39380 (Управление инвестиционными рисками), страница 8
Описание файла
Документ из архива "Управление инвестиционными рисками", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "инвестиции" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "инвестиции" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "39380"
Текст 8 страницы из документа "39380"
Пусть бумага данного вида эмитирована в момент времени TI по цене N0 < N, где N – номинал ценной бумаги. Тогда разница N – N0 составляет дисконт по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM, когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.
Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу. Определим ее справедливую рыночную цену С(t). Это выражение и является трендом для случайного процесса цены бумаги.
Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год. Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n – го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале (k+1) – го года обращения бумаги, имеет вид:
(3.6)
где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента, определяемая по формуле:
(3.7)
Формула (3.6) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле, предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом обращения дисконтного инструмента.
Получим аналоги формул (3.6) и (3.7) для непрерывного времени, предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом. Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI, TM] на интервалы числом n и длительностью
(3.8)
Обозначим t = TI + k * и применим к расчету рыночной цены бумаги формулы (3.6) и (3.7). Это дает:
, (3.9)
(3.10)
Предельный переход в (3.9) и (3.10) при 0 дает:
(3.11)
(3.12)
Р ис. 3.1.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации
Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для непрерывного времени. Качественный вид функции (3.10) представлен на рис. 3.1.1.
Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:
(3.13)
Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО) шума как функцию вида:
(3.14)
Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 3.1.2.
С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум процесса имеет вид
(3.15)
где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).
Рис. 3.1.2. Ожидаемый вид функции СКО
Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением корректирующего делителя
. (3.16)
Тогда процесс *(t) является стационарным, и в его сечении находится случайная величина с матожиданием 0 и с СКО 0. И определение фактического значения параметра 0 этого процесса может производиться стандартными методами.
Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности долгового инструмента, в процентах годовых:
(3.17)
где Т - период владения долговым инструментом.
Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t + T) и является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с матожиданием С(t + T) и СКО (t + T) (эти функции вычисляются по формулам (3.11) и (3.14)).
Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет параметры:
(3.18)
(3.19)
Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.
Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 2 года c дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N0 = 700$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) = 820$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшегося года владения ( T [0, 1] ) как случайный процесс и определить параметры этого процесса.
Согласно (3.11), (3.12), внутренняя норма доходности нашей облигации составляет
r = ln(1000/700) = 35.67% годовых, (3.20)
а справедливая цена
С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2), t [0, 2]. (3.21)
Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (3.14), имеет вид
(3.22)
где 0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (3.16).
Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18), (3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, (1+1) = 0, (1+1) = 0, и R(1,1) = (1000-820)/(820*1) = 21.95% годовых – неслучайная величина.
Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой, задавшись параметром СКО шума 0 = 20$. Тогда
C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0, причем эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено соотношением объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки заимствования, с учетом периодичности платежей). Обозначим размер купона N, а число равномерных купонных выплат длительностью за период обращения обозначим за K, причем для общности установим, что платеж по последнему купону совпадает с моментом погашения бумаги.
Тогда временная последовательность купонных платежей может быть отображена вектором на оси времени с координатами
(3.27)
Формула для справедливой цены процентного долгового инструмента имеет вид:
(3.28)
где - (3.29)
номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый момент t,
(3.30)
, (3.31)
моменты i определяются соотношением (3.27), а внутренняя норма доходности долгового инструмента r отыскивается как корень трансцендентного уравнения вида
С(TI) = N0. (3.32)
Если купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному выше случаю дисконтной бумаги.
Анализ соотношений (3.30) и (3.31) показывает, что шум цены, тренд которой имеет вид (3.28), является нелинейно затухающей кусочной функцией на каждом интервале накопления купонного дохода, причем шум получает как бы две составляющих: глобальную – для всего периода обращения бумаги, и локальную – на соответствующем моменту t интервале накопления купонного дохода.
Исследуем характер шума цены процентной бумаги:
(3.33)
где C(t) – тренд цены - определяется по (3.28).
Руководствуясь соображениями, изложенными в предыдущем примере дисконтных бумаг, будем отыскивать СКО шума цены в виде:
(3.34)
где (3.35)
а i определяется по (3.29). Соотношение (3.35) является частной производной справедливой цены (3.28) по показателю внутренней нормы доходности бумаги с точностью до постоянного множителя.
Аналогично предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный делитель для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к стационарному будет иметь вид:
, (3.36)
где определяется по (3.35). При уменьшении величины купона до нуля соотношение (3.34) переходит в (3.14), что косвенно подтверждает правоту наших выкладок.
Н а рис. 3.1.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а на рис. 3.1.4 – примерный вид СКО такой бумаги.
Рис. 3.1.3. Функция справедливой цены процентной бумаги
Р ис. 3.1.4. Функция СКО процентной бумаги
Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (3.17) – (3.18) получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:
(3.37)
где m – число оплаченных купонов процентной бумаги за период T.
Вывод о том, что случайный процесс имеет в своем сечении нормальную величину, сохраняется без изменений. Параметры этой случайной величины:
(3.38)
(3.39)
Рассмотрим расчетный пример.
Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 3 года c дисконтом 10%, то есть по эмиссионной цене N0 = 900$. По бумаге объявлено три годовых купона по ставке 20% годовых, то есть размером N = 200$. Инвестор намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1 сразу после первого купонного платежа. В этот момент текущая цена бумаги на рынке составляет H(1) = 940$. Для проведения статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на протяжении оставшихся двух лет владения ( T [0, 2] ) как случайный процесс и определить параметры этого процесса.
Определим внутреннюю норму доходности нашей процентной бумаги, итеративно решив уравнение (3.32). Тогда, согласно (3.28), это уравнение приобретает вид:
(1000 + 200) * exp(-r) + 200*(exp(-r/3) + exp(-2r/3)) = 900, (3.40)
откуда методом итераций получаем r = 67.2% годовых.
Выражение для справедливой цены приобретает вид:
(3.41)
Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума цены, согласно (3.34) – (3.35), имеет вид
(3.42)
где
(3.43)
а 0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума цены вида (3.36).
Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18), (3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 2, C(3) = 1200$, (1+2) = 0, (1+2) = 0, и R(1,2) = (1200-940)/(940*2) = 13.83% годовых – неслучайная величина.
Оценим процесс количественно через Т = 1 год владения бумагой непосредственно перед получением дохода по второму купону, задавшись параметром СКО шума 0 = 20$. Тогда
C(2-0) = 1200*exp(-(3-2)*0.672/3) + 200 = 1159.2$, (3.44)
, (3.45)
(3.46)
(3.47)
Обладая квазистатистикой ценового поведения облигации, мы можем оценить СКО шума цены (3.14) и (3.34) как треугольную нечеткую функцию фактора времени. И все соответствующие вероятностные распределения приобретают вид нечетких функций, а случайные процессы приобретают постоянные нечеткие параметры.