183765 (Модели поведения производителей), страница 3

при нулевых предполагаемых вариациях. Тогда необходимое условие экстремума примет вид:

(3.3)

Оно задает функцию реакции i-го олигополиста. Совокупность функций реакции образует систему из п уравнений с п неизвестными, в результате решения которой можно найти равновесные уровни выпуска олигополистов по аналогии со случаем дуополии Курно.

Однако можно поступить проще. Ведь при введенных предпосылках фирмы работают в одинаковых условиях, а значит, в условиях равновесия предлагают на рынок равные объемы производства q. Условия равновесия определяются прежде всего необходимым условием экстремума, поэтому можно просто подставить переменную q в уравнение (3.3) вместо каждой переменной q_i (или q_j - в зависимости от формы записи объема выпуска олигополиста). Условие (3.3) примет вид:

(3.3^,)

откуда легко определить равновесный уровень выпуска олигополиста Курно:

(3.4)

При этом олигополисты Курно обеспечивают рыночный спрос в объеме

(3.5)

при равновесной цене

(3.6)

что позволяет каждому из них получить максимальную прибыль в размере

(3.7)

Анализ параметров рыночного равновесия в модели олигополии Курно показывает, что решение задачи для п фирм в отрасли обобщает отдельные случаи рыночного равновесия. Так, при п = 1 одна фирма контролирует рынок, получая монопольную прибыль при монопольной цене .

При п = 2 параметры равновесия соответствуют случаю дуополии Курно [см. (14), (17) - (19)]. Очевидно, что с увеличением числа фирм на рынке отраслевой спрос удовлетворяется все в большем объеме при более низкой цене. При этом снижается уровень производства каждого отдельного олигополиста. Вместе с понижением цены это приводит к уменьшению объема получаемой прибыли.

В результате при значительном увеличении числа фирм на рынке (при ) цена фактически опускается до уровня средних предельных издержек ( ), а уровень выпуска отдельной фирмы становится очень маленьким по сравнению с размерами рынка. Рынок олигополии Курно по всем параметрам превращается в рынок совершенной конкуренции, где фирмы не могут обеспечить себе положительную прибыль ( ).

Если не вводить предпосылки (2), (3),относительно издержек производства, то решение модели Курно в общем виде может быть затруднено. Важно то, что алгоритм решения останется прежним. Будут изменяться характеристики рыночного равновесия, но основные свойства сохранятся. Объемы выпуска олигополистов Курно будут в большинстве случаев различны, но цена останется выше предельных и средних издержек, и фирмы смогут обеспечить себе положительную прибыль.

Однако следует сделать существенную оговорку. Алгоритм поиска рыночного равновесия в модели олигополии Курно включает поиск решения системы из п уравнений с п неизвестными, которая в большинстве случаев не будет линейной. Система уравнений далеко не всегда имеет решение. С другой стороны, она может иметь более одного решения.

Таким образом, возникает проблема существования и единственности равновесного состояния на рынке олигополии. Эта проблема в той или иной степени затрагивает все модели олигополии по мере их усложнения. Кроме того, с усложнением моделей возрастают трудности поиска равновесного решения.

3.2 Модель олигополии Бертрана

Обобщение модели Бертрана для случая п фирм в отрасли фактически не изменяет основные характеристики равновесия на рынке. Логика процесса принятия решений при предпосылках (1)-(3) остается прежней.

Таким образом, ценовая война будет продолжаться до тех пор, пока цена не снизится до уровня предельных и средних издержек. Олигополисты независимо друг от друга вынуждены будут установить одну и ту же цену ( ) обеспечивая рыночный спрос на уровне предложения на рынке совершенной конкуренции. Олигополисты Бертрана по-прежнему не смогут получить положительную прибыль и, следуя предпосылкам модели, в условиях равновесия разделяет рынок между собой. Доля предложения каждой фирмы на рынке составит п-ю часть рыночного спроса:

(3.8)

Очевидно, что при одинаковом количестве фирм на рынке олигополист Бертрана в условиях равновесия предлагает на рынок больше продукции, чем олигополист Курно (достаточно сравнить (3.4) и (3.8)), а рыночный спрос удовлетворяется в большем объеме при более низкой цене.

С увеличением числа фирм на рынке изменяется только один параметр рыночного равновесия: уменьшается доля предложения каждой отдельной фирмы. В результате при значительном увеличении числа фирм на рынке (при ) уровень выпуска отдельной фирмы становится слишком мал по сравнению с размерами рынка. В этом крайнем случае рынок олигополии Бертрана, как и рынок Курно, трансформируется в рынок совершенной конкуренции.

Пусть две фирмы на рынке предлагают однородную продукцию, зная функцию рыночного спроса (1), но имеют неравные условия по издержкам производства:

(3.9)

где с₁, с₂ - положительные константы.

Пусть для определенности c₁ меньше с₂. Таким образом, у обеих фирм предельные издержки по-прежнему равны средним, но у первой фирмы из уровень меньше (c₁ <с₂).

При данных предпосылках ценовая война неизбежна. Предположим, что ценовая война привела к понижению цены до уровня средних издержек второй фирмы (c₂). Равновесие на рынке при такой цене не может быть достигнуто, поскольку первая фирма ещё способна получить выгоду от снижения цены.

Допустим, что первая фирма назначит цену на уровне

(3.10)

где .

Верхняя граница изменения существует, поскольку фирме невыгодно устанавливать цену ниже уровня средних и предельных издержек. Если цена, назначенная первой фирмой, выше её средних издержек (с₁), но ниже средних издержек фирмы-конкурента (с₂), то первая фирма сможет привлечь покупателей боле низкой ценой и получить положительную прибыль.

Производственная деятельность второй фирмы окажется убыточной. Продолжение ценовой войны будет увеличивать убытки второй фирмы.

Обобщая модель для случая n фирм в отрасли, можно сделать следующие выводы. При заданных условиях стратегического взаимодействия в выигрышной ситуации окажутся те фирмы, чей уровень средних и предельных издержек будет ниже. Следовательно, число фирм на рынке может сократиться.

Равновесие на рынке олигополии Бертрана также не будет единственным и, в частности, может быть достигнуто, если одна или несколько фирм смогут наладить безубыточное производство при одном и том же уровне рыночной цены.

3.3 Модель олигополии Стэкльберга

При предпосылках (1) - (3) стратегическое взаимодействие по принципу «лидер-последователь» не выгодно для обеих фирм: характеристики равновесия во многом неудовлетворительны даже для лидера, и вряд ли кто-то из конкурентов захочет быть последователем. Обобщение модели дуополии Стэкльберга при таких предпосылках не поможет ответить на вопрос, почему из множества идентичных фирм только одна окажется лидером по объему выпуска.

Пусть фирмы, как и ранее, производят однородную продукцию, зная линейную функцию рыночного спроса (1). Пусть только одна фирма (условно -первая фирма) имеет преимущество в издержках над всеми конкурентами. Сохраним предпосылку, что у всех фирм на рынке предельные издержки постоянны и равны средним издержкам.

При таких предпосылках введем обозначения. Пусть c_L - предельные и средние издержки первой фирмы (лидера); c_f - предельные и средние издержки каждой фирмы-последователя, где c_L<c_f . Пусть на рынке олигополии взаимодействуют одна фирма-лидер и п фирм-последователей, т.е. рыночный спрос обеспечивают (п + 1) фирм:

(3.11)

Последователи вынуждены признать преимущество фирмы-лидера, ибо при значительном возрастании объема предложения рыночная цена может опуститься ниже уровня средних издержек фирмы-последователя, оставаясь при этом выше уровня средних издержек фирмы-лидера (c_L<p<c_f ). Значит, увеличив масштабы производства, фирма-лидер при определенных условиях может получать положительную прибыль, в то время как ее конкуренты будут иметь убытки.

Таким образом, каждый последователь осознает лидерство первой фирмы, рассматривает уровень ее выпуска как заданный и решает задачу на максимум прибыли при нулевых предполагаемых вариациях. Учитывая условие (3.11), функцию прибыли олигополиста (3.2) можно записать для фирмы-последователя в виде:

(3.12)

Необходимое условие экстремума (3.3) примет вид:

(3.13)

Обратим внимание на то, что в модели олигополии Стэкльберга последователь рассматривает уровень выпуска любого конкурента как постоянный, последователи ведут себя как олигополисты Курно.

Используем для фирм-последователей тот же алгоритм решения модели, который упростил решение задачи при анализе модели олигополии Курно. Все фирмы-последователи находятся в одинаковых условиях. Следовательно, при достижении равновесия будут предлагать на рынок равные объемы производства q_f. Условие (3.13) запишем в более удобном виде:

( 3.14)

откуда легко получить функцию реакции любой фирмы-последователя:

( 3.15)

Фирма-лидер информирована о поведении последователей. Она осознает, что каждый последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-лидера в соответствии со своей функцией реакции (3.15). Функция реакции определяет значение предполагаемой вариации:

Учитывая возможную реакцию последователей, первая фирма решает задачу на максимум прибыли:

(3.17)

Необходимое условие экстремума примет вид:

(3.18)

где в точке равновесия ,

делав необходимые преобразования, получим функцию реакции фирмы-лидера:

(3.18)

которая показывает, каким должен быть наилучший ответ на действия последователя.

Если на рынке олигополии Стэкльберга более одного последователя, то Предположим, что фирма-последователь уменьшит объем выпуска на единицу. Предполагаемая вариация указывает, что тогда фирма-лидер может поставлять на рынок объем товара, больший единицы. Тем самым увеличится доля рыночного спроса, удовлетворяемая с меньшими издержками производства.

Решая систему уравнений (3.15), (3.19), можно рассчитать равновесные уровни выпуска фирмы-л ид ера и фирмы-последователя:

(3.20)

(3.21)

В условиях равновесия олигополисты Стэкльберга удовлетворяют рыночный спрос в объеме

(3.22)

при рыночной цене

(3.23)

Посмотрим, что произойдет на рынке олигополии Стэкльберга при изменении двух параметров: числа фирм-последователей (п) и размера преимущества фирмы-лидера в издержках (c_f-c_L). Очевидно, сто рост обоих

параметров оказывает одинаковое влияние на объем предложения фирм на рынке см. (3.20), (3.21). Объем предложения лидера увеличивается, а объем предложения каждого последователя уменьшается.

Как следствие, должно произойти увеличение доли лидера на рынке. Однако, как показывает исследование, прослеживается достаточно сложная функциональная зависимость доли лидера от числа фирм-последователей и размера преимущества лидера в издержках. Только в конечном итоге большое число конкурентов увеличивает значение преимущества лидера, и его доля на рынке начинает расти.

Интересно, что с ростом числа последователей, когда коэффициент стремится к единице, равновесная цена постепенно снижается и приближается к среднему арифметическому средних издержек лидера и последователя . Такой уровень цены превышает средние издержки лидера, но ниже средних издержек последователя. Конкурентоспособность последователей падает, их число должно уменьшиться. Преимущество лидера в издержках подтверждает обоснованность его притязаний на лидерство.

Теперь рассмотрим частный случай модели, когда все фирмы имеют равные

условия по издержкам производства (c_L=c_f=c). Основные параметры рыночного равновесия можно получить из формул (3.20) - (3.23):

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

Очевидно, что объем предложения фирмы-лидера не зависит от числа последователей. Объем предложения фирмы-последователя в (n + 1) раз меньше, чем у лидера, и постепенно сокращается с увеличением числа последователей.

При достаточно большом числе последователей (когда ) объем предложения олигополистов Стэкльберга приближается к объему предложения в условиях совершенной конкуренции , а цена фактически падает до уровня средних и предельных издержек.

При этом все существеннее становится различие в уровне выпуска лидера и последователя. Доля последователя в совокупном объеме предложения на рынке становится бесконечно мала по сравнению с размерами рынка. Доля лидера тоже постепенно снижается, но в конечном итоге не будет ниже, чем половина объема предложения на рынке.

3.4 Сговор и картели

Анализ моделей картеля становится многограннее, если отказаться от предпосылки о равенстве издержек производства у картелированных фирм. Основные проблемы, возникающие при этом в процессе образования и фукционирования картеля, можно по-прежнему выявить, рассматривая только двух олигополистов, поскольку результаты исследования легко обобщаются для случая п фирм в отрасли.

Пусть две фирмы предлагают однородный продукт, зная линейную функцию рыночного спроса (1). Пусть они решили вступить в картельное соглашение с условием максимизации совокупной прибыли отрасли:

( 3.28)

где , - функции издержек в зависимости от объема выпуска каждой фирмы, причем .

Необходимое условие экстремума примет вид:

(3.29)

При решении системы уравнений (3.29) видно, что для любой комбинации равновесных значений объемов выпуска фирм их предельные издержки будут равны между собой: . С одной стороны, по виду функций (3.29) ясно, что равенство предельных издержек выполняется в условиях равновесия при любом количестве фирм в отрасли. С другой стороны, оно будет выполняться вне зависимости от вида функции спроса на продукцию отрасли.

Для функции p=p(Q), где , частные производные по объемам выпуска конкурентов будут равны между собой , поскольку при нулевых предполагаемых вариациях при очевидно, что .

Таким образом, в условиях равновесия для любого i

(3.30)

При организации картеля фирмы заинтересованы в максимизации совокупной прибыли отрасли, а не только своей прибыли. Поэтому они учитывают влияние снижения цены, как на уровень своего собственного выпуска, так и на объем выпуска конкурентов. В результате предельный доход от производства дополнительной единицы товара (в правой части равенства (3.30)) будет одинаковым для любой фирмы картеля, а предельные издержки фирм будут равны между собой.

В точке равновесия картеля из п фирм условие (3.31) примет вид:

(3.31)

Оценим направление изменения прибыли, например, первого олигополиста. Частная производная прибыли первого олигополиста по переменной, характеризующей его объемы выпуска, положительна:

(3.32)

поскольку функция рыночного проса убывает . Это означает, что он может увеличить объем получаемой прибыли, расширив масштабы производства. В аналогичной ситуации находятся другие олигополисты.

Стратегия одностороннего увеличения производства выгодна для любой фирмы картеля. Причем любая фирма захочет быть первой, пока ее не опередили конкуренты. Таким образом, искушение нарушить картельное соглашение велико при любой структуре функций спроса и издержек, а также при любом числе фирм в отрасли. Олигополисты должны иметь стимул, чтобы не нарушать соглашение.

4. 3адача

4.1 Постановка задачи

Пусть на рынке дуополии фирмы предлагают однородный продукт. Первая фирма на производство одной единицы продукции, затрачивает 3 единицы труда и 3 единицы капитала. Вторая фирма на производство одной единицы продукции, затрачивает 3 единицы труда и 6 единиц капитала. Цена единицы труда равна w, цена единицы капитала равна r. Функция спроса на продукцию дуополии имеет вид: P=90-2Q, где Q=q₁+q₂ . Вычислить параметр равновесия Курно, объем рыночного спроса и прибыль каждого из дуополистов. Сравнить прибыль обеих фирм.

4.2 Решение задачи

Пусть w₁ и r₁ - цена ед. труда и капитала первой фирмы, w₂ и r₂- цена труда и капитала второй фирмы соответственно. Пусть c — предельные

издержки обеих фирм. Т. к. c=w₁*r₁+w₂*r₂ , тогда:

c=3*3+3*6=9+18=27

Следовательно, издержки обеих фирм на рынке дуополии равны 27.

Пусть q_i - объем выпуска первой фирмы, q₂ - объем выпуска второй

фирмы. В модели дуополии Курно q₁ и q₂ представлены в виде уравнений (12) и (13):

Равновесие на рынке дуополии Курно определяется в результате решения системы уравнений, которое сводится к тому, что (14):

Тогда

Зная q₂ и q₂ мы можем, при предпосылке, что им известна функция рыночного спроса и равновесные уровни выпуска дуополистов Курно одинаковы в силу введенных предпосылок об однородности продукции, вычислим прибыль каждой из фирм (7) и (8):

Соответственно:

П₁=(90-2*3,25-2*3,25)*3,25-27-3,25=(90-6,5-6,5)*3,25-87,75=77*3,25-87,75=162,5

П₂=(90-2*3,25-2*3,25)*3,25-27-3,25=(90-6,5-6,5)*3,25-87,75=77*3,25-87,75=162,5

Таким образом, прибыль каждого предприятия будет равна П₁=П₂=162,5. Отметим, что затраты капитала на производство одной единицы продукции второй фирмы превышало затраты капитала первой фирмы в 2 раза.

Заключение

В данной курсовой работе представлена тема «Модели поведения производителей».

В работе раскрыты показатели стратегического взаимодействия на рынке. Существенную роль имеют три элемента ценообразования: условия по спросу, условия по издержкам производства и предположения о максимизации прибыли. Модели имеют структуру эндогенных и экзогенных переменных. Стратегическое поведение каждой модели на рынке изменяется в зависимости от характеристики продукта (его однородности или дифференцированности) и от наличия потенциальной конкуренции.

Сравнительный анализ, проведенный в данной курсовой работе, выявляет их основные особенности, преимущества и недостатки, помогает оценить перспективы и направления их усовершенствования.

Список использованной литературы

1. Фомин Г.П. «Математические методы и модели коммерческой деятельности», Москва 2001.

2. Бурков В.К., Ириков В.К. «Модели и методы управления организационных систем», Москва 1994.

3. Жданов С.А. «Экономические модели и методы в управлении», Москва 1998.

4. Светов Б.А., Яковлев С.А. «Моделирование системы», Москва 1995.