х = (∑ ( х_i – x_ср))/ n,

у = (∑ ( y_i – y_ср))/ n,

где n – количество наблюдений;

x_ср , y_ср - среднеарифметические значения соответственно х и у.

Нормированные отклонения:

Тх = ( х_i – x_ср)/ х;

Ту = ( y_i – y_ср)/ у.

Коэффициент корреляции:

R = ( Тх * Ту) / n.

По значению коэффициента корреляции определяют тесноту и характер взаимосвязи между показателями. Коэффициент может изменяться в диапазоне от 0 до 1 и может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем более тесная взаимосвязь между показателями. Положительное значение говорит о прямой взаимосвязи, отрицательное – об обратной. Пороговое значение коэффициента для осуществления дальнейших расчетов – 0,7.

При значении 0,7 индекс детерминации, который равен квадрату коэффициента корреляции, имеет значение 0,49. Индекс детерминации показывает долю влияния выбранного фактора на анализируемый показатель. Очевидно, что если доля влияния выбранного фактора меньше 0,5, дальнейшие расчеты не имеют смысла.

После оценки тесноты взаимосвязи необходимо выбрать функцию, график которой максимально приближенно описывает данную взаимосвязь. Наиболее часто используются графики следующих функций:

У = А + В * Х;

У = А + В * ln X;

У = А + В / Х.

После выбора функции необходимо рассчитать параметры уравнения А и В. Используется метод наименьших квадратов. Решение сводится к решению системы линейных уравнений. Приведен пример системы линейных уравнений для линейной функции:

n * a + b * ∑x = ∑y;

a * ∑x + b * ∑x² = ∑(x*y).

После определения параметров модель можно использовать. Для этого подставляем в формулу желаемое значение фактора и определяем вероятное значение показателя. В качестве проверки можно рассчитать ошибку аппроксимации – процент отклонения значения фактического от значения, рассчитанного по модели:

Ап = ( 1 / n) * ( |У ф – У р| )* 100 / У ф.

Значение ошибки аппроксимации до 10% говорит о наилучшем подборе модели.

Метод экстраполяции временных рядов заключается в определении тенденции изменения показателя во времени. Может считаться частным случаем корреляционного анализа, когда в качестве фактора выступает время. Однако экстраполяция применяется и тогда, когда изменение показателя зависит от нескольких факторов, и его трудно описать однофакторной функцией. В этом случае определение тенденции изменения показателя может быть единственным возможным способом прогнозирования (рис. 2.1) [4, c.35].

Рис. 2.1. Пример экстраполяции показателя

3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

Основа всех приемов оптимизации – нахождение экстремума функции при заданных ограничениях. Например, нахождение максимума прибыли при ограничении по загруженности производственной мощности.

3.1. Использование графических методов в экономическом анализе

Графические методы связаны прежде всего с геометрическим изображением функциональной зависимости при помощи линий на плоскости. Графики используются для наглядного изображения функциональных зависимостей. В экономическом анализе применяются почти все виды графиков – диаграммы сравнения, диаграммы временных рядов, графики зависимости.

Широко применяется графический метод для исследования производственных процессов, организационных структур и т.д.

Особое место в экономическом анализе занимает построение сетевых графиков. Сетевой график позволяет выделить из всего комплекса работ наиболее важные, лежащие на критическом пути, и сосредоточиться именно на них. Наиболее часто сетевые графики применяются в строительстве. На стадии оперативного анализа и управления сетевой график дает возможность осуществлять действенный контроль за ходом строительства, своевременно принимать меры по устранению возможных задержек.

Кроме того, сетевые графики могут разрабатываться при описании технологии какого-либо производственного процесса. В данном случае задача составления сетевого графика несколько иная – скоординировать работу всех служб предприятия. Основные элементы сетевого графика – событие, работа, ожидание, зависимость. Каждый круг считается одной из вершин графика. Линия, соединяющая две вершины, означает проделанную работу. Над линией записывают наименование работы, а под линией – продолжительность данного этапа работ. Если из одной вершины ведет несколько путей, то это значит, что после выполнения данного этапа может быть несколько вариантов развития событий. Если это технологический сетевой график, то это будет означать, что возможно проведение одновременно нескольких работ (параллельная организация технологического процесса). Вершины могут просто нумероваться, а могут содержать информацию о накопленной продолжительности работы или стоимости данного этапа.

Рис. 3.1. Пример сетевого графика

Этапами разработки сетевого графика являются:

- сбор технической и технологической информации;

- составление таблицы работ и ресурсов в технологической последовательности, в которой указывается характеристика и объем работ, время, потребные ресурсы, порядок проведения (очередность);

- составление сетевого графика;

- определение критерия оптимизации (по экономии материальных, трудовых ресурсов, срокам, минимальной стоимости и т.п.);

- определение оптимального пути решения[1, c.85].

3.2. Методы линейного и динамического программирования

Линейное программирование объединяет методы решения задач, которые описываются линейными уравнениями. Данный метод основан на решении системы линейных уравнений, когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий. Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу – значит выбрать из всех допустимых вариантов лучший, оптимальный.

Для решения задач линейного программирования могут быть использованы средства, включенные в состав электронных таблиц для персональных компьютеров. Из числа таких средств наиболее распространены таблицы программ MS Excel.

Постановка задачи линейного программирования состоит в формулировке целевой функции и ограничений – уравнений или неравенств.

Пример. Фирма производит продукцию двух видов – Х и У. Имеются следующие данные о производстве продукции:

Целевой функцией в данном случае является прибыль, которую необходимо максимизировать:

ВП = 25 * Х + 40 * У.

Имеются ограничения по производительности сборочного и отделочного цехов:

2 * Х + 4 * У меньше или равно 100;

3 * Х + 2 * У меньше или равно 90,

а также требование неотрицательности элементов – Х, У больше 0.

Решается методом итераций (подбора значений). После каждого шага проверяется соблюдение ограничений. В результате получаем решение Х=20, У = 15. Максимальная прибыль составит 1100 тыс.р. при полной загрузке обоих цехов.

В задачах линейного программирования может представлять интерес вопрос, имеет ли смысл увеличивать объем доступного ресурса. Например, какова цена увеличения рабочего времени в сборочном цехе на один час в неделю. Эта цена – добавочная валовая прибыль, которая может быть получена, называется двойственной оценкой данного ресурса. Двойственную оценку можно рассматривать как упущенную выгоду или как прибыль, недополученную в результате нехватки ресурса. Если в приведенном примере рабочую неделю в сборочном цехе увеличить на восемь часов, то новое оптимальное решение будет выглядеть следующим образом:

Х = 18;

У = 18.

Валовая прибыль при этом составит 1170 тыс.р.

Решение задач линейного программирования может проводиться графическим методом. Для этого найдем в плоскости координат область, соответствующую всем ограничениям.

Первые два ограничения можно представить в виде:

У ≤ 25 – 0,5 * Х;

У ≤ 45 – 1,5 * Х.

Двум оставшимся ограничениям соответствуют сами оси Х и У.

На рисунке линия номер один соответствует первому ограничению, линия номер два соответствует второму ограничению. Очевидно, что допустимая область решений находится в зоне, ограниченной пересечением двух прямых и осей координат.

Какая же точка этой области соответствует оптимальному решению? Целевая функция описывается выражением ВП = 25 * Х + 40 * У или У = ВП – 0,625 * Х .

Переменная ВП должна быть максимальна. График этой функции можно представить несколькими линиями при разных значениях ВП. На рисунке представлены три штриховые линии, соответствующие ВП = 5, 10, 15.

4 5

2

2 5

1 5

1 0 1

5

8 16 24 30 50

Рис. 3.1. Решение задачи линейного программирования

Нетрудно заметить, что чем дальше от центра координат находится прямая, тем больше значение ВП. Это означает, что функция 25 * Х + 40 * У примет максимально значение в точке пересечении прямых 1 и 2. Координаты этой точки можно найти, решив систему линейных уравнений:

У = 25 – 0,5 * Х У = 15;

У = 45 – 1,5 * Х Х = 20.

Методы динамического программирования применяются при решении задач оптимизации, которая описывается нелинейными функциями. Типичным примером является разновидность транспортной задачи, когда необходимо загрузить транспортное средство различными видами товаров, которые к тому же имеют различный вес, таким образом, чтобы стоимость груза являлась максимальной. Если обозначить:

В – максимальная загрузка транспортного средства;

в – масса одного предмета каждого вида;

с – стоимость предмета каждого вида;

к – количество предметов каждого вида ,

тогда задача может быть описана уравнением

к * с = макс при ограничении к * в < В,

сумма от 1 до Н при этом Н – ассортимент загружаемой продукции. Задача решается в Н этапов, причем на первом этапе определяется максимальная стоимость груза из продукции первого типа, затем – первого и второго типов и так далее.

3.3. Математическая теория игр