line_a2 (Шпоргалки к 2 аттестации)

1.1 Множество всех кортежей длины п на множествах А₁, ..., А_п называют декартовым (пря­мым) произведением множеств А₁, ..., А_п и обозначают А₁ х ... х А_п.

Таким образом,

А₁ х ... х А_п = {(а₁, ..., а_п): а₁ А₁,..., а_п А_п}.

Множество А равномощно множеству В, если существует биекция f: А-> В, если f^-1 есть биекция В на А и. В равномощно А, то множества A и В равномощны.

Любое множество, равномощное множеству всех натураль­ных чисел, называют счетным

1.2 Праволинейное X=AX+B, Леволинейное X=XA+B. Наименьшие решения X=A*B и X=BA* соответственно. X*=X⁰*X*…*Xⁿ;

2.1 Отображение f: А —> В называют инъективным (инъек­цией), если каждый элемент из области его значений имеет единственный прообраз, т.е. из f(x₁) = f(x₂) следует x₁ = x₂.

Отображение f: A -> В называют сюръективным (сюръекцией), если его область значений совпадает со всем множе­ством В.

Отображение f: А -> В называют биективным (биекцией), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Пусть задано отображение f: А-> В и С А — некото­рое множество. Множество f(С) элементов у В, таких, что у = f(х), х С, называют образом множества С при ото­бражении f.

Для произвольного множества D В множество всех эле­ментов х А, таких, что f(х) D, называют прообразом мно­жества D при отображении f.

Прообраз области значений произвольного отображения f: А-> В совпадает со всем множеством А.

Множество всех отображений из А в В будем обозначать как В^А.

2.2

3.1. Пусть А – множество. Бинарное отношение на А – это р A A.

p называется рефлексивным, если р {(x,x)|x A}.

p наз. симметричным, если из (x,y) p следует, что (y,x) p.

p наз. антисимметричным, если из (x,y) p и (y,x) p следует, что x=y.

p наз. транзитивным, если из (x,z) p и (z,y) p следует, что (x,y) p.

3.2. S_[0,1]=([0,1], max, min);

(2^A, , , , A).

B = ({0, 1}, +, *, 0, 1) булево полукольцо

Если А – конечное подмножество идемпотентного полукольца, то supA=a₁ + a₂ +…+ a_n, где А = {a₁, a₂, … , a_n}.

4.1. р на А наз. эквивалентностью, если р симметрично, рефлексивно, транзитивно.

р на А наз. порядком, если р рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Множество классов эквивалентности наз. фактормножеством А/р, где р – эквивалентность, или А/~.

4.2. Нейтральный элемент бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам. e*a = а*е = а. Нейтральный элемент или единица моноида 1 – это нейтр. элемент относительно операции соответствующей полугруппы. x*1=1*x=x.

Элемент y такой, что y*x=x*y=e наз. обратным к х и обозначается х^-1 . Если эл-т х имеет обратный эл-т, то он наз. обратимым.

Нейтральный элемент в моноиде единственный.

Если х обратим, то существует единственный элемент, обратный к х.

5.1. Нормальной подгруппой группы G (N G) наз. такая подгруппа N, что g G

g^-1Ng N или а G aN=Na.

Пусть G — группа, и H — её нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности H в G можно ввести операцию: (aH)(bH) = abH. Она определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой G по H.

Факторгруппа обозначается G / H.

(aH)(bH)=(cH)

aHbH = {т.к. Н – норм. подгр., то Hb = bH}= abHH = abH.

5.2. Любое непрерывное отображение f индуктивного упорядоченного множества (М, ) в себя имеет наименьшую неподвижную точку.

6.1. Двусторонним идеалом кольца K называется множество I всех элементов кольца K, инвариантных относительно умножения на элементы кольца.

Фактор кольцом кольца K по идеалу I называется {I+K}=I, I+k₁, I+k₂,… - мн-во классов.

(a + J) + (b + J) = (a + b) + J

(a + J)(b + J) = ab + J

6.2. Z, Q – счетно. [0,1] – не счётно.

|2^A|>|A|

7.1. Точной верхней гранью, или супремумом подмножества X упорядоченного множества M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X.

- множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X;

Точной нижней гранью, или инфимумом подмножества X упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X.

Отображение f: M₁->M₂ индуктивных множеств (M₁, <=) и (M₂, <=) называют монотонным, если для любых a,bϵM₁ из a<=b следует f(a)<=f(b);

Отображение f: M₁->M₂ индуктивных множеств называется непрерывным, если для любой неубывающей последовательности {a_n} образ её точной верхней грани равен точной верхней грани образов f(a_n);

Частично упорядоченное множество называется индуктивным, если содержит наименьший элемент и всякая неубывающая последовательность элементов имеет точную верхнюю грань.

7.2. Т. О гомоморфизме колец.

K – кольцо. L – идеал.

a->a+L => Ker f=L;

9.1. Поле – это мн-во K с двумя бинарными операциями, называемых сложением и умножением, удовлетворяющих следующим св-вам:

Для любых a,b,cэK

1) (a+b)+c=a+(b+c)

2) a+b=b+a

3) сущ-ет 0эK, для любого a a+0=a

4) для любого a сущ-ет –aэK, a+(-a)=0

5) (ab)c=a(bc)

6) ab=ba

7) сущ-ет 1эK, для любого a, 1*a=a

8) для любого a<>0, сущ-ет a^-1эK, a*a^-1=1

9) a(b+c)=ab+ac

Кольцо – множество с 2мя бинарными операциями, на котором определены 2 бинарные операции (K, +, *).

(K, +) – абелева группа.

(K, *) – полугруппа(группоид)

a(b+c)=ab+ac; (b+c)a=ba+ca;

Полукольцом называется множество элементов произвольной природы, на котором определены 2 бинарные операции, такие что:

1) “+” S – абелев моноид, т.е. сущ-ет 0, 0+а=а+0=а, для любого аϵS (“+”-ассоциат.)

2) “*” S – моноид.

3) a(b+c)=ab+ac ;

4) (b+c)a=ba+ca;

9.2. Т. О гомоморфизме. f: G₁->G₂ – гомоморфизм групп. =>