183662 (Рішення систем нелінійних рівнянь. Метод ітерацій. Метод Ньютона–Канторовича), страница 2

На основі формула (8) будується ітараційна формула. А саме, вибирається так, щоб .

Тоді (у загальному вигляді) ітераційна формула матиме вигляд

(9)

В методі Ньютона цю ітераційну формулу перетворять до вигляду

(10)

У координатному вигляді формула (10) представляє систему з двох рівнянь щодо двох невідомих xi+1 и yi+1.

У матричному вигляді рішення її матиме вигляд

допоміжний вектор-стовпець z, що містить n елементів.

(11)

Ітераційна формула методу в матричному записі має наступний вигляд

z_j = - A^-1 (x_j) F (x_j)

x_{j +1} = x_j + z_j, (12)

тут j - номер ітерації, - початкове наближення шуканого кореня. Процес ітерацій завершується, якщо всі елементи останнього вектора z по абсолютній величині стануть менше заданої точності (кажучи точніше, коли норма вектора z стане менше заданої точності).

Обчислення даним методом зручно проводити в Excel з використанням функцій матричної алгебри. Результати розрахунків представляються у вигляді таблиці.

Для випадку n=2 система рівнянь найчастіше має такий вигляд:

Як змінна х₁ тут виступає змінна х, а як змінна х₂ - змінна y. Матриця А, вектори F і z в цьому випадку приймуть вигляд:

А = , F = , z = ,

Порядок рішення системи нелінійних рівнянь методом Ньютона-Канторовича полягає в послідовному виконанні наступних дій:

Знайти початкове (нульове) наближення х₀ шуканого кореня заданої системи рівнянь. Для випадку n=2 це можна зробити графічним методом, побудувавши графіки кожної з функцій і приблизно визначивши координати точок перетинів графіків. В цьому випадку вектор початкового наближення може мати вигляд ;

Привести задану систему до вигляду (1), перенести все з правої частини рівняння в ліву;

Записати в аналітичному вигляді матрицю А, використовуючи формулу (8);

Приймемо j=0;

Підставимо значення х_j в аналітичні вирази для матриці А і вектора F;

Знайдемо зворотну матрицю А^-1;

По формулах (12) знайдемо вектор z_j і вектор х_j+1;;;

Знайдемо норму вектор z_j;

Якщо норма вектора z_j більше заданої точності обчислення (норма більша за ε) - наростимо значення j на одиницю і повернемося до пункту 5 цього переліку;

За знайдене рішення приймемо останнього набутого значення вектора х.