1626435732-35530c4ed83a3c2c1ce6bf498204837f (2019 - Решение месячных задач 13, 15)

1Äâå ñåìåñòðîâûå çàäà÷è èç êóðñà ¾Òåðìîäèíàìèêà è ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà¿ èç ñåäüìîãî ñåìåñòðà20192020 ó÷åáíîãî ãîäà. Âûïîëíåíî è íàïå÷àòàíî ñòóäåíòîì ãðóïïû 16302 ÔÔ ÍÃÓ â 2020-ì ãîäó.Çàäà÷à 13. Íàéòè èçìåíåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäíèêà ïðè âêëþ÷åíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþEåñëè åñòü äâà òèïà íîñèòåëåé çàðÿäà, íàïðèìåð, ýëåêòðîíûè äûðêè.Çàäà÷à õîðîøî ðàññêàçàíà â Êîòêèíå. Âíèìàíèÿ çàñëóæèâàþò ëèøü íåñêîëüêî ìîìåíòîâ: ïîèñêôóíêöèè δf è ïîäñ÷¼ò èíòåãðàëîâ.eBδfeE df0+−=τm dvx mcdδfdδfvy −vxdvxdvy= eEdf0dδfv cos ϕ + Ω,dεdϕ(1)ãäå ε = mv 2 /2 ýíåðãèÿ, ϕ óãîë ìåæäó îñüþ OX è ïðîåêöèåé ñêîðîñòè v íà ïëîñêîñòü OXY .f0 (ε) èçîòðîïíîå ðàñïðåäåëåíèå.

Ïîëàãàåì(2)δf = A(ε) · cos(ϕ + ϕ0 ).ϕ0 - íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, A(ε) íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ.Ïî ïîäñòàíîâêå (2) â (1) ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî ïðèppcos ϕ0 = −1/ Ω2 τ 2 + 1, sin ϕ0 = Ωτ / Ω2 τ 2 + 1,(3)ôóíêöèÿ A(ε) ìîæåò áûòü âûðàæåíà êàêA(ε) = √eEvτdf0.22Ω τ + 1 dε(4)Ìîæíî ðàñïèñàòü δf ïî óðàâíåíèþ (2):δf = A cos ϕ cos ϕ0 − A sin ϕ sin ϕ0 =eEτ df0(−vx − Ωτ vy ).+ 1 dε(5)Ω2 τ 2Ïëîòíîñòü òîêà:Zjx =e2 Eτevx δf d v = − 2 2Ω τ +13Zdf0vx2dvx dvy dvzdεe2 Eτ=− 2 2Ω τ +1Z∞df0 4· v dvdε×cos2 ϕ dϕ = −0e2 Eτ4π3 Ω2 τ 2 + 1Z∞e2 Eτ4πdf0 4· v dv = −dε3 Ω2 τ 2 + 10Ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì è çàìåòèòü, ÷òî 4π =RΩdΩ =Rπsin3 θ dθ×00Z2πZπZ∞0sin θ dθ√(6)df0 3/22 2· ε dε · 5/2dεmR2πdϕ:00√Z ∞Z ∞4π e2 Eτdf0 3/22 24π e2 Eτjx = −·εdε·=f0 · ε1/2 dε ·3 Ω2 τ 2 + 1 0 dε3 Ω2 τ 2 + 1 0m5/2Z ∞Z ∞Z4π e2 Eτ31 e2 Eτne2 Eτ22=f·vdv·=f·vdvdΩ=003 Ω2 τ 2 + 1 0mm Ω2 τ 2 + 1 0m√2 2 3· =m5/2 21· 2 2Ω τ +1(7)ΩÀíàëîãè÷íî è jy = Ωτ jx =ne2 EτΩτ· 2 2mΩ τ +1Çàäà÷à 15.

Íàéòè êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëå â τïðèáëèæåíèè. Îïðå-äåëèòü êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ ïîïåðå÷íîãî çâóêà â ìåòàëëå, îáóñëîâëåííûé âÿçêîñòüþ ýëåêòðîííîãî ãàçà, ïðè óñëîâèè ìàëîé äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíîâ.2Ïîïåðå÷íûé çâóê èìååò ñëåäóþùèé âèä:v0z = v0 cos(kx − ωt),v0x = v0y = 0(8)Êàê v0 (x, z) îáîçíà÷åíà ñêîðîñòü ìàëîãî ýëåìåíòà îáú¼ìà ýëåêòðîííîãî ãàçà â çâóêîâîé âîëíå.Cêîðîñòè ýëåêòðîíîâ v = v0 + w. Ôóíêöèÿ ðàâíîâåñíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ â ñðåäå ñ íåçàòóõàþùèì çâóêîì f0 = f0 (v, x, t) = f0 (v − v0 (x, t)). Ââèäó óïîìÿíóòîé â óñëîâèè ìàëîñòè äëèíûñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìû ñ÷èòàåì ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ëîêàëüíî ðàâíîâåñíûì, çàâèñÿùåì ëèøü îòìîäóëÿ õàîòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè: f0 = f0 (|w|) = f0 (w). âîëíå ýòîãî çâóêà íà êàæäóþ ÷àñòèöó äåéñòâóåò ñèëà m dvdt0z ez = mv̇z ez , ãäå ez áàçèñíûéâåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé îñè z .

Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå:∂f∂f∂f+ v̇0α= 0,+ vα∂t∂xα∂vα(9)ãäå ïî îäèíàêîâûì èíäåêñàì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå. Ñäåëàåì ïðèâû÷íîå â òàó-ïðèáëèæåíèèðàçëîæåíèå f = f0 + δf .q∂fδf∂f0 (v, x, t)δfdf0 (w) ∂=+=+·vx2 + vy2 + (vz − v0 cos(kx − ωt))2 =∂tτ∂tτdw∂tδfdf0 (w) vz − v0 cos(kx − ωt)=−·· v0 ω sin(kx − ωt)τdww∂fdf0 (w) vz − v0 cos(kx − ωt)=·∂vzdwwdf0 (w) vz − v0 cos(kx − ωt)∂f=·· v0 k sin(kx − ωt)∂xdww(10)(11)(12)Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå â íàøåì ïðèáëèæåíèè çàïèøåòñÿ êàêδfdf0 (w) vz − v0 cos(kx − ωt)−·· v0 ω sin(kx − ωt)+τdwwdf0 (w) vz − v0 cos(kx − ωt)·· v0 k sin(kx − ωt)++ vx ·dwwdf0 (w) vz − v0 cos(kx − ωt)+ v0 ω sin(kx − ωt) ··= 0.

(13)dwwÂòîðîå è ÷åòâ¼ðòîå ñëàãàåìûå ñîêðàùàþòñÿ.δf = −τ vx v0 k sin(kx − ωt) ·df0 (w) vz − v0 cos(kx − ωt)·,dww(14)èëè èíîé ñïîñîá çàïèñàòü ýòî:δf (w, wx , wz , x, t) = −τ wx v0 k sin(kx − ωt) ·df0 (w) wz·,dww(15)Êîìïîíåíòà òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé (îí æå áåññëåäîâàÿ ÷àñòü òåíçîðà äàâëåíèÿ) è ñâÿçü îíîéñ êîýôôèöèåíòîì âÿçêîñòè (ïóíêòû 12.3 è 13.7 èç "Ëåêöèé ïî ôèçèêå ïëàçìû"Êîòåëüíèêîâà (2013)):Zdvzπzx = −η= me vx vz f d3 w · (2π~)−3 m3 .(16)dxÊíèãó ýòó ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíî äîñòàòü â Èíòåðíåòå.

Ìîæíî îáðàòèòüñÿ çà òåìè æå ôîðìóëàìè ê "Îñíîâàì ôèçèêè ïëàçìû"Ãîëàíòà Â.Å., Æèëèíñêîãî À.Ï., Ñàõàðîâà È.Å. (1977) Ÿ6.1 (ôîðìóëà(7.59)).  ôîðìóëå (7.59) äîïóùåíà îøèáêà: äîëæíî áûòü πkl = (6.11)) è Ÿ7.3 (ôîðìóëà∂uk∂ul2−η ∂xl + ∂xk − 3 δlk div ~u .3Ðàñêðûâàåì vz è f :Z3vx vz f d w =Zwx (wz + v0 cos(kx − ωt)) · (f0 (w) + δf )d3 w,RÈíòåãðàë îò f0 (w) ðàâåí íóëþ, êàê è wx v0 cos(kx − ωt) · δf d3 w:ZZdf0 (w) wz2− wx v0 cos(kx − ωt) · τ wx v0 k sin(kx − ωt) ··· w dwdΩw ∼ wx2 wz dΩw ∼dwwZ∼ sin2 θ cos2 ϕ · cos θ · sin θdθdϕ = 0(17)(18)Òàêèì îáðàçîì:ZZdf0 (w) wz3vx vz f d w = − wx wz τ wx v0 k sin(kx − ωt) ··· w2 dwdΩw =dwwZZ2df0 (w) 52= −τ v0 k sin(kx − ωt) ·f0 (w)w4 dw ≈w dw = τ v0 k sin(kx − ωt) ·15dw3ZεF4 · 25/2 5/225/23/2(2s+1)εdε=τvksin(kx−ωt)·ε .

(19)≈ τ v0 k sin(kx − ωt) ·03m5/215m5/2 F0Âîçâðàùàÿñü ê (16)dvz= −kv0 sin(kx − ωt).dx4 · 25/2 5/2m4.η=τε·F(2π~)315m5/2(20)(21)Ñëåäóÿ ïàðàãðàôó 79 øåñòîãî òîìà Ëàíäàó (ïîãëîùåíèå çâóêà), êîýôôèöèåíò óìåíüøåíèÿ ýíåðãèè âîëíû ñ ðàññòîÿíèåì:ηk 2ηω 2εF ω 2 τ= 3 =, Eâîëíû ∼ exp(−γx x).2vs ρ2vs ρ10πmvs3 ×òî, ââèäó v 2 = 3εF /(10πm), ñîâïàäàåò c âåëè÷èíîé nm · v 2 ω 2 τ /(3ρvs3 )γx =(22)Î íåêîòîðûõ ò¼ìíûõ ìîìåíòàõ ðåøåíèÿ: â óðàâíåíèè (16) m3 ñòîèò ââèäó òîãî, ÷òî p2 dp =w2 dw · m3 . Âî ìíîãèõ âèäåííûõ ìíîþ ðåøåíèÿõ nm, ñòîÿùèå â ÷èñëèòåëå, è ρ â çíàìåíàòåëå íå ñîêðàùàþòñÿ.

Åñëè â òîì è åñòü ñåðìÿæíàÿ ïðàâäà, òî ÿ å¼ íå óëîâèë. (2s + 1) = 2 è ñèìâîëèçèðóåò ó÷¼ò âôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äâóêðàòíîãî âûðîæäåíèÿ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà. Òåìïåðàòóðà ñ÷èòàåòñÿ íóëåâîé, õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ðàâåí εF . Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ ñâåäåíèå èíòåãðàëà ïî áåñêîíå÷íîé îáëàñòè êRπêîíå÷íîé â èíòåãðàëå (19). sin3 θ cos2 θdθ = 4/15.0Óðàâíåíèå (79.1) èç Ëàíäàó èçìåíèòñÿ êàê:Z Zη∂v0i ∂v0k2 ∂v0l 2Ėìåõ = −+−dV − ζ (div v)2 dV =2∂xk∂xi3 ∂xlZZηk 2 v02ηk 2 v022=−sin (kx − ωt)dV − ζ 0dV = −V0 ,24(23)ãäå V0 îáú¼ì ãàçà.Äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ ïîïåðå÷íîãî çâóêà:γt = γx vs =εF ω 2 τ, Eâîëíû ∼ exp(−γt t).10πmvs2ß ìîã áû ïðèâû÷íî îôîðìèòü ïåðâûé àáçàö ñ ïîìîùüþ\maketitle,(24)íî òîãäà íàçâàíèå è àâòîðñòâî çàíèìàëî áûòðåòü ñòðàíèöû.

ß æå î÷åíü õîòåë ÷òîáû âåñü äîêóìåíò àêêóðàòíî óìåñòèëñÿ â 3 ñòðàíèöû, çàíèìàÿ îíûå áåç îñòàòêà..