183671 (Сущность теории игр), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Сущность теории игр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "экономико-математическое моделирование" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "экономико-математическое моделирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "183671"
Текст 3 страницы из документа "183671"
Как видно, возможности мажорирования смешанными стратегиями в отличие от чистых значительно менее прозрачны (нужно должным образом подобрать частоты применения чистых стратегий), но такие возможности есть, и ими полезно уметь пользоваться.
1.3 Игры с природой
Модели в виде стратегических игр, в экономической практике могут не в полной мере оказаться адекватными действительности, поскольку реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенности должно приниматься однократно. Это порождает необходимость развития методов моделирования принятия решений в условиях неопределенности и риска.
Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые игры с природой. Формально изучение “игр с природой“, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.
Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).
2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ
2.1 Постановка задачи
Выбрать оптимальный режим работы новой системы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов А1 и А2. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.
При использовании ЭВМ типов А1 и А2 в зависимости от характера решаемых задач В1 и В2 (долговременные и краткосрочные) будет разный эффект. Предполагается, что максимальный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ A1 и А2.
Итак, дана матрица игры (табл. 1), где A1, А2 - стратегии руководителя; В1, В2 - стратегии, отражающие характер решаемых на ЭВМ задач.
Таблица 2.1.
Игрок 2 Игрок 1 | В1 | В2 | i |
А1 | 0,3 | 0,8 | 0,3 |
А2 | 0,7 | 0,4 | 0,4 |
j | 0,7 | 0,8 |
Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руководителя и гарантированный средний результат , т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов A1 и А2.
2.2 Описание алгоритма решения
Запишем условия в принятых обозначениях:
а11 = 0,3; а12 = 0,8; а21 = 0,7; а22 = 0,4.
Определим нижнюю и верхнюю цены игры:
1 = 0,3; 2 = 0,4; = 0,4; 1=0,7; 2 = 0,8; = 0,7.
Получаем игру без седловой точки, так как
(2.1)
(2.2)
Максиминная стратегия руководителя вычислительного центра – А2.
Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен = 0,4 (40%) по сравнению со старой системой.
Определим , pl и р2 графическим способом (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Графическая интерпретация алгоритма решения
Алгоритм решения:
1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.
2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А1.
3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А2.
4. Проводим прямую b11b12, соединяющую точки а11, а21.
5. Проводим прямую b21b22, соединяющую точки а12, а22.
6. Определяем ординату точки пересечения с линий b11b12 и b21b22. Она равна .
7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р2, а р1 = l – р2.
Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:
р1 = 0,375; (2.3)
р2 = 0,625; (2.4)
=0,55. (2.5)
Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А1 должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А2 - 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.
3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ
3.1 Постановка задачи
Рассмотрим игры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.
Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.1). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.
Зима | Количество угля, т | Средняя цена за 1 т, грн. |
Мягкая | 4 | 7 |
Обычная | 5 | 7,5 |
Холодная | 6 | 8 |
Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет. (Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.)
Сколько угля летом покупать на зиму?
3.2 Решение задач игр с природой
Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.
Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.
Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 6 – при заготовке, и зимой 8 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.
В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл. 3.2).
Таблица 3.2.
Вероятность Зима | 0,35 | 0,5 | 0,15 |
Мягкая | Обычная | Холодная | |
Мягкая (4т) | -(4 6) | -(4 6 + 1 7,5) | -(4 6 + 2 8) |
Обычная (5 т) | -(5 6) | -(5 6 + 0 7,5) | -(5 6 + 1 8) |
Холодная (6 т) | -(6 6) | -(6 6 + 0 7,5) | -(6 6 + 0 8) |
Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).
Таблица 3.3
Зима | Средняя ожидаемая плата |
Мягкая | -(24 0,35 + 31,5 0,5 + 40 0,15) = -30,15 |
Обычная | -(30 0,35 + 30 0,5 + 38 0,15) = -31,2 |
Холодная | -(36 0,35 + 36 0,5 + 36 0,15) = - 36 |
Как видно из табл. 3.3, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.
Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.
Формулы теории вероятности:
Дисперсия случайной величины ξ равна
Среднеквадратичное отклонение составит
где D и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.
Проводя соответственно вычисления для всех случаев по такому принципу:
Мягкая зима:
М(ξ2) = - (242 0,35 + 31,52 0,5 + 402 0,15) = - 937,725
(Мξ)2 = -(30,152 ) = - 909,0225
Dξ =937,725- 909,0225 = 28,7025
= 5,357
Если продолжить исследование процесса принятия решения и вычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:
• для мягкой зимы = 5,357;
• для обычной зимы = 2,856;
• для холодной зимы = 0.
Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст.
Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей ( = 2,856 против 5,357).
Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.
Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение данной работы можно сделать вывод о необходимости использования теории игр в современных экономических условиях.