Уравнения пространственного движения ЛА

УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЛАМатематическаямодельпространственногодвиженияаэродинамического летательного аппарата (ЛА) для целей управления имобычно создается в виде системы дифференциальных уравнений (ДУ) - этонаиболее привычная форма описания движения (и процессов вообще) иименно на эту форму (и форм, получаемых из нее) ориентируется в основномсовременная теория управления. Незакрепленное тело имеет шесть степенейсвободы (три - поступательного движения, три - углового (вращательного)).Выбор переменных, описывающих изменение по этим степеням свободы,предопределен использованием вполне определенного набора системкоординат (СК) - стандартных.

Необходимо описать изменение выбранныхкоординат в зависимости от скоростей (кинематика движения), а такжеизменение скоростей под действием влияющих факторов - сил и моментов(динамика движения).Описаниединамикисоставляетсянаосновеизвестныхфундаментальных соотношений, наиболее удобным среди которых длясоставления уравнений является закон сохранения (изменения) количествадвижения.Для поступательного движения (движения центра масс (ЦМ)) винерциальных СК этот закон описывается уравнениемdK F , а дляdtdL M R , где K  mV dt- момент количества движения; F -вращательного (относительно ЦМ) - уравнениемколичество движения; L  J Ωрезультирующая всех действующих внешних сил; M R - результирующиймомент; m - масса тела; V - вектор скорости; J  - момент инерции; Ω вектор угловой скорости.Непосредственное применение этих уравнений невозможно последующим причинам:- СК, относительно которых составляются уравнения движения, какправило, не являются инерциальными;- ЛА является не твердым телом, а телом переменного состава - в немможет происходить изменение и перераспределение масс, внутреннееотносительное движение (например, вращение турбин двигателей илидвижение жидкого топлива), изменение формы из-за нежесткостиконструкции или изменяемой геометрии, взаимодействие ЛА с воздушнойсредой происходит не только по твердой поверхности - в это взаимодействиевовлекается и часть среды (пограничный слой, спутный вихревой след), а1также потоки газов, проходящие через сам ЛА (например, черезвоздухозаборники двигателей) и выходящие из него в виде реактивной струи;- параметры среды, в которой происходит движение, и которыми вомногом определяются действующие на ЛА силы и моменты, зависят отмножества внешних факторов (погодных условий в зоне полета) и к тому жеподвержены многочисленным, не всегда контролируемым возмущениям.Некоторыеизэтихособенностейучтеныприописанииаэродинамических сил и моментов.

Но этого недостаточно. Поэтомууравнения движения обычно составляют, вводя упрощающие допущения,важнейшими среди которых являются:- Допущение о плоской форме и отсутствии вращения Земли. Этодопущение позволяет считать любую земную СК инерциальной, а ускорениеg - направленным вертикально вниз и зависящим только от высоты полета.- Гипотеза стационарности по отношению к изменению массы, моментаинерции и центровок ЛА, позволяющая не включать производные от этихвеличин в уравнения движения.- Гипотеза затвердевания, предполагающая, что в любой момент времениобъект является твердым телом (твердой оболочкой, ограниченнойконтрольной поверхностью), к которой кроме внешних сил приложеныреактивные силы (вызванные в основном истечением реактивной струи,создаваемой движителем ЛА, но возможно - и приемом воздуха черезвоздухозаборники), кориолисовы силы и гироскопические моменты из-заотносительного движения внутри ЛА, а также - вариационные силы,учитывающие перемещение частиц среды через контрольную поверхность свозможными ускорениями.

Более того, реактивные и вариационные силызаменяют одной сосредоточенной силой - силой тяги двигателяP=P(руд,V,H,…), которую экспериментально определяют или рассчитываютв зависимости от положения органа (ручки) управления двигателем руд ,скорости V, высоты H и других параметров полета.- Предположение о совпадении начала координат используемыхподвижных СК с центром масс ЛА и совпадении осей связанной СК сглавными центральными осями инерции. Это предположение позволяетрассматривать момент инерции ЛА в виде диагональной матрицыJ  diagJx Jy Jz . Правда, достаточно часто это предположение приходитсяослаблять, т.е.

считать, что начало координат связанной СК совпадает сноминальным положением ЦМ ЛА, при этом в полете возможноквазистационарное изменение положения ЦМ по отношению к началукоординат по продольной и нормальной осям. В этом случае2 Jxy 0  JxJ    Jxy Jy 0  . 00Jz - Гипотеза стационарности по отношению к изменениям параметровдвижения при расчете аэродинамических сил и моментов.- Допущение о стандартном характере атмосферы, при необходимостидополняемое моделью ветра в качестве внешнего воздействия (возмущения).При этом обычно предполагается, что система управления создаетсядостаточно «грубой», т.е.

сохраняющей работоспособность при возможныхотклонениях параметров атмосферы от стандартных, либо - настраиваемойна те изменения атмосферы от стандартной, которые могут быть учтены явно(например, «зима - лето», «тропики - полярные широты»).Уравнения, составленные при этих допущениях, по необходимостидополняют соотношениями, которые в той или иной мере учитываютотличия реальных ситуаций от гипотетической, т.е.

описываемойиспользуемыми допущениями.Например, уравнения движения твердого тела дополняют уравнением,описывающим изменение массы ЛА в полете из-за расхода топлива&  Q m (P,...), где Qm - массовый расход топлива, зависящий от тяги и другихmпараметров движения и среды. При этом изменение массы считаютдостаточно медленным по сравнению с изменением других параметровдвижения, чтобы для уравнений движения сохранялась гипотезастационарности, т.е.

- чтобы не требовалось изменять вид уравненийдинамики, вводя в них члены, содержащие производные по времени от массыи момента инерции. Подобным образом, т.е. оставаясь в рамках гипотезыстационарности, учитывают и изменение центровки x T , вводя соотношениядля пересчета моментов в зависимости от текущего положения центра масс,но не учитывая производных от x T по времени.При необходимости учитывают форму и вращение Земли, т.е. вводятзависимость g не только от высоты, но и других координат для различныхмоделей формы Земли (сфера, эллипсоид, геоид), а также силы, возникающиепри движении ЛА относительно вращающейся Земли. Следует отметить, чтотакой подход не пригоден для баллистических ракет большой дальности, атакже при решении навигационных задач.

Для них лучше подходит другойприем, а именно - рассмотрение движения ЦМ отдельно от вращательного сявным учетом в уравнениях движения ЦМ формы и вращения Земли.Возможность такого изолированного рассмотрения поступательногодвижения будет рассмотрена ниже.3Для учета изгибных колебаний из-за нежесткости конструкции ЛАуравнения движения твердого тела могут дополняться уравнениями упругихколебаний для тех точек ЛА, в которых эти колебания могут повлиять наработу системы управления, например - в местах установки датчиковугловых скоростей или линейных ускорений.В используемых СК - поступательное движение - движение ЦМ,вращательное - вокруг ЦМ.С учетом принятых допущений поступательное движение будетрассматриваться в нормальной земной СК, угловое - относительнонормальной СК.

Нормальную земную СК при этих допущениях можносчитать инерциальной (для плоской не вращающейся неподвижной Земли), анормальную - не вращающейся. Поступательное движение рассматриваетсякак движение ЦМ ЛА, угловое - вокруг ЦМ. Уравнения, выражающие законизменения количества движения для подвижных СК в этом случае можнозаписать в виде:&  mΩ  V  F ;- для движения ЦМmV(1)k- для движения вокруг ЦМkJ Ω&  Ω  JΩ  M R .(2)В этих уравнениях Vk - земная скорость ЛА, Ω - угловая скоростьвращения используемых подвижных СК относительно нормальной СК.Составление уравнений динамики сводится к записи уравнений (1) и (2)в проекциях на оси используемых систем координат, а уравненийкинематики - к выражению изменений переменных, описывающихотносительное движение подвижных и неподвижных СК через проекциискоростей этого относительного движения.

Для сокращения записи будутиспользоваться обозначения векторов вида Ω k , означающее, чтосоответствующий вектор задан своими проекциями на оси k-ой СК.Например, Ω k соответствует заданию вектора угловой скорости Ωпроекциями на оси траекторной СК, т.е. Ω k  (Ω xk , Ω yk , Ω zk ) T , а rg - заданиювектора r проекциями на оси земной СК, т.е. rg  ( x g , y g , z g ) T . Обозначениеосей в индексах соответствует обозначению осей СК по ГОСТ 20058-80, длясвязанной системы, оси которой не имеют индексных обозначений, будетиспользоваться индекс «св».4Уравнения динамики движения ЦМ.Уравнения динамики поступательного движения для различных целейудобно составлять в проекциях на оси траекторной или связанной СК.Уравнения динамики движения ЦМ в траекторной СК.Скорость движения ЦМ в траекторной системе - Vk  (Vk ,0,0) T .Переносная угловая скорость Ω в рассматриваемом случае - это скоростьвращения траекторной СК относительно нормальной.

Обозначим проекцииэтой угловой скорости на оси траекторной системы Ω xk , Ω yk , Ω zk , т.е.Ω k  (Ω xk , Ω yk , Ω zk ) T .Угловоеположениетраекторнойсистемыотносительно нормальной описывается углами пути  и наклона траектории, а изменение этого положения (вращение) - соответствующими скоростями& и θ& , причем вектор Ψ& направлен вдоль вертикальной оси y , а вектор θ& Ψgвдоль оси zk траекторной системы. Спроецировав эти вектора на оситраекторной системы, можно получить нужные проекции переносной& sin θ , Ω yk  Ψ& cos θ , Ω zk  θ& . В результате уравнение (1)скорости Ω xk  Ψ&k& sin θ  Vk VΨ &m  0   m Ψcos θ    0   Fk , или, после выполненияполучит вид  0  θ&   0 &kV0   F , или в болеевекторного произведенияm 0   mVk θ& k& cos θ  0  Vk Ψ&kVкомпактном видеmVk θ&(1к)  Fk ,& cos θ  Vk Ψгде Fk - вектор результирующей всех внешних сил, представленныйсвоими проекциями на оси траекторной системы.Векторное уравнение (1к) соответствует системе из трех скалярныхуравнений, которые после приведения к нормальной форме при   приобретут вид:FykFzk& k  Fxk ,& Vθ& , Ψ.mmVkmVk cos θУравнения динамики движения ЦМ в связанной СК.Переносной угловой скоростью в этом случае является вектор угловойскоростивращениясвязаннойСКотносительнонормальной5ω  (ω x , ω y , ω z ) T , проекциями которого на оси связанной системы являютсяугловые скорости крена x , рыскания y и тангажа z .