15684-1 (Задача коммивояжера), страница 4

В ориентированной, неориентированной или смешанной (т. е. такой, где часть дорог имеет одностороннее движение) сети найти кратчайший путь между двумя заданными вершинами.

Алгоритм использует три массива из n (= числу вершин сети) чисел каждый. Первый массив a содержит метки с двумя значениями: 0 (вершина ещё не рассмотрена) и 1 (вершина уже рассмотрена); второй массив b содержит расстояния – текущие кратчайшие расстояния от vi до соответствующей вершины; третий массив c содержит номера вершин – k-й элемент ck есть номер предпоследней вершины на текущем кратчайшем пути из vi в vk. Матрица расстояний Dik задаёт длины дуг dik; если такой дуги нет, то dik присваивается большое число Б, равное «машинной бесконечности».

Теперь можно описать:

Алгоритм Дейкстры

1(инициализация).

В цикле от одного до n заполнить нулями массив а; заполнить числом i массив с: перенести i-тую строку матрицы D в массив b;

a[i]:=1; c[i]:=0; {i-номер стартовой вершины}

2(общий шаг).

Найти минимум среди неотмеченных (т. е. тех k, для которых a[k]=0); пусть минимум достигается на индексе j, т. е. bjbk; a[j]:=1;

если bk>bj+djk то (bk:=bj+djk; ck:=j) {Условие означает, что путь vi..vk длиннее, чем путь vi..vj,vk . Если все a[k] отмечены, то длина пути vi..vk равна b[k]. Теперь надо перечислить вершины, входящие в кратчайший путь}

3(выдача ответа).

{Путь vi..vk выдаётся в обратном порядке следующей процедурой:}

3.1. z:=c[k];

3.2. Выдать z;

3.3. z:=c[z]; Если z = 0, то конец, иначе перейти к 3.2.

Для выполнения алгоритма нужно n раз просмотреть массив b из n элементов, т. е. алгоритм Дейкстры имеет квадратичную сложность. Проиллюстрируем работу алгоритма Дейкстры численным примером (для большей сложности, считаем, что некоторые города (вершины) i,j не соединены между собой, т. е. D[i,j]=∞). Пусть, например, i=3. Требуется найти кратчайшие пути из вершины 3. Содержимое массивов a,b,c после выполнения первого пункта показано на табл. 12:

Очевидно, содержимое таблицы меняется по мере выполнения общего шага. Это видно из следующей таблицы:

Таким образом, для решения ЗК нужно n раз применить алгоритм Дейкстры следующим образом.

Возьмём произвольную пару вершин

j,k. Исключим непосредственное ребро C[j,k]. С помощью алгоритма Дейкстры найдём кратчайшее расстояние между городами j..k. Пусть это расстояние включает некоторый город m. Имеем часть тура j,m,k. Теперь для каждой пары соседних городов (в данном примере – для j,m и m,k) удалим соответственное ребро и найдём кратчайшее расстояние. При этом в кратчайшее расстояние не должен входить уже использованный город.

Далее аналогично находим кратчайшее расстояние между парами вершин алгоритмом Дейкстры, до тех пор, пока все вершины не будут задействованы. Соединим последнюю вершину с первой и получим тур. Чаще всего это последнее ребро оказывается очень большим, и тур получается с погрешностью, однако алгоритм Дейкстры можно отнести к приближённым алгоритмам.

1.2.5. Мой метод (метод Анищенко) решения задачи коммивояжера

Я предложу свой метод решения задачи коммивояжера.

Рассмотрим рис. 9-10 и попытаемся найти в них кратчайшие туры. Очевидно, что кратчайший тур не должен содержать пересекающихся ребёр (в противном случае, поменяв вершины при пересекающихся рёбрах местами, получим более короткий тур). В первом случае кратчайшим является тур 1-2-4-5-3-1, а во втором – тур 1-2-3-4-5-1. Анализируя множество других аналогичных расположений пяти и более городов, можно сделать следующее общее предположение:

1. Если можно построить выпуклый многоугольник, по периметру которого лежат все города, то такой выпуклый многоугольник является кратчайшим туром.

Однако не всегда можно построить выпуклый многоугольник, по периметру которого лежали бы все города. Велика вероятность того, что некоторые города не войдут в выпуклый многоугольник. Такие города будем называть «центральными». Так как построить выпуклый многоугольник довольно легко, то задача сводится к тому, чтобы включить в тур в виде выпуклого многоугольника все центральные города с минимальными потерями. Пусть имеется массив T[n+1], содержащий в себе номера городов по порядку, которые должен посетить коммивояжер, т. е. вначале коммивояжер должен посетить город T[1], затем T[2], потом T[3] и т. д,, причём T[n+1]=T[1] (коммивояжер должен вернуться в начальный город). Тогда, если выполняется равенство i∈[1,2..n]; C[T[i],p]+C[p,T[i+1]] – C[T[I],T[i+1]]=min, то центральный город с номером p нужно включить в тур между городами T[i] и T[i+1]. Проделав эту операцию для всех центральных городов, в результате получим кратчайший тур. Данный алгоритм можно реализовать на языке Паскаль и проверить верность предположения 1. Для задачи, решённой нами методом ветвей и границ, мой алгоритм даёт правильное решение.