1-48 (Описания лабораторных работ)

ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ИОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯЦель работы: изучение зависимости периода колебаний физическогомаятника от положения точки подвеса и определение ускорения свободногопадения.Задание: измерить период колебания физического маятника при различных положениях точки подвеса. По этим данным определить ускорениесвободного падения.Подготовка к выполнению лабораторной работы: ознакомитьсяпо учебнику с понятиями физического маятника, колебательного движения, уравнением колебаний физического маятника. Ответить на контрольные вопросы.Литература1. И. В.

Савельев, Курс общей физики, т. 1: Механика, молекулярная физика, М.: Наука, 1987, §§38, 39, 54Контрольные вопросы1. Дать определения математического и физического маятников.2. Дать определение гармонических колебаний. Что такое амплитуда,фаза, период, частота колебаний?3. Дать определение момента силы и момента инерции.4. Вывести формулу (1) для момента инерции стержня.5. Сформулировать теорему Штейнера.6. Записать основное уравнение вращательного движения.7. Получить зависимость T (a) (формула (6)) для используемого в работе маятника. Нарисовать качественно график этой зависимости.8.

Рассказать порядок выполнения работы.9. Почему отклонения маятника от положения равновесия не должнопревышать 5–7◦? Что изменится, если они будут порядка 50–60◦?10. Получить формулы (8) и (9) для расчета ускорения свободного падения g и погрешности ∆g.Typeset by AMS-TEX1Описание аппаратуры и метода измеренийВ работе используется физический маятник, который представляет собой стальную трубу длиной около метра. По трубе может перемещаться муфта, с помощью которой маятник подвешивается к кронштейну настене. Массой муфты можно пренебречь.

Схема установки изображена нарис. 1.NaOϕCmgРис. 1. Схема установкиМатематическая модель используемого в работе маятника — однородный стержень длины L и массы m. Как известно, момент инерции стержняотносительно оси, проходящей через его центр масс C и перпендикулярнойстержню, равен1mL2 .Jc =(1)12Момент инерции относительно оси, перпендикулярной стержню и отстоящей на расстояние a от его центра масс (именно относительно такой оси Oвращается маятник в работе), можно найти по теореме ШтейнераJo = Jc + ma2 =1mL2 + ma2 .12(2)Запишем уравнение движения стержня — основное уравнение вращательного движенияJβ = M,где J — момент инерции стержня относительно оси вращения, β — угловое ускорение стержня, M — проекция суммарного момента внешних2сил, действующих на стержень, относительно какой-либо точки на осивращения стержня на ось вращения.

Будем описывать положение стержня углом его отклонения от вертикали ϕ (см. рисунок 1). Тогда β = ϕ̈.В соответствие с выбором направления отсчета для угла, положительноенаправление оси вращения — это направление “на нас”. На стержень действуют две силы: сила тяжести mg, приложенная в центре масс C, и силареакции подвеса N , приложенная в точке подвеса O. Момент силы N относительно точки O равен нулю. Момент силы mg относительно точки Oравен mga sin ϕ и направлен против оси вращения. Окончательно находимJo ϕ̈ = −mga sin ϕ.(3)Это уравнение описывает колебания маятника.

Если во время движениямаксимальный угол отклонения маятника от вертикали (его амплитуда)не превышает 5–7◦ (около 0.1 радиана), то можно воспользоваться разложением синуса в ряд Тейлораsin ϕ = ϕ −ϕ3+ ...6Относительная величина второго члена в правой части составляет ϕ2/6,что для углов порядка 0.1 радиана дает погрешность менее 0.2%.

Приуказанных амплитудах можно ограничиться первым членом в правой части и записать(4)Jo ϕ̈ = −mgaϕ.Это уравнение гармонических колебаний. Его решение имеет вид2πt+B ,(5)ϕ(t) = A cosTJoгде T = 2π— период колебаний, A и B — произвольные постоянmgaные, которые определяются из начальных условий. A называют амплитудой, а B — начальной фазой колебаний.Если же амплитуда отклонения больше, чем 5–7◦, то колебания описываются нелинейным уравнением (3).

Угол отклонения меняется в этомслучае по более сложному, чем (5), закону. Кроме того, период колебанийначинает зависеть от амплитуды.Подставляя найденное в (2) значение Jo , получим для периода колебаний окончательную формулуL2/12 + a2.(6)T = 2πga3TaРис. 2. Зависимость T (a).Именно эта зависимость исследуется в эксперименте. Для этого последовательно передвигают муфту по стержню, каждый раз измеряя периодколебаний получившегося маятника.Обсудим качественно, что дает найденная зависимость (6). При малых a (точнее, при a L) можно пренебречь величиной a2 по сравнениюс L2 /12.

Тогда мы получим, что T ∼ a−1/2 . При больших a наоборот, можно пренебречьслагаемым L2 /12 по сравнению с a2 . Тогда мыполучим T = 2π a/g, что соответствует математическому маятнику. Зависимость T (a) качественно изображена на рисунке 2. Конечно, мы неможем сделать a слишком большим, так как маятник имеет ограниченныеразмеры.При некотором значении a период колебаний имеет минимум. По известным правилам анализа это значение можно определить из уравненияT (a) = 0, причем дифференцировать можно не сам период T , а выражениепод корнем в формуле (6)откудаL2/12 + a2ga=1gL2+1= 0,−12a2Lamin = √ .12Порядок выполнения работы1. Знакомятся с установкой и описанием работы.4(7)2.

Устанавливают муфту на расстоянии 15 см от центра железнойтрубы (он помечен желтой краской).3. Устанавливают маятник так, чтобы вырезы муфты разместилисьсимметрично на призмах кронштейна.4. Отклоняют стержень от вертикали не более чем на 5–7◦ и отпускают. Измеряют время 20 полных колебаний маятника и заносят егов таблицу.Внимание! Период колебаний используемого маятника порядка 1.5 с, аразница между минимальным и максимальным периодами порядка 0.1 с.Поэтому измерения периода нужно производить очень тщательно, чтобыдобиться точности не менее 0.01 с.5. Повторяют пункт 4 еще два раза.6. Последовательно устанавливая муфту на расстояниях 20, 25, .

. . ,45 см от центра железной трубы, повторяют пункты 3–5.Результаты должны быть оформлены в виде таблицы (см. таблицу 1).Таблица 1a, смt, сtср , с∆tсл , сT, с∆Tсл , с1520...45Обработка результатов измерений1. Для каждого значения a вычисляют tср из трех измерений и заносятв таблицу.52. Для каждого значения a вычисляют случайную погрешность∆tсл = αn,pn2i=1 (∆ti )n(n − 1)(для n = 3 и p = 0.7 коэффициент αn,p = 1.39) и заносят в таблицу.3. Для каждого значения a вычисляют T = tср /20 и ∆Tсл = ∆tсл /20 изаносят в таблицу.4. Строят график зависимости T (a).Внимание! Выбирайте крупный масштаб по оси T и сдвигайте началокоординат, так чтобы график занимал весь лист.5.

Определяют по графику значение a, при котором период минимален, и сравнивают с теоретическим значением, вычисленным поформуле (7).6. По одному из измерений определяют gg=4π 2 (L2/12 + a2 )aT 2(8)и погрешность∆g2L2∆T∆L |L2 − 12a2 | ∆a= 2+ 2+22gL + 12a LL + 12a2 aTи сравнивают с табличным значением.6(9).