Презентация (Исследование консервативности вариационных методов решения задачи Коши для гамильтоновых систем)
Описание файла
PDF-файл из архива "Исследование консервативности вариационных методов решения задачи Коши для гамильтоновых систем", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дипломы и вкр" из 12 семестр (4 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИКАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ«Исследование консервативности вариационныхметодов решения задачи Коши для гамильтоновыхсистем»Исполнитель: Шоманов Ж. С.Научный руководитель: Профессор, д. ф.-м. н. Еленин Г. Г.Москва, 2013.УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА••Функция Лагранжа:Действие:(1 , 2 , . . . , , 1 , 2 , . . . , , )2=•• , , 1Уравнения Эйлера-Лагранжа: −=0 Задача Коши для уравнений Эйлера-Лагранжа: −=0 (0) = ,0 , (0) = ,0ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИВеличинасистемы.=1 =1− =0− называется полной энергиейЦЕЛЬ• Создание адаптивного вариационногометода, сохраняющего полную энергиюсистемы почти всюдуДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ УРАВНЕНИЙЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА• Дискретное действие:−1 ( ) = ( , +1 , ℎ )ℎ ,=0• Дискретный аналог функции Лагранжа:1 +1 − +1 − , +1 , ℎ =− + 1 − +12ℎℎ• Дискретный аналог уравнений Эйлера-Лагранжа:( − −1 )ℎ−1 − (1 − )′(−1 + (1 − ) )2ℎ−1, = 1, … , − 1(+1 − )+ℎ −− ′( + (1 − )+1 ) = 02ℎДИСБАЛАНС ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ122122• ( , −1 , ℎ−1 , ) = i−1 i−1 + ( − −1 ℎ−1 )222• (+1 , i+1 , ℎ , ) = i+1 i+1 + (+1 − i+1 ℎ )222• Δ = (+1 , i+1 , ℎ , ) − ( , −1 , ℎ−1 , )22• Необходимо, чтобы Δ = 02 способа:• Зафиксировать и исходя из условия Δ = 0выбирать ℎ• Зафиксировать ℎ и исходя из условия Δ = 0выбирать АДАПТИВНЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙМЕТОД• 1−2ℎ2− (1 − )′( − −1 ℎ) ′ + 1 − +1 = 0• +1 =2+1 −ℎ• Δ() = 0• ℎ = 2+1 −−ℎ2−ПРИМЕР 1: КУБИЧЕСКИЙПОТЕНЦИАЛ• =332− ,2• =1• =•2 21−12= − 20 = 0.50 = 0− скалярная величинаУРАВНЕНИЯ МЕТОДА2• ℎ2 (1 − )2 +1− ((1 − )ℎ2 − 1 − 2ℎ2 (1 − )(−1 ℎ + −1 ))+1 −−1 ℎ + ℎ2 (1 − )(( − −1 ℎ)2 − ( − −1 ℎ)) − + 3 ℎ2 2 − 2 ℎ2 =022• +1 =2+1 −ℎ• Δ() =2 1+22( − 1 ℎ)2i−222−2 1−22+(+1 − 1 ℎ)3i+23−(+1 − 1 ℎ)2i+22−( − 1 ℎ)3i−23+Линииприращенияна плоскостидвижении пополовинетраекториинулевогоэнергии приверхнейфазовойЛинииприращенияна плоскостидвижении пополовинетраекториинулевогоэнергии принижнейфазовойАДАПТИВНЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙМЕТОД• 1−2ℎ2− (1 − )′( − −1 ℎ) ′ + 1 − +1 = 0• +1 =2+1 −ℎ• γ ∈ Argmin ∆()2∈[0,1]• ℎ = 2+1 −−ℎ2−ПРИМЕР 2: КВАДРАТИЧНЫЙПОТЕНЦИАЛ12• = 2•2 2= − 0 = 0 0 = 0• = 0 + 0 • =0 ℎ+0 (1−)• =2(1+ℎ2 (1−))−ℎ2,2(1+ℎ2 (1−))=+ 0 4−ℎ2 (2−1)2ℎ2(1+ℎ2 (1−))1 2~ 8 − количество точек на периодПРИМЕР 3: ПОТЕНЦИАЛ МОРЗЕ• = 1 − 1−• =1•2 22−1= 2 1− (1 − 1− )0 = ln0 = 01011• 0 = −0.99• =20099Метод∆1 ∆1 ∆1 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 8.63 ∙ 10−102.61 ∙ 10−21.29 ∙ 10−29.34 ∙ 10−102.06 ∙ 10−12.81 ∙ 10−17.53 ∙ 10−24.36 ∙ 10−24.97 ∙ 10−101.43 ∙ 10−23.33 ∙ 10−34.6 ∙ 10−102.03 ∙ 10−12.83 ∙ 10−13.12 ∙ 10−22.32 ∙ 10−24.12 ∙ 10−113.1 ∙ 10−31.36 ∙ 10−41.43 ∙ 10−111.73 ∙ 10−12.33 ∙ 10−17.02 ∙ 10−36.07 ∙ 10−30.12.42 ∙ 10−42.61 ∙ 10−23.04 ∙ 10−32.42 ∙ 10−42.06 ∙ 10−12.8 ∙ 10−17.46 ∙ 10−24.87 ∙ 10−20.056.49 ∙ 10−51.43 ∙ 10−28.07 ∙ 10−36.49 ∙ 10−52.02 ∙ 10−12.82 ∙ 10−14.15 ∙ 10−23.59 ∙ 10−20.012.27 ∙ 10−63.1 ∙ 10−33.29 ∙ 10−42.65 ∙ 10−61.73 ∙ 10−12.57 ∙ 10−16.93 ∙ 10−35.92 ∙ 10−30.11.07 ∙ 10−38.17 ∙ 10−31.71 ∙ 10−21.08 ∙ 10−32 ∙ 10−12.72 ∙ 10−15.97 ∙ 10−29.07 ∙ 10−20.052.66 ∙ 10−41.99 ∙ 10−34.39 ∙ 10−32.69 ∙ 10−42 ∙ 10−12.8 ∙ 10−12.39 ∙ 10−23.74 ∙ 10−20.0110−47.91 ∙ 10−51.75 ∙ 10−410−51.74 ∙ 10−12.57 ∙ 10−13 ∙ 10−34.72 ∙ 10−3Адаптивн 0.1ыйвариаци0.05онныйметод0.01ВариационныйметодМетодВерле∆1 −максимальная погрешность дисбаланса энергии на первом периоде∆1 − максимальная погрешность координат на первом периоде∆1 − максимальная погрешность скоростей на первом периоде∆ − максимальная погрешность дисбаланса энергии на n-том периоде∆ − максимальная погрешность координат на n-том периоде∆ − максимальная погрешность скоростей на n-том периоде∆ − максимальная погрешность координат на первом периоде, при условии, что начальныеусловия взяты с n-того периода∆ − максимальная погрешность скоростей на первом периоде, при условии, что начальныеусловия взяты с n-того периодагде n-тый период – это период, на котором погрешность координат достигает своегомаксимального значения.РЕЗУЛЬТАТЫ• Предложен метод, минимизирующийдисбаланс полной энергии• Исследованы свойства метода на рядемодельных задач• Написана программа, реализующаяметод.
