27494-1 (Тригонометрия)
Описание файла
Документ из архива "Тригонометрия", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "27494-1"
Текст из документа "27494-1"
Действительные числа:
Теорема: R - несчётное множество.
Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)
X1=0,n11n12n13…n1k… m1{0,1,…,9}\{9,n11}
X2=0,n21n22n23…n2k… m2{0,1,…,9}\{9,n22}
……………………… ………………………
Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mk{0,1,…,9}\{9,nkk}
=0,m1m2…mk… x1 x2 x3 …… xk
(0;1) Противоречие.
0<<1 R - несчётное множество.
Теорема: Q - Счётное множество.
Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-{0}Q+
Док-во:
Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных
множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные
. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным Q - сч. мн.
Предел числовой последовательности:
Пусть aR, >0 {x: x-a<}
Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число aR, что кокого
бы нибыло >0 почти все члены этой последовательности - окрестность точки a.
Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.
n0=n0()N: n>n0 xn-a< a=limxn , при n
Свойства:
1. Единственность (Если предел есть, то только один)
Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n, a>b, a-b=>0
n0=n0(/3):xn-a3 и xn-b3
=a-b=(a-xn)-(b-xn)
=(a-xn)-(b-xn) (a-xn)+(b-xn)2/3
2/3 Противоречие.
2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)
Дано: limxn=a, при n - конечный предел
Док-ть:M>0:xn Док-во: limxn=a, при n:>0 n0=n0():a- Пусть =1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1 Тогда xn<(xn-a)+a P=max{a1,a2,…,ano} M=max{P,a+1}xn 3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая её подпоследовательность имеет тоже предел а) Свойства предельного перехода связанные с неравенствами: Теорема 1. Пусть limxn=x, при n - конечный (1 последовательность) limyn=y, при n - конечный (2 последовательность) Если x Док-во: =y-x>0 n=n(/3): xn-xn n=n(/3): yn-yn n0=max{n,n}, n>n0 x-/3 y-/3 Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n сохраняет знак своего предела) x=limxn, x0 1) x>0 Предположим x>0 x/2>0x>x/2 limxn>x/2, при n Из Т.1. следует, что n0:n>n0 xn>x/2>0 Теорема 2. Предположим, что limxn=x и limyn=y, при n Если для почти всех n:xnyn, то и xy Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. xn>yn для почти всех n Противоречие. Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении. Пусь limxn=limyn=a, при n, и предположим, что xnznyn n, тогда 1) Сущ. limzn, при n 2) limzn=a, при n Док-во: n=n():a-xna+, n>n n=n():a-yna+, n>n n0=max{n,n} n>n0 a-xnznyna+ a-zna+ limzn=a Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности: def {xn}-б.м. :=limxn=0, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0 xn< def {xn}-б.б. :=limxn=, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0 xn> Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м. {xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м. Док-во: M>0:ynM n - значит ограничена. >0 n0=n0(/M):n>n0 xn n>n0 xnyn=xnyn/M*M= {xnyn}-б.м. Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б. {xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству) {xnyn}-б.б. Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м. {xn} и {yn}-б.м. {xn+yn}-б.м. Док-во: n=n(/2):n>n xn2 n=n(/2):n>n yn2 n0=max{n,n} n>n0 xn+ynxn+yn2+/2= Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей нужно применить метод мат. индукции. Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака Док-во: Очивиднл. Неопределённые интегралы. def / F(x) называется первообразной для f(x) на [a;b] если F (x)=f(x) У непрерывной функции первообразная всегда есть. Теорема: Различные первообразные одной и той же функции отличаются на одно и тоже постоянное слагаемое. Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x) F(x)= F1(x)- F2(x) F (x)= F1(x)- F1(x)=f(x)-f(x)=0 F(x)=const Def / Совокупность всех первообразных одной и той же функции называется её неопределённым интегралом. Св-ва линейности: Замена переменных в неопределённом интеграле или методом подстановки. Теорема: Пусть функция x= x(t): (;)(a;b), xC1(;), fC(a;b) 1) x=x(t) 2) Если x(t) сохраняет знак, тогда t=t(x) Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F (x(t))x(t)=f(x(t))x(t) 2) x(t) – строго монотонная обратная t=t(x) t=t(x) Интегрирование по частям. Рекуррентная формула. y=+x2 y=2x xy=2x2=2(y-) U=1/yn dx=dV dU=(-ny/yn+1)dx V=x In=x/yn+2nIn-2nIn+1 1) In+1=(1/2n)(x/yn+(2n-1)In), n0, 0 2) In=(1/(2n-1))(2nIn+1-x/yn), n1/2, 0 Поле комплексных чисел. (x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi – алгебраическая запись комплексного числа Чертёж :