13050 (Характеристика опционов, стратегии использования, оценка стоимости), страница 4

Рассмотрим сначала рис. 1 и 2. Ломаные линии выигрышей и потерь представляют собой графики уравнения внутренней стоимости, минус премии по опционам.

Таким образом, можно сделать вывод, что ломаная линия выигрышей «пут» - это просто ломаная линия внутренней стоимости, равной Р, но смещенная вниз на величину премии опциона «колл». Аналогично, ломаная линия выигрышей опциона «пут» — это просто ломаная линия внутренней стоимости опциона «пут» равной смещенной вниз на величину опциона пут.

Выводы и расчеты см. в приложении в виде файла Microsoft Excel.

Какова действительная (или настоящая) цена опциона сегодня, если он истекает в некоторый момент времени в будущем? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся биноминальным методом оценки стоимости опциона. Он рассматривается ниже.

1. Биноминальная модель оценки стоимости опционов

Для оценки стоимости опциона «колл» или «пут» можно использовать биноминальную модель оценки стоимости опциона (ВОРМ). Лучше всего представить ее на примере европейского опциона (European option), т.е. опциона, который может быть исполнен только в день его истечения. В этом случае мы предполагаем, что по базисной акции не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Модель также можно модифицировать для оценки стоимости американского опциона (American option), т.е. опциона, который можно исполнить в любое время в течение срока действия опциона. Модель также можно использовать для оценки стоимости опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды в течение срока опционного контракта.

Для опционов «колл»

Предположим, что цена акции компании Wopov сегодня (t = 0) равна $100, а через год (t= 1) эта акция будет стоить $125 или $80, т.е. цена акции за год или поднимется на 25%, или упадет на 20%. Кроме того, непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год равна 8%.

Предполагается, что инвесторы могут предоставлять кредит (покупая 8%-ные облигации) и занимать средства (осуществляя «короткие» продажи облигаций) под данный процент.

Рассмотрим опцион «колл» на акции компании Wopov с ценой исполнения $100 и датой истечения через год. Это означает, что на дату истечения стоимость опциона «колл» составит или $25 (если акция Wopov стоит $125), или $0 (если акция Wopov стоит $80). На рис. 2 (а) данная ситуация представлена с помощью «дерева цены». Поскольку оно имеет только две «ветви», которые показывают цены на дату истечения, модель называется биноминальной.

Рисунок 2

Оценка стоимости

Если надо узнать, чему равна внутренняя (действительная) стоимость опциона в момент времени 0, то для ответа на этот вопрос используется биноминальная модель оценки стоимости опциона.

Мы располагаем тремя возможностями делать инвестиций: вложить средства в акцию, опцион и облигацию без риска. Цены и результаты операции с акцией известны. Также известно, что $100 инвестируются в безрисковую облигацию, стоимость которой вырастет приблизительно до $108,33 с учетом непрерывно начисляемого процента равного 8% годовых10. Наконец, известны результаты опционной операции в конце периода. Требуется определить цену продажи опциона в настоящий момент.

Мы предположили, что возможны два положения вещей в будущем. Курс акции может пойти вверх или вниз. Для краткости назовем эти два состояния соответственно «верхнее положение» и «нижнее положение». Основные данные приводятся ниже:

Ценная бумага	Выплаты в «верхнем положении»	Выплаты в «нижнем положении»	Текущий курс
Акция	$125,00	$80,00		$100
Облигация	$108,33	$108,33		$100
Опцион «колл»	$25,00	$0,00		Надо найти

Моделирование портфелей с одинаковыми характеристиками

Несмотря на то что опцион «колл» на акции компании Wopov может показаться несколько необычным инструментом, его характеристики можно воспроизвести комбинацией акций компании Wopov и безрисковых облигаций. Более того, стоимость воспроизведенного портфеля составляет действительную стоимость опциона. Потому что в противном случае возникнет возможность совершить арбитражную операцию — инвестор может купить наиболее дешевый из двух альтернативных портфелей и продать более дорогой из них и таким образом получить гарантированный доход.

Сначала необходимо определить состав портфеля, который точно повторит выплаты по опциону «колл» на акции компании Wopov. Рассмотрим портфель из N_s акций компании Wopov и N_b безрисковых облигаций. В «верхнем положении» такой портфель принесет выплаты в размере $125 N_s + $108, ЗЗ N_b , в «нижнем положении» выплаты со-составят $80 N_s +$108,33 N_b В «верхнем положении» опцион стоит $25. Таким образом, N_s и N_b должны иметь такую стоимость, чтобы:

$125 N_s + $108,ЗЗ N_b = $25 (1)

C другой стороны, в «нижнем положении» опцион ничего не стоит. Таким образом, N_s и N_b должны иметь такую стоимость, чтобы:

$80 N_s + $108,33 N_b = $0 (2)

В приведенных линейных уравнениях имеются два неизвестных и они могут быть легко определены. Вычитая второе уравнение из первого, получим:

($125 -$80) N_s =$25 (3)

откуда N_s равно 0,5556. Подставив данное значение в уравнение (1) или уравнение (2), получим значение N_b = -0,4103.

Что это означает на финансовом языке? Это значит, что инвестор может воспроизвести платежи по опциону «колл», осуществив «короткую» продажу безрисковой облигации за $41,03 (заметьте, что инвестирование 0,4103 в 100-долларовую облигацию эквивалентно «короткой» продаже облигации за $41,03 или получение кредита в размере $41,03 по ставке без риска) и купив 0,5556 акций компании Wopov. Что это действительно так, можно увидеть из нижеследующего:

Состав портфеля	Выплаты в «верхнем положении»	Выплаты в «нижнем положении»
Инвестиции в акции	0,5556 х $125,00=69,45	$0,5556х$80,00=44,45
Выплата займа	-$41,03х1,0833=-44,45	-$41,03х1,0833=-44,45
Чистая выплата	$25,00	$0,00

Так как воспроизведенный портфель обеспечивает те же выплаты, что и опцион «колл», то для определения действительной стоимости опциона необходимо определить его стоимость. Чтобы сформировать портфель, надо затратить $55,56 на покупку 0,5556 акций компании Wopov (по цене $100 за акцию). Кроме того, $41,03 получается от «короткой» продажи облигации. Таким образом, требуется только $14,53 ($55,56 -$41,03) собственных средств инвестора. Следовательно, это и есть действительная стоимость опциона «колл»

В общем виде, стоимость опциона «колл» будет равна:

V₀=N_sxP_s+N_bxP_b

где V₀ - стоимость опциона; P_s — цена акции; P_b — цена безрисковой облигации; N_s. и N_b - число акций и безрисковых облигаций, позволяющих воспроизвести выплаты по опциону.

Переоценка стоимости опциона

Чтобы показать, что при цене опциона в $14,53 будет наблюдаться равновесное положение, посмотрим, что может сделать опытный инвестор, если опцион «колл» продается по более высокой или низкой цене. Предположим, опцион «колл» продается за $20, т.е. он переоценен. В этом случае инвестор решит выписать опцион, купив 0,5556 акций и заняв $41,03. Получаемая сумма в этом случае (т.е. для t= 0) составит $5,47 [$20 — (0,5556 х $100) + $41,03], что показывает чистый приток средств для инвестора, В конце года (т.е. для t = Т) инвестор получит следующие средства:

Состав портфеля	Выплата в «верхнем положении»	Выплата в «нижнем положении»
Продажа опциона	-$25,00	0,00
Инвестиции в акции	0,5556х$125 = $69,45	0,5556 х $80 = $44,45
Возврат займа	-$41,03 х 1,0833 = -$44,45	-$41,03х 1,0833 = -$44,45
Чистые выплаты	$0,00	$0,00

Так как независимо от окончательной цены акции общая стоимость равна нулю, то при осуществлении данной стратегии риск для инвестора отсутствует. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные средства до тех пор, пока опцион «колл» стоит $20, так как инвестиционная стратегия не требует в последующем от инвестора больше никаких затрат. Подобная ситуация не может быть равновесной, так как в этом случае любое лицо может получить свободные деньги аналогичным образом

Недооценка стоимости опциона

Представим теперь, что опцион «колл» продается за $10 вместо $20, т.е. он недооценен. В этом случае инвестор решит купить один опцион «колл», получив средства от «корот­кой» продажи 0,5556 акций, и инвестировать $41,03 под безрисковую ставку. Чистая де­нежная сумма после этого (т.е. для /= 0) составит $4,53 [-$10 + (0,5556 х $100) - $41,03]. Это означает, что инвестор получит чистый приток денежных средств. В конце года (т.е. для t = 7) инвестор получит следующие средства:

Состав портфеля	Выплата в «верхнем положении»	Выплата в «нижнем положении»
Инвестиции в опцион «колл»	25,00	0,00
Возврат средств по «короткой» продаже акций	-0,5556х $125= -$69,45	-0,5556 х $80 = -$44,45
Безрисковое инвестирование	$41,03х 1,0833 = $44,45	$41,03 х 1,0833 = $44,45
Чистые выплаты	$0,00	$0,00

И снова независимо от итогового курса акции общая стоимость портфеля paвна нулю. Это означает, что при осуществлении данной стратегии для инвестора отсутствует риск потерь. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные деньги до тех пор, пока опцион «колл» стоит $10. Такая ситуация не может быть равновесной, поскольку любое лицо может получить свободные средства аналогичным образом.

Коэффициент хеджирования

Допустим, что мы занимаем $41,03 и покупаем 0,5556 акций компании Wopov и таким образом, воспроизводим опцион «колл» на эти акции. Теперь рассмотрим то влияние которое окажет на стоимость воспроизведенного портфеля изменение курса акций завтра (а не через год). Так как в портфель входит 0,5556 акций, то стоимость портфеля изменится на $0,5556 при изменении курса акций Wopov на $1. Но так как опцион «колл» и портфель должны продаваться по одной цене, то цена опциона «колл» также должна измениться на $0,5556 при изменении курса акции на $1. Данная взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования (hedge ratio) опциона. Он равен числу N_s которое было определено в уравнении выше.

Для опциона «колл» на акции компании Wopov коэффициент хеджирования составлял 0,5556, что равно ($25 - $0)/($125 - $80). Обратите внимание на то, что числитель равен разности между выплатами по опциону в «верхнем» и «нижнем» положениях, а знаменатель - разности между выплатами по акции в этих двух положениях. В общем виде в биноминальной модели:

h=(P_ou-P_od)/(P_so-P_sd)

где P- это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о - опцион, s -акция) и положение (и - «верхнее», d - «нижнее»).

Чтобы воспроизвести опцион «колл» в условиях биноминальной модели, необходимо купить h акций. Одновременно необходимо получить под ставку без риска средства путем «короткой» продажи облигации. Эта сумма равна:

B=PV(hP_sd- P_od)

где PV- дисконтированная стоимость суммы, указанной в скобках (стоимости облигации в конце периода). В итоге стоимость опциона «колл» равна: