теорвер (задачи на экзамен) (Ещё задачи)

Список задач для подготовки к экзамену

по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

ИБМ, 3 семестр

Теория вероятностей.

1. Если события независимы, то, доказать, события - также независимы.

2. Какова вероятность того, что в написанном наугад трехзначном числе все цифры разные?

3. Из 10 цифр наугад, последовательно, без возвращения выбираются четыре цифры. Найти вероятность того, что соответствующие числа взяты в порядке возрастания.

4. Сколько различных слов максимальной длины можно составить из трех букв «а» и семи букв «в»?

5. В лотерее участвует 200 билетов, среди которых только 20 выигрышных. Какова вероятность получить 2 выигрыша, купив 5 билетов?

6. Колода из 36 карт разделена пополам. Найти вероятность того, что картинки также поделились поровну.

7. Из урны, содержащей 10 белых, 5 красных и 15 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара будут одного цвета?

8. Стержень единичной длины наудачу разломан на три части. Найти вероятность того, что длина каждой части окажется больше 1/5.

9. На паркет, составленный из правильных шестиугольников со стороной а, бросается монета радиуса r. Найти вероятность того, что монета не пересечет сетки паркета.

10. Слово «СТАТИСТИКА» разрезано на отдельные буквы, из которых в случайном порядке вновь составлено слово. Найти вероятность того, что в результате получилось слово «СТАТИСТИКА».

11. Слово «КОЛОКОЛ» разрезано на буквы, из которых последовательно выбираются три буквы. Каковы вероятности а) получить, б) составить слово «КОЛ»?

12. Восемь книг, среди которых три одинаковых, расставлены на полке случайным образом. Найти вероятность того, что одинаковые книги будут стоять рядом.

13. Бросают две игральные кости. Какова вероятность выпадения хотя бы одной шестерки, если сумма выпавших очков равна 9?

14. Из ящика, содержащего 2 белых и 3 черных шара, выбрали один шар и опустили в ящик, содержащий 3 белых и 1 черный шар. Найти вероятности того, что а) вынутый из второго ящика шар оказался белым, б) из первого ящика переложили во второй черный, если известно, что из второго ящика был извлечен белый шар.

15. В урне находится 4 белых и 3 черных шара. Два игрока поочередно достают шары. Выигрывает тот, кто первым извлечет белый шар. Выгодно ли начинать игру первым?

16. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность поражения цели а)при двух, б) при 5 выстрелах.

17. Имеется две урны: в первой 6 черных шаров и 4 белых, а во второй 4 черных и 6 белых. Из наугад выбранной урны извлекли шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что следующий, извлеченный из той же урны шар, окажется черным.

18. Симметричная игральная кость подбрасывается 12 раз. Найти вероятность того, что цифра «6» выпадет ровно 2 раза.

19. Имеется 10 монет, из которых одна фальшивая (с двух сторон герб). Случайно отобранная монета подброшена 5 раз и 5 раз выпал герб. Найти вероятность того, что эта монета фальшивая.

20. Найти наиболее вероятное число выпадения герба при 17 подбрасываниях симметричной монеты.

21. Что более вероятно, выиграть у равного противника 2 партии из 4 или 4 партии из 8 (ничьи не учитываются)?

22. Производится 1000 независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что во всей серии испытаний событие А произойдет а) ровно 2 раза, в) не более 2 раз, с) не менее 2 раз.

23. Симметричная игральная кость подбрасывается 900 раз. Найти вероятность того, что количество шестерок в этой серии испытаний будет заключено в пределах от 140 до 160.

24. В урне содержится 3 белых и 4 черных шара. Шары извлекаются без возвращения до первого белого шара. Случайная величина - число извлеченных шаров. Найти закон распределения и математическое ожидание .

25. Дискретная случайная величина X принимает значения 1, 2, 3 с вероятностями, причем P(X=2)=0.1. Найти распределение вероятности X, если ее математическое ожидание равно 3.

26. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности , где - некоторое число. Найти константу , а также математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

27. Случайные величины - независимы и одинаково распределены. Найти .

28. Найти , если случайные величины независимы и .

29. Найти константу , математическое ожидание и дисперсию , а также , если случайная величина имеет плотность вероятности .

30. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами . Найти .

31. В лотерее разыгрывается 5 выигрышей величиной в 5000 р. и один выигрыш величиной в 10000 р. Выпущено 100 билетов. Найти математическое ожидание выигрыша, если куплено 2 билета.

32. Каково распределение с.в. Y=tgθ, если с.в. θ равномерно распределена на [-π,π]?

33. Каково распределение с.в. Z=min{X,Y}, если с.в. X,Y независимы и показательно распределены параметрами λ1, λ2?

34. В двух коробках имеется по 2 спички. На каждом шаге наугад выбирается коробка, и из нее удаляется спичка. Найти вероятность того, что в момент опустошения одной из коробок в другой останется k=1,2 спичек.

35. Каково распределение с.в.Y=(X1+X2+…+Xn)/n, если все слагаемые с.в. независимы и имеют одинаковое распределение Коши?

36. Доказать, что с.в. Z=min{X,Y} распределена геометрически, если с.в. X,Y независимы и также распределены геометрически.

Математическая статистика.

1. Оценка параметров для основных параметрических семейств распределений по методу моментов.

2. Оценка параметров для основных параметрических семейств распределений по методу максимального правдоподобия.

3. Из отрезка случайным образом выбраны числа 0,3; 0,7; 0,9; 1,2; 1,6; 1,7; 2,0; 2,2; 2,4; 2,8. Найти оценку параметра , используя метод моментов.

4. В результате эксперимента получен вариационный ряд

Построить график эмпирической функции распределения. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию .

1. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения с дисперсией . Найти доверительный интервал для среднего с уровнем доверия .

2. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения. Найти доверительный интервал для среднего с уровнем доверия .

3. По выборке объема n=100 найдены . Построить доверительный интервал для среднего генеральной совокупности с уровнем доверия .

4. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения со средним значением . Найти доверительный интервал для дисперсии с уровнем доверия .

5. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения. Найти доверительный интервал для дисперсии с уровнем доверия .

6. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из экспоненциального распределения. Найти доверительный интервал для параметра с уровнем доверия .

7. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4,: 1,0 получена из нормального распределения с дисперсией . Проверить . Вероятность ошибки первого рода .

8. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения с дисперсией . Проверить . Вероятность ошибки первого рода .

9. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения. Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

10. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения. Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

11. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения со средним . Проверить . Вероятность ошибки первого рода .

12. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения. Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

13. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения со средним значением . Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

14. Выборка 0,3; 0,5; 1,8; 1,4, 1,0 получена из нормального распределения. Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

15. По выборке объема n=100 найдены . Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

16. По выборке объема n=100 найдены . Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

17. По двум выборкам объема n1=100 и n2=90 подсчитаны выборочные средние . Известно, что . Проверить гипотезу . Вероятность ошибки первого рода .

18. В выборке объема n=900 заданным признаком обладает m=100 элементов. Построить доверительный интервал для доли элементов генеральной совокупности обладающих данным признаком с уровнем доверия .

19. В выборке объема n=900 заданным признаком обладает m=100 элементов. Проверить гипотезу (р - доля элементов генеральной совокупности с заданным признаком) . Вероятность ошибки первого рода .

20. В выборке объема n=900 заданным признаком обладает m=100 элементов. Проверить гипотезу (р - доля элементов генеральной совокупности с заданным признаком) . Вероятность ошибки первого рода .

21. Найти квантили уровней 0.9, 0.1 по таблице распределения Пуассона.

22. Найти квантили уровней 0.8, 0.15 по таблице нормального распределения.

23. Найти квантили уровней 0.75, 0.25 по таблице распределения хи-квадрат.

24. Найти квантили уровней 0.75, 0.25 по таблице распределения Стьюдента.