Конспект лекций Губарь (Конспект лекций "Начальный курс информатики" А.М.Губарь), страница 10

При выполнении сложения машинные коды чиселпросто складываются, при этом коды отрицательных чисел преобразуются вобратный или дополнительный коды. Таким образом, вычитание сводится ксложению путем определения для кода вычитаемого дополнения, котороеприбавляется к уменьшаемому. Единица переноса из знакового разряда прииспользовании дополнительного кода не учитывается, при использованииобратного кода она прибавляется к младшему разряду суммы, реализуя такназываемый циклический перенос. Например:x = 0,1101, y = – 0,0110, x + y = ?[x]Мдоп.

= 00,1101 или [x]Мобр. = 00,1101+ [y]Мдоп. = 11,1010+ [y]Мобр. = 11,1001100,0111100,0110+100,0111Итак, x + y = 00,0111. И действительно: 13 + (– 6) = 7.Необходимо отметить, что суммирование обратных кодов чисел выполняетсяза два шага, включая циклический перенос, что замедляет получениерезультата.

По этой причине предпочтительнее представление и обработкачисел в компьютере в дополнительных кодах.Умножение сводится к последовательности операций суммирования исдвига (влево или вправо). Под сдвигом понимается перемещениесодержимого разрядной сетки на определенное количество разрядов в однусторону, приэтомосвобождающиесяразрядызаполняютсянулями.Различают арифметический и логический сдвиги: в первом случаесдвигаются только цифровые разряды, во втором – все разряды двоичногокода. Следует заметить, что сдвиг целого числа на один разряд влевоувеличивает его в два раза, сдвиг на два разряда – увеличивает в четыре разаи т.д.

Аналогичным образом сдвиг вправо эквивалентен делению на 2, 4 и т.д.Максимальная разрядность произведения определяется суммой разрядовсомножителей (n + n = 2n), а знак произведения – путем сложения знаковыхразрядов сомножителей. Например:x = 0,110, y = 1,101, x ۰ y = ?Определяем знак произведения: 0 + 1 = 1 – произведение отрицательно.Выполняем умножение:0,110 0,101110+ 000110__11110Итак, х ۰ у = 1,11110. И действительно: 6 ۰(– 5) = – 30.Деление состоит в последовательности операций вычитания и сдвигов,причем делитель вычитается из делимого или очередного остатка. Приделении без восстановления остатка полученный в результате вычитанияостаток сдвигается на разряд влево. Если он положительный, из неговычитаетсяделительивразрядчастногозаписывается1,еслиотрицательный – к нему прибавляется делитель и в разряд частногозаписывается 0.

Например:x = 0,00100, y = 0,10100, x : y = ?[y]доп.= 1,01100.0.001001.11000 → 01.01000 → 0Проверка:+1.01100+ 0.10100+ 0.10100х10 = 4, у10 = 20, х : у = 0,2.1.100000.011001.111000,2←←← 21.00000 → 00.11000 → 11.11000 → 00,4+ 0.10100+ 1.01100+ … и т.д. 21.101000.001000,8←← 21.01000 → 00.01000 → 11,6+ 0.10100+ 1.01100 21.111001.101001,2←← 2Таким образом, x : y = 0.00110011…0,4 …Теперь рассмотрим выполнение операций над числами с плавающейзапятой. Сложение и вычитание выполняются как над мантиссами, так и надпорядками. Сначала порядки выравниваются путем увеличения меньшего,для чего мантисса соответствующего числа сдвигается вправо на числоразрядов, равное разности порядков. Затем производится сложение мантисс ипри необходимости нормализация результата.

Например:x = 0,101001 ۰ 10110, y = – 0,101110 ۰ 10101, x + y =?Порядок первого числа на 1 больше порядка второго числа, поэтому послевыравнивания порядков имеему = – 0,010111 ۰ 10110.Складываем мантиссы:[mx]Мпр. = 00,101001+ [my]Мдоп.= 11,10100100,010010 (p = 110).Нормализуем результат с уменьшением порядка на 1:x + y = 0,10010 ۰ 10101.И действительно: 41 + (– 23) = 18.Умножение и деление выполняются, в общем, аналогично тому, как и этиоперации над числами с фиксированной запятой. Например, выполнимумножение двоичных чисел (для упрощения расчетов их порядки, которыепри умножении складываются, а при делении вычитаются, представлены вобычной двоичной форме):(0.11110  10101)  (0.1001  10100) = (0.11110  0.1001)  10(101+ 100)== 0.100001110  101001.И действительно: 30  9 = 270.Мы рассмотрели простейшие способы выполнения арифметическихопераций в компьютере.

Существуют и более сложные методы, позволяющиеуменьшить время их выполнения, которые изучаются в курсах «ОрганизацияЭВМ» и «Схемотехника». Отметим в заключение, что в персональномкомпьютере арифметика с плавающей точкой имеет алгоритмическую иаппаратную поддержки, причем последняя реализуется в виде сопроцессораи обеспечивает большую скорость выполнения арифметических операций.Контрольные вопросы1.Что такое система счисления?2.В чем различие между непозиционной и позиционнойсистемами счисления?3.Почему числа в компьютере представляются в двоичнойсистеме?4.

Вчемсложностьиспользованияшестнадцатеричнойсистемы?5.Как осуществляется перевод целых и дробных чисел изодной системы счисления в другую?6.К каким операциям сводится выполнение арифметическихдействий в компьютере?7.Как образуются обратный и дополнительный коды двоичныхчисел?8.Как образуются модифицированные коды чисел и для чегоони применяются?9.Что такое разрядная сетка компьютера?10. Какдвоичноечислопредставляетсяпоформесфиксированной запятой?11.

Почему нормальная форма представления числа с плавающейзапятой еще называется полулогарифмической?12. Что такое нормализованные и ненормализованные числа?13. Для чего нужна операция нормализации числа?14. Как образуется смещенный порядок числа?15. В чем отличие операций сложения чисел с фиксированной иплавающей запятыми?16. По какому правилу может осуществляться операция делениячисел?3. Элементы алгебры логики3.1.

Высказывания и логические связкиАлгебра логики – это раздел математической логики, в котором изучаютсязаконы, выражаемые логическими формулами, построенными из логическихпеременных и символов логических связок. Алгебру логики также называютбулевой алгеброй – в честь англичанина Джорджа Буля, опубликовавшего в1847 г.

трактат «Математический анализ логики», в котором уже известныетогда логические правила были представлены в математической форме.В любом естественном языке, на котором общаются люди, основнойконструкциейфразыявляетсяпредложение,простоеилисложное(составное). Сложные предложения состоят из нескольких простых,соединенных(или разделенных)знаками препинания,союзами илисловосочетаниями «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ ...

ТО» и другими.В алгебре логики основной конструкцией является высказывание,которое иногда называют утверждением. Под высказыванием понимаетсятакое предложение, о котором можно сказать, что оно истинно илиложно. Например:«Семь – простое число» – истинное высказывание,«Дважды два – пять» – ложное высказывание.Наконец, предложения: «Который час?», «Пошел вон!» высказываниями неявляются.Постарайтесь определить, какое из двух следующих высказыванийявляется истинным, а какое – ложным:1.

Всякое высказывание является предложением.2. Всякое предложение является высказыванием.Сложныевысказывания,какисложныепредложения,такжесоставляются из простых, а роль знаков препинания, союзов или оборотовпри этом играют логические связки, основные из которых обозначаютсяследующим образом:знак ┐ или– аналог частицы «НЕ»;знак  – аналог союза «И»;знак  – аналог союза «ИЛИ»;знак → – аналог словосочетания «ЕСЛИ ...ТО»;знак ↔ – аналог словосочетания «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА».Используя введенные обозначения, высказывание: «Два есть простое, адевять – составное число» символически можно записать следующимобразом.

Это сложное высказывание состоит из двух простых: «Два –простое число», «Девять – составное число», соединенных союзом «а»,который в данном случае играет роль союза «и». Обозначив эти простыевысказываниязаглавнымибуквамилатинскогоалфавитаPиQсоответственно, получим P  Q.В качестве следующих примеров «перевода» используем некоторые измыслей и афоризмов Козьмы Пруткова. Высказывания «Наука изощряет ум;ученье вострит память» и «Хитрость есть оружие слабого и ум слепого»имеют аналогичную структуру, поэтому оба они представляются как P  Q.Действуя подобным образом, высказывания «Если хочешь быть счастливым,будь им» и «Если хочешь быть красивым, поступи в гусары» символическиможно записать так: P → Q.

С переводом на язык алгебры логики афоризма«Щелкни кобылу в нос – она махнет хвостом» могут возникнуть некоторыетрудности. Дело в том, что на первый взгляд равноценны две записи этогосоставного высказывания: P  Q и P → Q. Второй вариант предпочтительней,так как он отражает причинно-следственную связь произведенных действий.Наконец, чтобы символически записать высказывание «Бросая в водукамешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будетпустою забавою», его предварительно необходимо преобразовать безизменения смысла. В результате получим: «Если ты бросаешь в водукамешки и не смотришь на образуемые ими круги, то такое бросание будетпустою забавою». Нетрудно понять, что символическая запись такоговысказывания будет выглядеть так: (P  (┐Q)) → R.Однако последний пример ставит вопрос о применении скобок. Чтобыуменьшить их количество при записи символических выражений, принятыследующие соглашения о «старшинстве» логических связок, аналогичныесоглашениям о порядке выполнения арифметических операций.Связка ┐является слабейшей, то есть если сразу после нее нет скобки, тоона относится только к тому простому высказыванию, непосредственно передкоторым находится.

Среди оставшихся слабейшей будет связка , затемсвязки  и →; наконец, сильнейшей является связка ↔. Другими словами,приоритет логических связок убывает в том порядке, в каком они былиопределены выше. Такой порядок называется естественным, если егонеобходимо нарушить, следует использовать скобки.Ясно, что с учетом принятых соглашений реализация последнегопримера может не содержать скобок: P  Q → R.Теперь постараемся решить обратную задачу: нам надо будет перевестина русский язык сложное высказывание, символически записанное на языкеалгебры логики,если известен «перевод» составляющих его простыхвысказываний. Например, пусть P – «Сегодня воскресенье», Q – «Сегодняпонедельник», R – «Сегодня вторник». Тогда составное высказываниеP → ┐(QR) можно перевести так: «Если сегодня воскресенье, то сегодня непонедельник и не вторник».3.2.