21584-1 (Трикутник Рьоло (треугольник Рёло)), страница 2

LA2 = ( ) / 2 (10)

Висота сегмента LM є частиною катета прямокутного трикутника A1NM:

LM = NM – NL,

для якого

NM = A1N·cos45º, тобто NM = (r + R) / 2 (11)

і

NL = NO2 + O2L

Враховуючи, що NO2 = r, а з трикутника O2B2L O2L = R / 2, одержимо:

NL = r + R/2 (12)

Таким чином, з урахуванням формул (11), (12)

LM = r[( )/2 – 1] + R( - 1)/2 (13)

Підставляючи вирази (10) і (11) у формулу (9), визначимо необхідний радіус кривини:

ρ=[3R2+(R2+2Rr+2r2)(3-2 ) + 2Rr(1- )] / {4[R( –1) + r( –2)]} (14)

Знаменник формули (14) буде позитивною величиною при виконанні нерівності:

R > [r(2 - )] / ( – 1)

Окреслення правильного чотирикутника складеним обертанням сочевицеподібного контуру

Для визначення оптимальних співвідношень параметрів, що забезпечують точну геометричну форму чотирикутника, окресленого обертанням сочевицеподібного контуру, звернемося до рис.5.

Рис.5. Схема окреслення чотирикутника обертанням сочевицеподібного контура

З прямокутного трикутника NCB з урахуванням позначення NO2 = r співвідношення між висотою O2C і шириною a сочевиці дорівнює:

(r + a/2)cos π/n = r + O2C (15)

Для сочевиці АВ справедливі рівності:

a/2ρ = sin φ,

O2C = ρ (1 – cos φ),

звідки

a2 / 4ρ2 = 1 – cos2 φ,

підставляючи значення О2С в формулу (15), одержимо:

ρ={a·cos(π/n)–2r[1–cos(π/n)]}/4 + a2/ {4a·cos(π/n) – 8r[1 -cos(π/n)]},

де a – ширина сочевиці, при цьому a ≤ 2ρ cos (π/n).

Практичне застосування трикутника Рьоло

Властивості трикутника Рьоло, які виявив Франц Рьоло, а потім і інші учені, широко використовуються у всіляких областях техніки. На відміну від математиків інженери і техніки надали трикутнику Рьоло власну назву – “рівновісний контур” чи скорочено - РК.

Окреслення чотирикутника при обертанні РК було використано в конструкціях натирача підлоги (для ефективного миття і натирання підлог у кутах кімнат), ущільнювача бетонних сумішей при виготовленні квадратних бетонних стійок. Виготовлено інструменти для свердління і фрезерування квадратних отворів. РК використовують у кулачках грейферних механізмів кіноапаратів, насосах, редукторах, роторно-поршневих двигунах. Наприклад, у вигляді РК виконаний ротор двигуна Ванкеля [4, 6].

Кулачок у вигляді РК-контура, якщо його закріпити з ексцентриситетом, при обертанні може створювати вібрації. Враховуючи незалежність діаметра від кута повороту в ряді кулачків, що обертаються, можна забезпечити і їхнє щільне прилягання, і сталий зазор між ними. Значна робоча поверхня кулачків, що обертаються, дозволяє ефективно виконувати захват і розмел різних матеріалів [6].

Найбільш повно розглянуту нами вище кінематичну властивість РК застосували в технологіях [5] і пристроях (авт. свід. 1375383, 1426676, 1516191) для виготовлення розтрубів на кінцях циліндричних труб. В результаті були удосконалені токарські верстати і пристосування до них, що забезпечили якісну роздачу квадратних і шестигранних розтрубів, необхідних для з'єднання труб різної конфігурації в розтині. Процеси роздачі використовували інструменти з РК-контуром, різні співвідношення кутових швидкостей інструмента, труб і приводів інструмента для роздачі.

У промисловості і сільському господарстві успішно працюють пристрої і деталі, що використовують деякі інші властивості рівновісного контуру, не зв'язані з його обертанням. Ці властивості встановлені поки тільки експериментально і вимагають теоретичного обґрунтування.

Для передачі крутильного моменту з вала на шестірню використовують головним чином шліцові чи шпонкові з”єднання. Коли форму розтину валів і отворів насаджених на них шестерень виготовили у вигляді РК, то встановили, що:

1) для передачі того ж самого крутильного моменту площа їхнього поперечного розтину може бути зменшена на 30%;

2) знос таких з'єднань у 3 рази менше;

3) крутильна жорсткість – у 3 рази вище;

4) вал і шестірня автоматично центруються, що зменшує вібрацію і шум.

З'єднання вал-шестірня з РК у розтині широко застосовують на автомобільних, тракторних, комбайнових і верстатобудівних заводах.

Здатність деталей із РК у розтині до самоцентрування при контакті з іншими деталями, ефективній передачі зусиль і меншого зносу використана в конструкції інструмента для гвинтового прошивання труб (авт. свід. 1279690), що використовувався в трубопрокатному цеху ММК ім. Ілліча.

Для виготовлення труби треба було спочатку виготовити порожню заготівку з круглого зливку металу. Отвір у зливку роблять за допомогою інструмента, що має форму подовженої бочки з передньою частиною особливої форми – носком. Носок виготовляли у вигляді закругленого попереду конуса, на поверхні якого робили подовжні пази (з розтином у вигляді шліца). Проте носок сильно зношувався, а одержувана порожня заготівка риса нерівномірну товщину стінок.

І лише коли носок виготовили з розтином у вигляді рівновісного контуру, стійкість інструмента зросла, інструмент при прошиванні не зміщався убік від центра зливка, а порожні заготівки стали мати більш рівномірну товщину стінок.

Якщо корпус плавучої бурової установки виконати в плані у вигляді РК-контура, він завжди само орієнтується одним з своїх кутів назустріч течії [6].

При вирубці отворів у металевих аркушах використовують інструмент: матриці і вирубні пуансони зі спеціальними формами крайок, що ріжуть, наприклад, навкруги, еліпсом, чи прямокутником трикутником. Якщо в пуансоні крайку, що ріже, виконати рівновісним контуром, то знижується зусилля деформування, зменшуються відходи металу і створюється більш якісна поверхня [14, авт.свід. 376186].

Трикутник Рьоло – фігура сталої кривини, тобто нормаль між двома паралельними і дотичними прямими до РК-контура є сталою величиною. Але трикутник Рьоло при однакових з кругом того ж діаметру площах має більшу ширину у довільно вибраному напрямі, що дозволяє використовувати РК-контур в якості поперечного розтину паль для слабких ґрунтів [6].

Варто також згадати і про поки що фантастичні можливості використання РК для виготовлення …коліс. Удосконалювання форми цього великого винаходу людства відбувається і в теперішній час [8]. Інженери установили, що на твердих дорогах колеса автомобілів повинні бути круглими, при русі по пухкому снігу чи піску – квадратними, їхати по болоту найкраще на пелюсткових колесах. Але всі ці форми коліс можна замінити на колесо у формі трикутника Рьоло. Треба лише привод в автомобілях зробити таким, як у винаходах, що використовуються при ротаційній роздачі розтрубів на трубах. Тоді по твердому ґрунті автомобіль буде плавно їхати при співвідношенні кутових швидкостей β=-3α, а по інших ґрунтах, змінюючи співвідношення α і β, можна реалізовувати рух автомобіля, наприклад, як в ожеледь, з накинутими на шини ланцюгами чи так, як переміщується павук (β=0).

Такі універсальні колеса були б корисними місячному всюдиходові, болотоходам, тягачам, що працюють в умовах вічної мерзлоти і т.д.

Висновки

1. Вивчено трикутник Рьоло (рівновісний контур) і його складене обертання біля двох центрів. Теоретично розраховані кутові швидкості обертання α, β трикутника Рьоло коло центра описаного навколо нього кола (α) і іншого довільно обраного центра (β), що дозволяють трикутнику окреслювати фігури, близькі за формою до правильних багатокутників. Визначено погрішності розмірів багатокутників, що окреслюються.

2. На підставі виведеної залежності між швидкостями α, β, числом граней трикутника Рьоло і багатокутника, що окреслюється, показана можливість окреслення будь-яких правильних n-кутників шляхом обер-тання зі швидкостями α і β будь-якого m-кутника за умови n > m > 2.

3. Запропоновано з практичною метою замість трикутника Рьоло використовувати сочевицеподібний контур (m = 2). Інструменти та деталі, що риси б контур сочевиці, простіше було б виготовити, тому що вони б риси меншу вагу, дві замість трьох криволінійних поверхонь, що обробляються, і, як наслідок, були б дешевші.

4. Отримані формули, які дозволяють обчислити координати довільно обраної точки контуру трикутника Рьоло в процесі його складеного обертання навколо двох центрів з окресленням контурів будь-яких n-кутників (n > 3).

5. Теоретичним шляхом отримані формули, що визначають необхідні радіуси кривини сторін трикутника Рьоло (m=3) і соче-вицеподібного контура (m=2), які забезпечують прямолінійність сторін багатокутників, що окреслюються.

6. Надані приклади практичного використання трикутника Рьоло, заснованого на його властивості окреслювати правильні багатокутники при складеному обертанні, а також ефективно передавати моменти, що крутять, і самоцентруватися при контактах декількох деталей.

Список литературы

1. А. Г. Конфорович. Визначні математичні задачі. – Київ, Радянська школа, 1981. – 189с.

2. І. А. Кушнір. Трикутник у задачах. – Київ, Либідь, 1994.- 104с.

3. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Нові зустрічі з геометрією. – М., Наука, 1978. – 223с.

4. Техніка і наука, 1982, №7, с.14-15.

5. Суднобудівна промисловість, 1990, вип.13, с.46-50.

6. Правила гри без правил. / Скл. А. Б. Селюцький .- Петрозаводськ,

Карелія, 1989.-280с

7. Д. А. Вайнтрауб, Ю. М. Клепіков. Холодне штампування в дрібносерійному виробництві. Довідковий посібник. – М., Машино-будування, 1975.- 240с.

8. Техніка і наука, 1983, №10, с.19-21.

9. АНІЩЕНКО СЕРГІЙ ОЛЕКСАНДРОВИЧ. Трикутник Рьоло (Треугольник РЁЛО)