Диссертация (Теплопроводность твердотельных оптических материалов на основе неорганических оксидов и фторидов), страница 4

В работе [22] скорректированы выражения длявремен релаксации фононов при процессах переброса и с использованием уравнения Каллауэя[8] получено хорошее согласие с экспериментом в случае кристаллов LiF и NaF. Свои методыаппроксимации времени релаксации для N-процессов с выходом на расчет низкотемпературнойтеплопроводности кристаллической решетки предложил автор [23].Авторами [24] исследована роль дисперсии фононов в предсказании теплопроводностигермания в широком температурном интервале 2 – 1000 К с использованием приближения Холланда [25].

Тепловые транспортные свойства ионных кристаллов описываются в работе [26] наоснове расчетов динамики решетки и кинетического уравнения Больцмана при строгом учетекулоновского взаимодействия.Аналитическое выражение для обратного времени релаксации фононов за счет рассеянияна примеси, описывающее отклонение рассеяния фононов от рэлеевского, приводится в [27].Влияние структурных дефектов на теплопроводность рассматривается также в работе [28], вкоторой выявлена важность учета ионной поляризуемости кристалла.В работе [29] рассматриваются механизмы снижения теплопроводности, такие как структурное/химическое разупорядочение, повышение плотности материала, увеличение числа атомов в элементарной ячейке и использование структурной анизотропии.Влияние упругой анизотропии кристаллов с кубической решеткой на фононную теплопередачу рассмотрено в работе [30].

В режиме граничного рассеяния фононов кристаллы Si иCaF2, как оказалось, проявляют анизотропию теплопроводности.Вопросы, связанные с расчетами величины фононной теплопроводности с учетом ангармонизма динамики кристаллической решетки, рассматриваются в диссертации [31] и статье [32].Основные теоретические представления о теплопроводности кристаллов содержатся в работе [33]. Вопросы, связанные с теплопередачей, рассматриваются в книге [34].Модель для расчета коэффициента теплопроводности горных пород в зависимости от минерального состава, пористости, типа жидкости и температуры была разработана авторами [35]на основе теории вещества («fabric theory») и экспериментальных данных.16Сравнение равновесного и неравновесного методов расчета теплопроводности проведенов [36]. Показана возможность приведения их в соответствие друг другу и экспериментальнымданным в случае кристалла Si.Подход, отличающийся от предложенных Клеменсом [19, 20] и Каллауэем [8] более подробным рассмотрением вклада в теплопроводность поперечных и продольных фононов, представлен Холландом [25].Авторы работы [37] предложили метод расчета теплопроводности, основанный на дебаевской модели плотности энергии колебаний решетки.

В расчетах фононной теплопроводностидиэлектрических материалов от комнатной температуры до точки плавления фигурируют такиевеличины, как теплоемкость, средняя длина свободного пробега фононов, верхние пределытемпературы Дебая ΘD(∞) и параметра Грюнайзена γ(∞). Метод является частным случаем метода расчета фазовых диаграмм (CALPHAD – Calculation of Phase Diagrams).Определенный вклад в развитие теоретических представлений о процессах фононноготеплопереноса в кристаллических средах сделан также в работах [38 – 62].Низкотемпературной теплопроводности аморфных сред посвящены работы [63 – 66].1.1.2 Приближение времени релаксации фононовПеренос тепла в кристаллической решетке осуществляется фононами с энергией ε = ħ ωj( k )(j = 1, 2, 3,...), распространяющимися с групповой скоростью vj = dωj( k )/d k , где ω – угловаячастота, k – волновой вектор, j – номер колебательной ветви.Формула для теплопроводности получается из решения кинетического уравнения Больцмана с учетом зависимости длины свободного пробега фононов от частоты колебаний для различных механизмов рассеяния.

Это весьма сложная задача, для решения которой используютсяразличные приближенные методы, наибольшее распространение среди которых получил методвремени релаксации и вариационный метод. Другие методы гораздо сложнее и их не простоприменить для анализа экспериментальных результатов.Для численных расчетов k(Т) и анализа экспериментальных данных при низких температурах обычно используется формула, полученная в приближении времени релаксации в дебаевской модели фононного спектра [2]: /Tk  GT 3 0x 4 dx 1sh 2 ( x / 2),(1.5)17где G kB 4w) , x, ω – частота фонона, v – средняя скорость звука, τ -1 – обратное время2k BT8 v (релаксации фонона,  – постоянная Планка, kB – постоянная Больцмана, Θ – температура Дебая.При этом предусматриваются следующие упрощения: 1) скорости фононов по трем ветвям одинаковы; 2) дисперсионное соотношение w = v | k | имеет линейный вид, т.

е. скорость независит от волнового вектора k ; 3) рассматривается изотропный материал. Если имеется несколько механизмов рассеяния Кононов, не взаимодействующих в первом приближении, тообщее время релаксации представляется в виде:τ -1 = ∑τ -1i .(1.6)Основными механизмами рассеяния фононов, приводящими к конечной теплопроводности, являются рассеяние фононов на фононах (трехфононные процессы переброса), рассеяниефононов на границах кристалла, на дефектах (точечных, дислокациях, границах зерен и т.

д.). Внекоторых случаях имеются и довольно специфические механизмы рассеяния резонансного типа, такие как рассеяние на квазилокальных колебаниях, внутримолекулярных колебаниях, взаимодействие между фононами и спиновыми системами [1] и другие.Рассмотрим перечисленные выше механизмы рассеяния фононов, температурные областиих наибольшего проявления в k, а также температурные и частотные зависимости времен релаксации, обусловленных этими процессами.Вероятность трехфононного рассеяния определяется частотой столкновений фононов, зависящей от числа взаимодействующих фононов.

В процессах переброса волновые векторывзаимодействующих фононов ограничены со стороны минимальных значений величиной, превышающей половину вектора обратной решетки. Эти факторы приводят к различным температурным зависимостям обратного времени релаксации, а следовательно и k(Т), при низких и высоких температурах.При высоких температурах (Т ≥ Θ) существенны фононы с большой величиной волновоговектора, поэтому условие ограничения волнового вектора взаимодействующих фононов практически не влияет на процессы переброса. Число возбужденных фононов, принимающих участие во взаимодействии (соответствующее изменению заселенности колебательных мод), пропорционально температуре, и обратное время релаксации имеет вид:τ -1ф-ф = А ωn T,(1.7)где А – коэффициент.

Показатель степени n меняется от 1 до 4 в зависимости от характера взаимодействия и обычно устанавливается экспериментально.Теплопроводность при Т ≥ Θ, обусловленная фонон-фононным рассеянием, обратно пропорциональна температуре.18При низких температурах (Т << Θ) число фононов с большими волновыми векторами,принимающих участие в процессах переброса, экспоненциально мало. Обратное время релаксации имеет вид:τ -1 ф-ф =А′ ω2 Тm eΘ/αT,(1.8)где α – постоянный коэффициент порядка 2, показатель степени m обычно равен 3 ÷ 4. Экспериментально его трудно с уверенностью определить из-за сильной экспоненциальной температурной зависимости.Теплопроводность при низких температурах также имеет экспоненциальную зависимость.Такая зависимость наблюдается только в очень чистых кристаллах, близких к идеальным, безизотопических примесей, когда нет других механизмов, ограничивающих k, кроме процессовпереброса.Время релаксации нормальных процессов не может быть внесено на общих основаниях сдругими резистивными процессами в соотношение (1.6).

В этом случае используется рассмотрение Каллауэя [8]. Вводится комбинированное время релаксации τC -1 = τR -1 + τN -1, где τR -1 иτN -1 – времена релаксации нормальных и резистивных процессов; и общее время релаксацииτ  τ 1 СτNτС,(1.9)x 4 dxτ N sh 2 ( x / 2)где параметр  .τСx 4 dxτ N τ R sh 2 ( x / 2)Подставляя (1.9) в (1.5), получим выражение для теплопроводности:Θ/Tτ C 1   / τ N  x 4 dx0sh 2  x / 2 k  GT 3 .(1.10)Формулу (1.10) удобно представить в виде двух слагаемых, одно из которых зависит, адругое не зависит от времени релаксации, определяемого нормальными процессами:k = GT 3(I1 +Θ /Tгде I1  0τ С x4 dxsh2 ( x / 2)Θ /T; I2 = 0τСτNI22),I3(1.11)x4 dx ; I = Θ / T τ С  x4 dx .32sh2  x / 20 τ N τ R sh ( x / 2)В отсутствие резистивных процессов, т. е.

при τR → ∞, τc = τR и β → ∞. Следовательно, иk → ∞. Когда τN становится большим, то τC ≈ τR, и k определяется непосредственно резистивными процессами рассеяния.19Рассеяние фононов на границах кристалла можно интерпретировать следующим образом. При низких температурах  ф1ф (1.8), а следовательно и k (1.11), обусловленная фононфононными взаимодействиями, стремится к бесконечности при Т → 0.