183485 (Исследование моделей), страница 2

Если Fтабл< Fфакт то Но – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл> Fфакт , то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

УСЛОВИЕ

По пяти городам известны значения 2х признаков: табл.№1

Требуется:

1) для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций (линейной, степенной, показательной, равносторонней гиперболы).

2) оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А и F- критерии Фишера.

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=а+b∙x ,решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

n∙a+b∙∑x=∑y

yx- y∙x

a ∙∑x+b∙∑x²=∑y∙x получаем b= σ²x

табл.№2

Дисперсия получается, по формуле

1

σ y²= n ∑(yi-y)²

σy²=3964.076-62.72²=30.2776

σх²=3202.034-56.22²=41.3456

ух-у∙х

b = σ²x =(3497,672-62,72∙56,22)/41,3456=0,68

а= у-b∙x=62,72+0,68∙56,22=100,9

уравнение регрессии ŷ=100,9-0,68х

ŷ1=100,9-0,68∙47,1=68,87

ŷ2=100,9-0,68∙59,2=60,64

ŷ3=100,9-0,68*50,2=66,76

ŷ4=100,9-0,68*63,8=57,51

ŷ5=100,9-0,68*60,8=59,55

Считаем линейный коэффициент парной корреляции

rху=b∙σx ∕ σy=0,68*6,43/5,5025=0,79 следовательно, связь сильная прямая

rху²=0.79²=0.62- коэффициент детерминации

Вариация результата на 62% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷx и занесем их в таблицу. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

|yi-ŷxi|

Аi= yi *100%

А 1=3,93/72,8*100%=5,3%

А2=2,56/63,2*100%=4,04%

А3=|-4,9| / 61,9*100%=7,8%

А4=1,13/58,7*100%=1,9%

А5=|-2,55| /57,0*100%=4,47%

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,7%

По каждому наблюдению вычислим величину отклонения. Полученные данные занесем в таблицу

У1-ŷ1=72,8-68,87=3,93

У2-ŷ2=63,2-60,64=2,56

У3-ŷ3=61,9-66,76=-4,9

У4-ŷ4=58,7-57,57=1,13

У5-ŷ5=57,0-59,55=-2,55

Рассчитываем F критерий

∑(ỹx-y)²/m r²xy

F факт= = =0,62/(1-0,62)*(5-2)=4,89

∑(y-ỹ)² /(n-m-1) 1-r²xy (n-2)

т.к Fтабл.α=0,05 =10,13 следовательно Fтабл> Fфакт отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

ПОСТРОЕНИЕ СТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ

У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+b* lg x;

Y=C+b*X где

Y=lg y.,C= lg a., X= lg x

Табл.№3

Рассчитаем σ:

1

σ ²x= n ∑(хi-х)²=3,044-1,744²=0,0025

1

σ y²= n ∑(yi-y)²=3,22-1,769²=0,0906

вычислим значения С и b по формуле:

b= yx-y∙x =(3,1308-1,796*1,744)/0,0025= -0,5696

σ²x

С=Y-b∙X=1,796+0,5696*1,744=2,7894

Получим линейное уравнение Ỹ=2,7894-0,5696*Х, после потенцирования

2,7894 -0,5696 -0,5696

получим: ŷ=10 *х =615,7 *х

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi

2,7894

Ŷ1=10 *47,1=68,61

2,7894

Ŷ2=10 *59,2=60,24

2,7894

Ŷ3=10 *50,2=66,17

2,7894

Ŷ4=10 *63,8=57,72

2,7894

Ŷ5=10 *60,8=59,33 далее рассчитаем Аi

l (yi-ỹхi)

А = n ∑ Аi = уi ∙100%

А1=4,19/72,8*100%=5,76%

А2=2,96/63,2*100%=4,68%

А3=4,27/61,9*100%=6,90%

А4=0,98/58,7*100%=1,67%

А5=2,33/57,0*100%=4,09%

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-10,196/30,2776=0,81

определим коэффициент по формуле детерминации:

r²xy=(Pxy)²=(0,81)²=0,6561

Аi=4,62%

Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+x*lgb

Y=C+Bx где,

Y=lg y., C=lg a., B=lgb

Табл.№4

Значения параметров регрессии А. и В составили: