характерных импульсов задачи Коши для одномерногоквазилинейного уравнения переноса•Провести сравнительный анализ двух подходов к аппроксимацииинтегральных потоков через границы ячейки– на основе характеристических свойств уравнения– на основе квазилинейной суперпозиции возмущений малой амплитуды•Построение разностных схем для квазилинейного уравнения переносаиграет важную роль в задачах математического моделирования.Качество численного решения во многом определяет эффективностькомплексных алгоритмов решения таких задач.3Постановка задачи:•Задача Коши для классического одномерного квазилинейногоуравнения переноса.uuu0txx1 x x2 , t 0u ( x,0)( x)u(x,0) =•( x ) - финитна.Решение u(x,t) данного уравнения будем искать только для такихмоментов времени t < T, при которых функция u(x,t) остаетсяфинитной на x1 x x2 , что обеспечивает упрощенный видграничных условий u ( x1 , t ) u( x2 , t ) 04Построение разностной схемы интегроинтерполяционным методом:• u kj ϵ () - равномерная пространственно-временная сетка по h иk h, k = 0,1,…,K; t jxk•hсчитая, что1 kh xkjkutj1/2u ( x, t j )dxxktj1/21u2( xk2k12,xk12],u( x, t j )dx1/ 2xkxk12xxktj1/21/ 2 , t ) dt, tj121u ( x, t j 1 )dxxktj1/2t j 1и, используя формулуtu2( xk21/ 2, t )dt0Вводя дополнительные обозначения интегральных потоков, переходим к точномуинтегральному соотношению.xkxk1/21/2u ( x, t j )dx WI kju ( x, t j 1 )dx•[x1/ 2Проинтегрировав уравнение поГрина, получим:xk•j , j = 0,1,…,J;jСеточную функцию u k будем относить к серединам расчетных отрезковx•.xkxk1/21/ 2WI kj1/ 201/2Перейдем к приближенному интегро-разностному представлениюh (ukj1ukj ) WI kj 1/ 2 WI kj 1/ 205Аппроксимация интегральных потоковWI kj 1/ 2 и WI kj 1/2на основе характеристических свойств квазилинейного уравненияпереноса•На расчетном интервале ( xk12,xk12)в момент времени t j заменим исходнуюjфункцию u(x,t) на локально-линейную реконструкцию y(x, x k ,t j ) = u k + (x - x k )Dkj•Тогда приближенные выражения для потоков примут вид:WI kj 1/ 2 = 0.5 (ukj + 0.5hDkj )2 / (1+ Dkj )WI kj 1/ 2 = 0.5 (ukj 1 + 0.5hDkj 1 )2 / (1+ Dkj 1 )6Аппроксимация интегральных потоковWI kj 1/ 2 и WI kj 1/2на основе квазилинейной суперпозиции возмущений малой амплитуды•Представим исходную функцию в виде u( x, t ) u u( x, t ), где u - некоторое фоновоезначение, а u( x, t ) - функция малых возмущений, распространяющихся по фону•В свою очередь, функцию u( x, t ) заменим на её локально – линейную реконструкциюy ( x, xk , t j ) ukj ( x xk )Dkj , которую будем интерпретировать как систему малых возмущений,отсчитанных от фона u•Каждое из возмущений движется как по общему фону u , так и по своему локальному фону.Соответственно, потоки через правую и левую границу расчетной ячейки имеют вид WI kj 1/ 2,где суммирование ведется по всей системе разбиений, а через S обозначена площадь,перенесенная за границу ячейки за время2u27SСравнительный анализ двух подходов к аппроксимации ивычислению интегральных потоковWI kj 1/ 2 и WI kj 1/ 2• Вычислительная реализация схемы с использованиемаппроксимации интегральных потоков на основехарактеристических свойств квазилинейного уравненияпереноса проста и требует минимум временных ресурсов.Минус такого подхода в том, что его нельзя в явном видеобобщить на задачи более высокой размерности, что делаетего применимым для узкого класса задач.• Аппроксимация интегральных потоков на основе квазилинейнойсуперпозиции возмущений малой амплитуды имеет болеесложную вычислительную реализацию, но при этом такойподход может быть обобщен естественным образом на задачиматематического моделирования более высокой размерности.8Исследование свойств построенной разностной схемы• Построенная разностная схема является явной, однородной,1устойчивой приh2jkux | u | u | ux |xx• При выборе коэффициента наклона сплайна D| ux | | u | , научастках монотонного поведения решения схема имеет xвторойпорядок точности и по h, и по , а также является монотонной.9Тестовые расчеты характерных импульсов(h = 0.01, = 0.004)10Анализ результатов.

Выводы.•Была построена явная однородная разностная схема, имеющая второйпорядок аппроксимации по h и на монотонных участках решения иустойчивая, при условии на число Куранта r 0.5. Немаловажнымявляется и то, что предложенная разностная схема удовлетворяетпринципу максимума, т.е. является монотонной.• Следствием того, что построенная схема является явной иоднородной, является простота ее реализации, а предложенныйподход к аппроксимации и вычислению интегральных потоковестественным образом расширяется на прикладные задачи газовойдинамики.•Введение подобных схем в цикл вычислительного эксперимента задачматематического моделирования позволит сократить временныересурсы на разработку и введение в эксплуатацию соответствующейвычислительной системы, что делает данное направлениеперспективным и актуальным.11Спасибо за внимание!12.