Экзаменационная программа

СТАНДАРТ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Все факультеты (кроме РТФ (ЭР-11...18), ЭФФ (ТФ-9...12),

Эл-16)

4 семестр, 2², 2003-2004 уч. год

Составили Богомолова Е.П., Прохоренко В.И.

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

I. Комплексные числа и действия с ними. Различные формы записц,
извлечение корня из комплексного числа. ■

2.. Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерыв­ность. Основные элементарные функции и их свойства.

1. Производная функции комплексного переменного. Понятие ана­литической функции. Необходимые и достаточные условия существо­вания производной функции комплексного переменного (условия Коши-Римана).

2. Интеграл от функции комплексного переменного. Его свойства и вычисление. Формула Ньютона-Лейбница.

3. Теорема Коши об интеграле от аналитической функции.

4. Интегральная формула Коши. Формулы для производных (бвЪ док-ва). . и

5. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Круг схо­димости. Радиус сходимости. Ряд Тейлора.

6. Ряд Лорана и кольцо сходимости. Теорема о разложении анали­тической функции в ряд Лорана.

7. Изолированные особые точки аналитической функции и их клас­сификация.

10. Понятие вычета аналитической функции в особой точке. Фор­
мулы для вычисления вычетов.

II. Теорема Коши о вычетах и ее применение.

1. Функция-оригинал. Преобразование Лапласа. Линейные свой­ства преобразования. ' . -,Ь

2. Теорема подобия для преобразования Лапласа. Теорема смеще­ния (затухания) для преобразования Лапласа. Теорема запаздывания для преобразования Лапласа.

1. Теорема о дифференцировании изображения для преобразова­ния Лапласа. Теорема о дифференцировании оригинала для преобрат зования Лапласа.

2. Теорема об интегрировании оригинала для преобразования Лап­ласа. Теорема об интегрировании изображения для преобразования Лапласа.

3. Таблица изображений. Понятие свертки. Преобразование Лап­ласа от свертки. Формула Дюамеля. *

4. Нахождение оригинала по изображению. Решение дифференци­альных уравнений операционным методом.

5. Тригонометрическая система функций и ее ортогональность на отрезке. Тригонометрический ряд Фурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции (без док-ва). Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

1. Неполные ряды Фурье. Ряды Фурье по косинусам и по синусам.

2. Ряд Фурье в комплексной форме.

Студент должен уметь:

1. Выполнять арифметические действия с комплексными числами, извлекать корни.

2. Разлагать функцию в ряд Лорана, пользуясь основными разло­жениями.

3. Вычислять интегралы по незамкнутому и замкнутому контурам.

4. Решать задачу Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом.

5. Разлагать функцию в ряд Фурье и строить график суммы ряда
Фурье.