ангем-теория (шпоры по экзамену)

№

1 вопрос

2 вопрос

Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательство критерия линейной зависимости 2х и 3х векторов.

Система линейных алгебраических уравнений. (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Совместность СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера-Капелли о совместности СЛАУ.

Определение базиса V1, V2, V3. Доказательство единственности разложения векторов в базисе V2. Линейные операции над векторами, заданными в одном и том же базисе.

Однородные СЛАУ. Доказательство критерия существования ненулевого решения однородной квадратной СЛАУ.

Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора. Свойства скалярного произведения. Вывод формулы вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе.

СЛАУ. Различные формы записи СЛАУ. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли.

Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

Однородные СЛАУ. Теорема о структуре решения однородной СЛАУ.

Правые, левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Свойства векторного произведения. Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе.

Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений. Доказательство существования ФСР. Нормальная ФСР.

Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Свойства смешанного произведения Вывод формулы смешанного произведения в ортонормированном базисе.

Понятие ранга матрицы. Доказательство критерия Кронекера-Капелли совместности СЛАУ.

Определение декартовой прямоугольной системы координат. Задачи о нахождении длины отрезка и делении отрезка в заданном отношении.

СЛАУ. Различные формы записи СЛАУ. Понятие совместности СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Доказать, что любое уравнение 1ой степени относительно декартовых прямоугольных векторах определяет на плоскости прямую. Понятие нормального вектора прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой «в отрезках».

Понятие совместности СЛАУ. Доказательство совместности СЛАУ.

Вывод параметрических уравнений и канонического уравнения прямой на плоскости. Понятие направляющего вектора прямой. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами, операция транспонирования матриц. Доказательство их свойств.

Различные виды уравнения прямой на плоскости: общее уравнение, каноническое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках». Геометрическое толкование входящих в систему параметров. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями. Вывод формулы для вычисления угла между двумя прямыми.

Умножение матриц. Доказательство свойств умножения матриц.

Нормальное уравнение прямой на плоскости, его получение из общего уравнения. Геометрическое толкование входящих в уравнение параметров. Отклонение точки от прямой, выведение формулы для вычисления расстояния от точки до прямой.

Понятие обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Обратно-матричное произведение 2х невырожденных матриц.

Доказать, что любое уравнение 1ой степени относительно декартовых прямоугольных координат в пространстве определяет плоскость. Понятие нормального вектора плоскости. Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 заданные точки и уравнения плоскости «в отрезках».

Понятие присоединенной матрицы. Критерий существования обратной матрицы и ее связь с присоединенной матрицей.

Общее уравнение плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Вывод формулы для вычисления угла между плоскостями. Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

Решение матричных уравнений вида AX=B с невырожденной матрицей A. Вывод формулы Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.

Доказать, что любое уравнение 1ой степени относительно декартовых прямоугольных координат в пространстве определяет плоскость. Понятие нормального вектора плоскости. Вывод формулы для вычисления расстояния от точки до плоскости.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов, строк и столбцов матрицы. Доказательство критерия линейной зависимости.

Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

Понятие минора матрицы. Базисный минор. Доказательство теоремы о базисном миноре. (Однородные СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной СЛАУ.)

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Вывод формулы вычисления угла между двумя пространственными прямыми. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Скрещивающиеся прямые.

Доказательство теоремы о базисном миноре. Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы и ее базисного минора.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Вывод формулы для вычисления угла между пространственной прямой и плоскостью. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.

Ранг и базисный минор матрицы. Доказательство теоремы о базисном миноре матрицы.

Вывод формулы для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.

Однородные СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной СЛАУ (Понятие минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре.)

Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.

Понятие обратной матрицы, доказательство ее единственности, существования и равенства (A-1)T=(AT)-1.

Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.

Понятие совместности СЛАУ. Доказательство критерия совместности СЛАУ.

Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.

Однородные СЛАУ и их фундаментальные системы решений. Доказательство критерия существования ненулевых решений однородной квадратной СЛАУ.

Исследование уравнения Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 в случае A#0, C#0.

Базисный минор матрицы. Формулировка теоремы о базисном миноре. Доказательство следствия для квадратных матриц (критерия невырожденности).

Исследование уравнения Ax2+2Dx+2Ey+F, A#0.

Связь обратной матрицы с присоединенной матрицей. Вывод формул Крамера для решения СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей.

Исследование уравнения Cy2+2Dx+2Ey+F=0 в случае C#0.

Однородные и неоднородные СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной СЛАУ.

Понятие цилиндрической поверхности и вывод ее уравнения. Каноническое уравнение цилиндрических поверхностей 2го порядка.

Понятие ФСР, однородной СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной СЛАУ.

Понятие поверхности вращения и вывод ее уравнения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.

Однородные и неоднородные СЛАУ, свойства их решений. Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Каноническое уравнение эллипсоида. Исследование формы поверхности методом сечений.

Понятие ранга матрицы, базисного минора. Теорема о базисном миноре.

Каноническое уравнение конуса. Исследование формы поверхности методом сечений.

СЛАУ. Различные формы записи СЛАУ. Однородные СЛАУ. Доказательство теоремы о структуре общего решения однородной СЛАУ.

Каноническое уравнение гиперболоида. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.

Понятие ранга матрицы. Формулировка теоремы о базисном миноре. Доказательство условия независимости линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоида методом сечений.

Понятие ранга матрицы. Формулировка теоремы о базисном миноре. Доказательство теорем о связи ранга матрицы с максимальным количеством ее линейно независимых строк (столбцов)