Математические модели и методы анализа и синтеза средств активного управления акустическими полями, страница 3

Далее для сигналов x(n) и y(n) может быть проведена процедураидентификации передаточной функции (рис. 4). При проведении идентификации обычноиспользуется адаптивный алгоритм наименьших средних квадратов (НСК).Рис. 4. Модель для идентификации передаточной функции методом оффлайн моделированияВ данной модели в процессе настройки адаптивного алгоритма формируетсямодель передаточной функции, реализованная в виде цифрового фильтра (блок Digital Filter)Современные методы моделирования акустических полей, как аналитические, так ичисленные, позволяют синтезировать передаточные функции исходя из априорной информациио объекте управления (объем, интегральный коэффициент отражения и т. д.).

Использованиематематического аппарата этих методов позволяет не только синтезировать передаточные10функции для реально существующих объектов, но и для объектов на этапе их проектирования,что открывает пути для создания систем автоматизированного проектирования системактивного гашения для широкого класса объектов.Рассмотрены особенности моделирования акустических полей для случаяпространственных систем, систем индивидуальной защиты и систем снижения шума вволноводах. Показано, что наиболее сложными для моделирования являютсяпространственные акустические поля в замкнутых объемах.

В трехмерном случае для частотвыше первой аксиальной моды, т. е. в модальной зоне, картина распределения звуковогодавления носит сложный характер и определяется помимо акустических параметров помещениятакже рядом других факторов: температура, влажность, расположение предметов и т. д., чтообуславливает применимость лишь адаптивных систем.Проведен анализ существующих методов моделирования передаточных функций взамкнутых объемах (рис. 5).Рис. 5. Методы моделирования акустических полей в замкнутых объемахВ частности рассмотрены аналитическое решение волнового уравнения для заданныхграничных условий, метод конечных элементов, трассерный анализ, модальный иреверберационный анализ.

Кратко проанализированы границы применимости и адекватностьполучаемых моделей для описания объекта управления.Аналитическое решение сводится к решению уравнения Гельмгольца, выраженного вдекартовой системе координат,∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ ∂ 2 pˆ+++ k 2 pˆ = 0 .∂x 2∂y 2∂z 2Таким же образом мы можем записать общее выражение для звукового давления мод покаждой оси в виде:11ΨN ( x, y, z ) =)(()()1− jk yjk ye − jk x x + e jk x x e y + e y e − jk z z + e jk z z .8Эта модель в принципе позволяет провести декомпозицию акустического поля на отдельныемоды для объемов произвольной формы, однако простое аналитическое решение существуеттолько для прямоугольных, цилиндрических и сферических объемов.Для перехода от модальной модели к передаточной функции среды необходимо найтифункцию Грина для заданных граничных условий.

Для граничных условий∂G ( r , r0 )=0∂nфункция Грина определяется какΨm (r ) Ψm (r0 )1.∑V mk 2 − k m2При введении в модель потерь, собственные значения становятся комплексными, смнимой частью равной 1 /( 2τm c ) , где τm - постоянная времени m-ой моды. В этом случаеΨm (r )Ψ (r0 )Ψ (r )Ψ (r0 )11G (r , r0 ) = − ∑ 2= − ∑ 2 m2.2V m k − k m − jk m /(τ m c)V m k − k m − jk /(τ m c)Первая аппроксимация описывает комплексные собственные значения, учитывающиепотери на границе, вторая – среду с потерями.Получаемая реальная частотная характеристика может быть преобразована вимпульсный отклик. Это предполагает, что реальная часть частотного отклика должна бытьчетной функцией частоты, мнимая часть должна быть нечетной функцией частоты, иреальная и мнимая части связаны между собой Гильбертовым преобразованием.

За счетвведения потерь отклик любой моды ограничен по амплитуде, даже если она возбуждаетсяна собственной частоте моды. Также можно показать, что ширина полосы по уровню -3 дБm-й моды равна 1 /( 2τm c ) , где τm - постоянная времени m-ой моды.Недостатком аналитического метода является возможность нахождения решения толькодля тривиальных случаев и граничных условий, соответствующих бесконечно жесткой илимягкой стенке.

Для моделирования реальных объемов могут быть использованы численныеметоды, например методы конечных и граничных элементов, а также эмпирические методы,например метод суммирования мод.Отмечено, что метод конечных элементов из-за громоздкости получаемой модели исложности задания начальных и граничных условий целесообразно применять лишь длямоделирования акустического поля в источнике.Метод суммирования мод обеспечивает нахождение звукового давления, выраженногочерез модальное распределение для произвольной точки объемаG (r , r0 ) = −p =ρc2ωV∑ 2ωNε x , y , z Ψ ( S )Ψ ( R ).2N k N / ω + i (ω N /ω −ω )В рамках этой модели коэффициент демпфирования каждой моды kN вычисляетсяисходя из порядка моды и среднего коэффициента поглощения поверхности, с которой модавзаимодействует, т.е.

коэффициент демпфирования каждой моды kN и соответственноширина ее полосы принимаются общими для всех типов мод в пределах третьоктавныхполос. Однако на практике различно не только поглощение поверхностей в пределах12третьоктавных полос, но и поглощение для каждого типа мод (рис. 6).Рис.6. Затухание модальных компонент при узкополосном возбужденииКаждая реверберационная кривая в октавных и третьоктавных полосах включает всебя усредненное затухание многих мод. Поскольку ширина полосы каждой моды иамплитуда однозначно связаны с постоянной времени, то аппроксимировать с достаточнойдля использования в системах активного управления точностью функцию Грина впомещениях простой формы позволяет совместное использование модального иузкополосного реверберационного анализа.

Если принять, что при отражении изменяетсятолько амплитуда каждой моды, то можно выразить суммарную энергию моды в видеинтеграла2Em = ∫Vpˆ mAm2 Ψ m2dV=∫V 2ρ c2 dV ,2ρc2где Am - амплитуда каждой моды. Звуковая мощность, поглощенная поверхностью,находится интегрированием произведения среднего квадрата звукового давления и реальнойчасти акустической проводимости поверхности2pˆA2 Ψ 2Pпогл = ∫ I ⋅ dS = ∫ m Re { Y } dS = ∫ m m Re { Y } dS ,SSS22где Y – акустическая проводимость поверхности.Тогда для данного типа мод постоянная времени будет константой и определяется длякосых, тангенциальных и аксиальных мод как:VV=2 2 ρ c S Re{Y } 2cS Re{β }3V3Vτm = =,2 5 ρ c S Re{Y } 5cS Re{β }3V3V 4 ρ c 2 S Re{Y } = 4cS Re{β }где β = ρcY – безразмерная величина.Это решение позволяет при использовании метода суммирования мод учитывать различноезатухание и соответственно находить ширину полосы для каждого типа мод.

Такжеучитывается различный коэффициент поглощения поверхностей при расчетевзаимодействующих с ними мод низкого порядка.Трассерный анализ является одним из наиболее эффективных и быстроразвивающихся13методов моделирования акустики помещений сложной формы и позволяет учитывать помимогеометрии помещения и ряд других факторов, таких как температура, влажность,расположение в помещении приемников и излучателей, материал покрытий. Однакоразработка модели и расчет поля для больших помещений сложной формы, особенно приучете отражений высоких порядков и комплексном акустическом импедансе поверхностей,требует значительных затрат машинного времени.Для частот выше первой аксиальной моды с использованием трассерных методовразработана модель (рис.

7) акустического поля в помещении, что позволяетаппроксимировать в первом приближении функцию Грина для среды распространения ииспользовать ее в качестве модели передаточной функции объекта управления.Рис. 7. Трассерная модель объекта управления и ее отклик в частотной областиОценено влияние ошибок моделирования передаточных функций на параметры САГ вцелом. Показано что если ошибка моделирования по частоте модальных компонент не превышаетих ширины полосы и ошибка по фазе не превышает ±90°, то адекватность синтезируемых моделейпри правильном выборе режимов моделирования и используемых для процедуры идентификацииалгоритмов достаточна для применения в составе адаптивных FX-LMS и leaky-FX-LMSалгоритмов.Для небольших помещений с высокой пространственной плотностью распределениямодальных компонент модель можно считать адекватной для произвольной точки объема. Вбольших помещениях пространственная структура менее однородна и для ее описаниянеобходимо учитывать изменение отклика при переходе от одной точки объема к другой.

В этомслучае система может быть реализована во временной области с одним адаптивным фильтромвысокого порядка, так и в частотной области с несколькими короткими адаптивными фильтрами,оперирующими на частотах наиболее значимых модальных компонент.При построении активных индивидуальных систем защиты необходимо учитывать влияниеряда передаточных функций, описывающих изменение спектральных характеристик сигнала припрохождении от источника шума до барабанной перепонки (рис. 8).14Рис. 8. Анализ объекта управления для случая индивидуальной защитыНа участке С1 передаточная функция зависит от пассивного поглощения чашки иописывается фильтром низких частот с частотой среза 300-350 Гц.

На участке С2 передаточнаяхарактеристика определяется режимом работы излучателя и может быть описана фильтромвысоких частот с частотой среза 40-100 Гц.Полученные в гл.2 результаты позволяют использовать для аппроксимации объектауправления в одномерном и трехмерном случаях трассерные и модальные модели, что даетвозможность значительно упростить процесс синтеза передаточных функций.Третья глава посвящена исследованию и разработке структурно-функциональныхсхем управления систем активного гашения.Показано, что для локального управления пространственным акустическим полем впомещении могут быть использованы одномерные системы. Такой подход обусловленвозможностью получения за счет оптимизации расположения приемников/излучателей зонтишины в помещении, а также сложностью моделирования и реализации многомерныхмногосвязных систем управления реального времени.

Одномерная модель управленияпозволяет также учитывать помимо модели объекта управления также и влияние волновойобратной связи, параметров используемых преобразователей.Проведенанализприменимостианалого-цифровыхицифро-аналоговыхпреобразователей различного типа в системах активного гашения. Разработаны моделипреобразователей в среде MATLAB, позволяющие оценить особенности их работы сразличными классами сигналов. Показано, что, несмотря на меньшую эквивалентнуюразрядность, параллельные преобразователи имеют преимущества перед одноразрядными приработе со случайными сигналами, а также меньшее время преобразования. Также разработанымодели для электроакустических преобразователей, учитывающие их типовые частотные ифазовые характеристики, а также используемый тип акустического оформления.На основе разработанных моделей элементов системы предложены управляющиеструктуры для одномерных систем гашения шума в помещении и систем индивидуальнойзащиты (рис.