Конспект лекций Губарь (Конспект лекций "Начальный курс информатики" А.М.Губарь), страница 9

А это связано с понятием разряднойсетки, о чем речь пойдет в дальнейшем.Для перевода смешанного числа по рассмотренным правилам отдельнопереводятся его целая и дробная части, а результаты объединяются.Например:110110,112 → а10 .Сначала переведем целую часть:110110│1010-10101011110-1010100Итак, 1101102 = 5410 ,а 0,112 = 0,7510 .Переводим дробную часть числа:0,11 10101010+ 1010111,10 10100000+ 1010101,00Таким образом, 110110,112 =54,7510 .Разумеется, этот перевод можно было сделать проще, не выполняяделение и умножение чисел в двоичной системе счисления:110110,112 = 25 + 24 + 22 + 21 + 2-1 + 2-2 = 54 3/4 = 54,7510 .Возможен и третий вариант перевода, обоснованность и алгоритмкоторого попробуйте сформулировать сами:110110,112 → 128 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 219 → 219/4 = 54 3/4 = 54,7510.2.3. Машинные коды чиселАрифметические операции в компьютере выполняются в двоичнойсистеме счисления, причем все четыре действия сводятся к операциямсложения и сдвига чисел.

Чтобы это обеспечить, для представления чиселиспользуются прямой, обратный и дополнительный коды.Прямой код [x]пр. правильной двоичной дроби определяется условиями:[x]пр. = x, при x ≥ 0 или [x]пр. = 1 – x, при x < 0,то есть [x]пр. = 0,x1x2…xn или [x]пр. = 1,x1x2…xn.Здесь xi обозначают двоичные разряды числа, а 0 или 1 проставляются взнаковом разряде для обозначения положительных или отрицательных чиселсоответственно.

Например:x = – 0,101001 → [x]пр. = 1 – (– 0,101001) = 1,101001.Следовательно, прямой код двоичного числа совпадает с записью самогочисла, а в знаковом разряде проставляются 0 или 1 для положительных иотрицательных чисел соответственно.Обратный код [x]обр. определяется условиями:[x]обр.

= x, при x ≥ 0 или [x]обр. = 10 + x – 10n, при x < 0,где n – количество разрядов.Например:x = – 0,1101 → [x]обр. = 10 + (– 0,1101) – 0,0001 = 1,0010.Разумеется, здесь 10 – «два» в двоичной системе счисления.Следовательно, обратный код отрицательного числа образуется путем записив знаковый разряд 1, а цифровые разряды инвертируются.Дополнительный код [x]доп. определяется условиями:[x]доп.

= x, при x ≥ 0 или [x]доп. = 10 + x, при x < 0.Например:x = – 0,1101 → [x]доп. = 10 + (– 0,1101) = 1,0011.Следовательно, дополнительный код отрицательного числа образуется путемзаписи в знаковый разряд 1, цифровые разряды инвертируются, а к младшемуразряду прибавляется 1.Рассмотренные коды чисел используются для замены вычитаниясложением. Однако, например, при сложении двух правильных дробейрезультат может оказаться больше единицы, что приведет к переполнениюуже упомянутой разрядной сетки.

Переполнение означает, что результатоперации вышел за диапазон чисел, представляемых в данной разряднойсетке. При этом теряются старшие разряды результата, и он может изменитьсвой знак. Для быстрого обнаружения этого факта и возможного исправленияего последствий применяются модифицированные обратный [x]Мобр. идополнительный [x]Мдоп.

коды. Они образуются по таким же правилам, лишьпод знак числа отводятся два разряда: сочетание цифр 00 в знаковых разрядахсвидетельствует о том, что число положительное, цифр 11 – оноотрицательное. Например:x = – 0,10101 → [x]Мобр. = 11,01010; [x]Мдоп. = 11,01011.Признаком переполнения разрядной сетки служит появление в знаковыхразрядах суммы сочетания цифр 01 или 10.2.4.

Размещение чисел в разрядной сеткеСовокупность двоичных разрядов, предназначенных для хранения иобработки чисел, образует разрядную сетку компьютера. Применяются двеформы представления чисел: естественная – с фиксированной запятой(точкой) и нормальная или полулогарифмическая – с плавающей запятой(точкой).Приестественнойформепредставлениядвоичныхчиселсфиксированной запятой последняя фиксируется перед старшим разрядом(при представлении правильных дробей) или после младшего (припредставлении целых чисел), отделяя целую часть числа от дробной.

Подзнак числа отводится нулевой бит (0 – «+», 1 – «–»), остальные разрядызаполняются числом,младшая цифра которого размещается справа.Например, десятичное число 3105, которое сначала удобнее перевести вшестнадцатеричную систему счисления, а затем уже – в двоичную, в 16тиразрядной сетке будет размещено следующим образом (рис. 2.2).310510 = С2116 = 1100001000012.03711150 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1+C21Рис. 2.2.

Размещение целого числа в разрядной сеткепо форме с фиксированной запятойПри таком представлении наибольшее число, которое может быть записано вданной разрядной сетке, равно 215 – 1. Следует также отметить, что здесьстаршая тетрада является неполной (разряды 1, 2 и 3).При нормальной (полулогарифмической) форме представления чисел сплавающей запятой они изображаются в видеN = m·qp,где m – мантисса числа (|m| < 1);q – основание системы счисления;p – порядок числа, который указывает положение запятой в числе, приразных порядках положение запятой различно – отсюда и название – сплавающей запятой.

Например:12310 = 0,123 ۰ 103 = 0,0123 ۰ 104 = …Запись такого вида называется полулогарифмической потому, что влогарифмической форме представляется не все число, а только его часть qp .Различают нормализованные и ненормализованные числа, первые – этотакие, у которых абсолютная величина мантиссы удовлетворяет условию1/q ≤ |m| < 1.Ясно, что первое из приведенных чисел (с порядком p = 3) являетсянормализованным, а второе – нет. Для двоичной системы имеем 1/2 10 = 0,12,то есть число будет нормализованным, если после запятой сразу идетзначащая цифра, а если в старшем разряде 0, то это ненормализованноечисло.

Операция нормализации осуществляется в компьютере автоматическипутем сдвига мантиссы влево с соответствующим уменьшением порядка.Например: N2 = 0,00101 ۰ 10101 = 0,10100 ۰ 1011.Число 555,44110 = 22B,70E516 = 0,22B70E5 ۰ 103 в 32-хразрядной сеткебудет размещено следующим образом (рис. 2.3).00+1 00 070 1100 1110 00 1 0151 0191 10 1231 1270 00 0311 1322B70Рис. 2.3. Размещение смешанного числа в разрядной сетке1 0Eпо форме с плавающей запятойНеобходимо обратить внимание на два момента.Во-первых, младший разряд нашего шестнадцатеричного числа (илимладшая тетрада двоичной мантиссы) не поместился в разрядной сетке, тоесть мы получили приближенное число.

Однако существуют возможностиоперирования с числами двойной и даже большей точности, например, путемувеличения количества разрядов в разрядной сетке. К тому же, поскольку вразрядной сетке компьютера всегда записываются нормализованные числа, укоторых старший разряд мантиссы в двоичном представлении всегда равенединице, то он не хранится, хотя и учитывается при выполнении операций(так называемый скрытый разряд), и таким образом выгадывается еще одиндвоичный разряд для представления числа.Во-вторых, для записи порядка числа используются разряды с первого поседьмой, и в первом появилась единица. В результате получился такназываемый смещенный порядок.

Это делается для того, чтобы порядокможно было представлять без знака, таким способом упрощая действия спорядками чисел.2.5. Выполнение арифметических операцийВыполнение арифметических операций компьютером отличается от того,как эти действия реализует человек. Это связано с тем, что компьютероперирует с числами, точность которых в общем случае конечна ификсирована (об этом шла речь в первой главе). Данное ограничениеопределяется фиксированным размером разрядной сетки.

Хотя программистможет работать с числами в два, три и более раз большими, чем позволяетразмер разрядной сетки, но эта проблема все равно остается. Нам же, впринципе, все равно, сколько десятичных разрядов содержат используемыенами числа, поскольку никогда не возникнет проблемы нехватки бумаги дляих записи. Последнее соображение можно проиллюстрировать историейвычисления числа π.Число π (отношение длины окружности к ее диаметру) являетсятрансцендентным, то есть таким числом, которое не может получиться врезультате решения любых алгебраических уравнений с рациональнымикоэффициентами.

Кстати, установление этого факта в 1882 г. «закрыло»знаменитую проблему квадратуры круга – построения при помощи циркуля илинейкиквадрата,равновеликомуданномукругу,историякоторойнасчитывает более четырех тысячелетий. Так вот, еще Архимед установил,что число π заключено между 3 10/71 и 3 1/7. В XVI веке π было вычисленосначала с 9-ю, а затем с 32-я знаками (последний результат потребовал от егоавтора десятилетнего труда).

Наконец, в XIX веке один англичанин, затративболее 20-ти лет жизни, вычислил 707 знаков числа π. К счастью для«рекордсмена», уже после его смерти было обнаружено, что он ошибся в 520м знаке, и все последующие цифры полученного выражения неверны. Длявычисления π использовались бесконечные ряды или произведения,сходящиеся к π, например ряд, открытый Лейбницем:π = 4 ۰(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …).Однако следует подчеркнуть, что для получения, например, шестизначного πнеобходимо взять в этом ряду 2 ۰ 106 членов.С появлением компьютеров число π было вычислено в 1949 году сначалас точностью свыше 2000 знаков, затем точность постоянно увеличивалась и кнашему времени достигла миллиона знаков. Разумеется, это представляетлишь технический, но вряд ли научный или практический интерес, посколькудля практических целей вполне достаточно знать, что π  3,14159265.Итак, сначала рассмотрим выполнение операций над числами сфиксированной запятой.