183432 (Використання інтегралів в економіці)

Зміст

Вступ…………………………………………………………………………....….2

Розділ 1. Теоретичні відомості про визначний інтеграл……..............................5

1.1 Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла…………………......5

1.2 Означення визначеного інтеграла та його зміст………………………….....7

1.3 Основні властивості визначеного інтеграла……………….……………......9

1.4 Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами…………………...10

Розділ 2. Практичне застосування визначеного інтегралу в економіці….......18

Висновок…………………………………………………………………….........33

Список використаної літератури…………………………………......................34

Вступ

Інтеграл - одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з однієї сторони відшукувати функції по їхніх похідних (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, по швидкості цієї точки), а з іншого боку - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу й т.п.

Символ інтегралу уведений Лейбніцем. Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі. Імовірно, воно походить від латинського іntegero, що переводиться як приводити в колишній стан, відновлювати. Можливе походження слова інтеграл інше: слово іnteger означає цілий.

Виникнення завдань інтегрального вирахування пов'язане зі знаходженням площ й обсягів. Ряд завдань такого роду був вирішений математиками древньої Греції. Антична математика внесла ідеї інтегрального вирахування в значно більшому ступені, чим диференціального вирахування. Більшу роль при рішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Книдським і широко застосовувався Архімедом.

Однак Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму інтегрального вирахування. Учені Середнього й Близького Сходу в ІX-XV ст. вивчали й переводили праці Архімеда на загальнодоступну у їхньому середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному вирахуванні вони не одержали [2].

Діяльність європейських учених у цей час була ще більш скромною. Лише в XVІ й XVІІ століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання на обчислення площ фігур), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) і визначення центрів ваги.

Праці Архімеда, уперше видані в 1544 р. (на латинській і грецькій мовах), стали привертати широку увагу, і їхнє вивчення з'явилося одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального вирахування. Архімед передбачив багато ідей інтегрального вирахування. Але треба було більше півтори тисяч років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження й були доведені до рівня вирахування .

Математики 17 ст., що одержали багато нових результатів, училися на працях Архімеда. Активно застосовувався й інший метод - метод неподільних, котрий також зародився в Древній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f(x), яким проте приписували площа, рівну нескінченно малій величині f(x)dx. Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівній сумі S = нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком позитивну суму.

На такий гаданій тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571 - 1630) у своїх творах "Нова астрономія" (1609) і "Стереометрія винних бочок" (1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури, обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).

В 17 ст. були зроблені багато відкриттів, що ставляться до інтегрального вирахування. Так, П. Ферма вже в 1629 р. вирішив завдання квадратури будь-якій кривій, і на цій основі вирішив ряд завдань на знаходження центрів ваги. І. Кеплер при висновку своїх знаменитих законів руху планет, фактично опирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтегрування й диференціювання. Велике значення мали роботи з подання функції у вигляді статечних рядів [6].

Однак при всій значимості результатів, отриманих з 17 ст., вирахування ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання й інтегрування , що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніць, що відкрили незалежно друг від друга факт, відомий вам за назвою формули Ньютона -Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Стояло ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового вирахування й т.п. Але головне вже було зроблено: диференціальне й інтегральне вирахування створене.

Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (у першу чергу варто назвати імена Л. Ейлера, що завершило систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, і І. Бернуллі).

Строгий виклад теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті, Рішення цього завдання пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Римана (1826-1866), французького математика Г. Дарбу (1842-1917).

Відповіді на багато питань, пов'язані з існуванням площ й обсягів фігур, були отримані зі створенням К. Жорданом (1826 -1922) теорії міри.

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку 20 сторіччя були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875-1941) і А. Данжуа (1884-1974) радянським математиком А. Я. Хичиним (1894-1959).

Об’єкт роботи – інтегральне вирахування. Предмет роботи – застосування інтегрального вирахування в економіці.

Задачі роботи: розглянути поняття визначеного інтегралу та його застосування в економіці.

Розділ 1. Теоретичні відомості про визначний інтеграл

1.1 Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х) 0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією. В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками

а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b

Довжини цих частин

Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перетину із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою , де . Площа кожного такого прямокутника дорівнює

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто

Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина .

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли Тоді

(1)

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T [3].

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,…,Δtn.

Позначимо через довільний момент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо

.

Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Δtk→0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто

(2)

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2 Означення визначеного інтеграла та його зміст

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b

У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною

Δхk = хk- хk-1

оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .

Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Математично це означення можна записати так:

(3)

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді

(4)

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему [1].

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

1.3 Основні властивості визначеного інтеграла

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.

Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то

Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто

Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто

Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто

для будь-якої функції f (х).

Якщо f (х) (х), х [а, b], то

Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то

де