6557-1 (Решение инженерно-технических задач в среде Mathcad), страница 2

3. В пакет Mathcad интегрирован мощный математический аппарат, позволяющий численно и аналитически решать разнообразные задачи. Перечень групп встроенных функций Mathcad приведен ниже:

функции Бесселя (Bessel);

функции комплексных чисел (Complex Numbers);

функции решения дифференциальных уравнений и систем (задача Коши, краевая задача, уравнения в частных производных – Differential Equation Solving);

функции типа выражения (Expression Type);

функции работы с файлами (File Access);

функции преобразований Фурье (Fourier Transform);

гиперболические функции (Hyperbolic);

функции обработки образов (Image Processing);

функции интерполяции и экстраполяции (Interpolation and Prediction);

логарифмические и экспоненциальные функции (Log and Exponential);

функции теории чисел и комбинаторики (Numbers Theory/Combinatorics);

функции ступенек и условия (Piecewise Continuous);

функции плотности вероятности (Probably Density);

функции распределения вероятности (Probably Distribution);

функции случайных чисел (Random Numbers);

функции регрессии и сглаживания (Regression and Smoothing);

функции обработки сигналов (Signal Processing);

функции решения алгебраических уравнений и систем, а также решения оптимизационных задач (Solving);

функции сортировки (Sorting);

специальные функции (Special);

статистические функции (Statistics);

текстовые функции (String);

тригонометрические функции (Trigonometric);

функции округления и работы с частью числа (Truncation and Round-Off);

функции работы с векторами и матрицами (Vector and Matrix);

функции волнового преобразования (Wavelet Transform).

Для функции предусмотрено диалоговое окно «Ввод функции» («Insert Function»), показывающее группы функций (Function Category), имя функции (Function Name), ее синтаксис и краткую аннотацию.

В систему Mathcad, кроме того, интегрированы средства символьной математики, что позволяет решать поставленные задачи (этап задачи) не только численно, но и аналитически см. третью задачу.

Кроме математических функций в Mathcad-документе можно работать с математическими операторами, которые вводятся через нажатие соответствующих кнопок панелей инструментов.

Одна из причин популярности Mathcad заключается в том, что пользователь вправе вставлять в документы либо функцию, либо оператор в зависимости от того, к чему он привык, изучая математику в школе или в институте. Благодаря этому Mathcad-документ максимально похож на лист с математическими выкладками, написанными от руки или созданными в среде какого-либо текстового процессора (MS Word, Scientific Word, ChiWriter и др.).

4. Математические выражения в среде Mathcad записываются в их общепринятой нотации: числитель находится сверху, а знаменатель – внизу, в интеграле пределы интегрирования также расположены на своих привычных местах. Казалось бы, это все мелочи, никак не влияющие на вычислительный процесс. Но!.. Программа должна быть понятной не только для компьютера, но и для человека. Пользователь, анализируя Mathcad-документ на экране дисплея или на бумаге принтера, видит, что данная величина записана в числителе и ее рост приводит к возрастанию всего выражения. А это очень важно при анализе математических моделей, форма и содержание которых едины.

5. В среде Mathcad процесс создания программы идет параллельно с ее отладкой и оптимизацией. Пользователь, введя в Mathcad-документ новое выражение, может не только сразу подсчитать, чему оно равно при определенных значениях переменных и в выбранной системе размерностей, но и построить график или поверхность, беглый взгляд на которые может безошибочно показать, где кроется ошибка, если она была допущена при вводе формул или при создании самой математической модели. Отладочные фрагменты можно оставить в готовом документе для того, чтобы, например, еще раз убедить воображаемого или реального оппонента в правильности модели. Система Mathcad оборудована средствами анимации, что позволяет реализовать созданные модели не только в статике (числа, таблицы, графики), но и в динамике (анимационные клипы).

6. Пакет Mathcad дополнен справочником по основным математическим и физико-химическим формулам и константам, которые можно автоматически переносить в документ без опасения внести в них искажения, нередкие при ручной работе. К пакету Mathcad можно приобрести те или иные электронные учебники по различным дисциплинам: решение обыкновенных дифференциальных уравнений, статистика, термодинамика, теория управления, сопротивление материалов и т.д. Прежде чем решать возникшую проблему, пользователь может изучить электронный учебник и перенести из него в свой документ нужные фрагменты, отдельные формулы и константы.

7. Не выходя из среды Mathcad, возможно открывать новые документы на других серверах и пользоваться теми преимуществами информационных технологий, предоставляемых Internet. Ниже приведено диалоговое окно, открываемое из среды Mathcad, с помощью которого пользователи Mathcad могут обмениваться информацией и вести совместные проекты по таким разделам: математика и статистика, астрономия и навигация, электроэнергетика, физика, химия и химическая промышленность и т.д.

Пользователи пакета Mathcad (или пакета Mathcad Explorer свободно распространяемой в Internet укороченной версии Mathcad) могут послать на сервер свое сообщение (кнопка Post…) или вступить в дискуссию (Post Reply…) по интересующему его вопросу.

Задача 2. Расчет параметров цикла Ренкина. Ниже представлен расчет в среде Mathcad термического КПД простейшего цикла Ренкина^1[1]:

Расчет предваряется заданием (п. 1) пользовательских размерностей физических величин (МПа, бар, мм рт ст, м, кг, кДж и ат), которые связываются со встроенными в Mathcad – Pa, torr, m, kg, J, kgf и cm (см. табл. 5.17).

Расчет КПД цикла ведется двумя способами:

в режиме суперкалькулятора (п.п. 2 и 3 см. выше);

в режиме программного формирования функции пользователя, возвращающей кпд цикла (п. 4 см. ниже).

Режим суперкалькулятора удобен при отладке расчета (при поиске в нем ошибок) и при подготовке его протокола к проверке (например, к оппонированию рецензентом). Значение введенной переменной или переменной, рассчитанной по заданной пользователем формуле, там же выводится на экран дисплея и/или бумагу принтера с выбранной пользователем размерностью и точностью.

Функции, возвращающие термодинамические параметры воды и водяного пара, вводятся в расчет ссылкой (Reference – см. начало п. 3) на соответствующий Mathcad-документ (см. выше задачу 1). После ссылки на документ, где задаются функции пользователя по свойствам воды и водяного пара) в рабочем документе становятся доступны (видимы) функции, возвращающие нужные термодинамические свойства. Далее расчет ведется по рутинным формулам, задающим основные параметры цикла: степень сухости пара, выходящего из турбины (x₂), удельную работу турбины (l_T), удельную работу насоса (l_н), теплоту, подводимую в цикле (q_k), и, наконец, сам термический КПД цикла (_т).

В п.4 (см. ниже) программно формируется функция пользователя _т(p₁ ,p₂,T₁), возвращающая значение КПД цикла Ренкина в зависимости от значений трех аргументов: исходное (p₁) и конечное (p₂) давления в турбине и температура острого пара (T₁). В функцию _т встроено пользовательское сообщение об ошибке (оператор error): при расчете подразумевается, что в конденсатор поступает влажный пар (допущение расчета):

При формировании функции _т все промежуточные значения оператором ■ ■ заносятся в локальные переменные, область видимости которых ограничена самой программой-функцией. Вертикальные линии отмечают начала и концы соответствующих операторных блоков.

Функция пользователя _т(p ₁, p ₂, T ₁) позволяет средствами Mathcad построить табличные (п. 4.3) и графические (п. 4.4) зависимости, связывающие КПД цикла с его параметрами:

Задача 3. Оптимизация ступенчатого испарения в барабанном котле. Ниже представлен протокол решения средствами символьной математики Mathcad задачи об оптимальном парораспределении в барабане котла со ступенчатым испарением. Рассматривается трехступенчатое испарение: необходимо определить доли пара, генерируемые в первом (переменная x) и втором (y) отсеках, при которых концентрация примеси в паре, выходящем из котла, была бы минимальна.

Исходные данные расчета (см. п. 1): величина продувки из котла (переменная Пр), суммарные коэффициенты выноса примеси по отсекам (отношение концентрации примеси в паре к концентрации примеси в котловой воде – K _p) и концентрация примеси в питательной воде (C _в – формальный параметр, не влияющий на результат, но участвующий в промежуточных выкладках).

Ключевое место расчета – аналитическое формирование функции C_п(x, y), возвращающей концентрацию пара в зависимости от парораспределения в отсеках:

Формируется функция C_п(x, y) с помощью оператора символьных преобразований: ■ ■ , где первый операнд – это преобразуемое выражение, а второй – ключевое слово (или вертикальная цепочка ключевых слов), задающее направление преобразования (решение уравнения или системы как в задаче 3, упрощение выражения, раскрытие скобок, факторизация и т.д.). Данные операторы вводятся через нажатие соответствующих кнопок панели символьных преобразований.

В задаче 3 в п. 2 аналитически решаются относительно отмеченной переменной (параметр ключевого слова solve) составленные пользователем уравнения материального баланса примеси по отсекам: поступающая в отсек примесь (произведение концентрации на расход воды) частично уносится с паром, остальная часть продувается в соседний отсек. Возможное отложение примеси на внутренних поверхностях котла, равно как и вымывание примеси с поверхностей котла, в расчете не учитывается. Решения упрощаются (simplify) без вывода промежуточного результата и вручную (с некоторой модификацией) переносятся пользователем в оператор задания функции С_в1(x) := ■. Так формируются три функции с именами С_вi, где i – номер отсека. После этого по уравнению материального баланса составляется целевая функция C_п(x, y).

Поиск минимума функции C_п(x, y) предваряется ее графическим анализом (п. 3):

График линий уровня показывает, что при x 0.9 и y 0.1 находится минимум, который уточняется (п. 4.1) через аналитическое решение системы двух алгебраических уравнений, составленных из частных производных функции C_п(x, y) и приравненных к нулю. Система Mathcad выдала восемь решений – координаты точек, где обе частные производные функции C_п(x, y) равны нулю (это могут быть минимумы, максимумы, седла). Один из корней системы (x = 0.891, y= 0.0912) – решение оптимизационной задачи.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.nir.ru/

1^[1] В Mathcad-документ в качестве комментариев могут вноситься не только тексты, комментирующие расчет, но и рисунки. В частности, расчет КПД проиллюстрирован схемой цикла и его T-s диаграммой.