4

к Упр 6 Сем 2 2007

Задания на корни, интегралы, экстремумы

Задания на корни, интегралы, экстремумы

При выполнении всех заданий проверить работу программы, выполнив вычисления и построив графики функций в Excel.

Порядок выполнения

1. Отладить программу для функций, вычисляющих sin(x), tg(x), x+x, x*(x-2), разместив все модули в одной папке. Скопировать все файлы с именем Funkcii в подчинённую папку OldFunkcii и удалить исполняемый файл программы. Убедиться, что программа не выполняется. Командой меню Project\ Remove from Project… удалить из проекта модуль . Командой меню Project\ Add to Project… добавить в проект модуль из папки, куда он был перемещен. Убедиться, что программа работает.

2. Создать в подчинённой папке NewFunkcii новый модуль Funkcii с новыми функциями (по своему варианту задания) и заменить им, используя команды меню Project, прежний модуль .

Задания на корни и интегралы (требуют проверки)

Составить программу нахождения корня уравнения (см. ниже в таблице) с заданной точностью ε двумя указанными методами. Если за заданное число N шагов точность не будет достигнута, то вывести соответствующее сообщение, иначе – вывести найденное значение корня, число шагов, за которое оно было найдено, и значение функции в корне.

Перед выполнением метода проверить возможность его использования при введённом начальном приближении (для метода половинного деления – для приближения слева и справа от корня). В правом столбце таблицы для каждого уравнения приведены приближенные значения корней, на которых требуется проверить работу программы (начальное приближение для поиска корня следует брать несколько меньше и/или несколько больше такого значения). Следует иметь в виду, что не каждый метод и не при каждом начальном приближении приводит к ближайшему корню, что некоторые корни вообще не могут быть найдены методом, что разные методы при одинаковых начальных приближениях могут приводить к разным результатам, что возможны исключения, которые следует обработать не прерывая работы программы.

№	Методы	Уравнение	Начальные приближения
1	итераций и касательных		-1,5; 0; 1,5
2	итераций и половинного деления		-2,9; 0; 2,2
3	касательных и половинного деления		0,15; 3,2
4	итераций и касательных		-1; 0; 1
5	итераций и половинного деления		-1; 0,2; 0,95
6	касательных и половинного деления		-4; 0,76
7	итераций и касательных		-2,3; 0; 2,3
8	итераций и половинного деления		1,4; 1,7
9	касательных и половинного деления		-4,7; 1,5; 4,7
10	итераций и касательных		0,9; 2,2; 1,38
11	итераций и половинного деления		-1,8; -1,15
12	касательных и половинного деления		-1; 2
13	итераций и касательных		1,3; 12,7
14	итераций и половинного деления		-2,75; 3,8
15	касательных и половинного деления		0,57
16	итераций и касательных		1
17	итераций и половинного деления		-1,98; 0,45
18	касательных и половинного деления		0,57
19	итераций и касательных		-1,15; 1,84
20	итераций и половинного деления		-0,95; 0; 0,95
21	касательных и половинного деления		2,55
22	итераций и касательных		0,33
23	итераций и половинного деления		-0,17
24	касательных и половинного деления		0,61
25	итераций и касательных		0,93
26	итераций и половинного деления		-0,98; 0; 1,47
27	касательных и половинного деления		1,49
28	итераций и касательных		-1,1; 1,57; 6,25
29	итераций и половинного деления		-3,8; 1,3
30	касательных и половинного деления		-0,19; 0,51; 1,3

Задания экстремумы (требуют проверки)

Во всех заданиях не использовать аналитических формул производных заданных функций. Вычисленные значения выводить с поясняющими текстами.

1. Составить программу вычисления максимального и минимального значений функции Y=X³-18X²-10X+7 и соответствующие значения аргумента при его изменении на интервале от –4 до 16 с шагом 0,01.

2. Составить программу вычисления значения аргумента, изменяя его на интервале от -1 до 2,5 с шагом 0,001, при котором функция Xsin⁵ (3X) имеет минимальное по абсолютной величине значение производной.

3. Составить программу вычисления максимального значения экстремума-минимума функции X^1/3sin²(10X) и соответствующего значения аргумента при его изменении на интервале от 0,06 до 2,32 с шагом 0,001.

4. Составить программу вычисления минимального расстояния между экстремумами-максимумами функции и соответствующих значений функции при изменении X на интервале от 8 до 18 с шагом 0,001.

5. Произвольные значения от –3,4 до 1,1 аргумента функции Y=X⁵-18X³-22X² находятся в массиве X(n), n≤20. Составить программу вычисления максимального и минимального значений функции, а также соответствующих значений элементов массива Х и их индексов.

6. Известно, что в интервале от –2 до 8,5 уравнение cos(2,5X)sin²X +0,2=0 имеет несколько корней и что в каждом корне производная функции меньше -1000. Составить программу нахождения корня, в котором производная функции имеет максимальное значение.

7. Известно, что в интервале от –14 до 19 функция имеет несколько точек перегиба со значениями производной в них больше –500. Составить программу нахождения точки перегиба, в которой производная функции имеет максимальное значение.

8. Составить программу вычисления минимального расстояния между соседними корнями уравнения , изменяя X на интервале от 1,2 до 16 с шагом 0,0001.

9. Составить программу вычисления значения аргумента, изменяя его на интервале от 6 до 12 с шагом 0,001, при котором производная функции Y=X^0,2·sin² X·cos(3X) имеет минимальное по абсолютной величине значение в точке перегиба.

10. На интервале от -0,5 до 0,3 функция имеет несколько экстремумов. Требуется найти, изменяя аргумент с шагом dX, пару точек экстремума, разность значений функции в которых минимальна.

11. Составить программу вычисления максимального расстояния между экстремумами-минимумами функции и соответствующих значений функции при изменении X на интервале от 2 до 8 с шагом 0,001.

12. На интервале от –1,8 до 1,9 функция Y=cos(5X)·sin²X имеет несколько экстремумов. Требуется найти, изменяя аргумент с шагом dX, точку экстремума-минимума с максимальным значением функции.

13. Составить программу вычисления минимального положительного значения функции Y=10-(2X³+7X²-3X⁴)sin(12X) и соответствующие значения аргумента при его изменении на интервале от –1,5 до 2,2 с шагом 0,001.

14. Найти локальное минимальное приращение расстояния от точки с координатами (Xt,Yt) до кривой Y=X⁵-18X³-22X², изменяя X на интервале от -3 до 0,2 с шагом 0,05.

15. Составить программу вычисления максимального расстояния между корнями уравнения 2cos(2X)+XsinX+0,4=0 с положительным приращением функции в соседних точках, изменяя X на интервале от -2 до 3 с шагом 0,0001.

16. На интервале от 8 до 16 функция Y=cos(5X)sin²X имеет несколько экстремумов. Требуется найти, изменяя аргумент с шагом dX, точку экстремума с максимальным значением функции.

17. В массивах X(N), Y(N), N≤30, заданы координаты точек на плоскости. Найти такое i≤N, для которого расстояние от точки (X_i,Y_i) до прямой aX+bY+c=0 минимально.

18. Изменяя аргумент функций Y1=Xsin(5X) и Y2=e^xcos²(2X) на интервале от 0 до 4,15 с шагом 0,0001, найти минимальное расстояние между их экстремумами.

19. Изменяя аргумент функции Y=Xcos(12X)-X*sin(X) на интервале от -1 до 1 с шагом 0,0001, найти минимальное и максимальное её приращения и соответствующие им значения аргумента.

20. Найти минимальное расстояние от точки с координатами (Xt,Yt) до прямых a_iX+b_iY+c_i=0, i=1, 2,…,10, используя формулу расстояния от точки (Xt,Yt) до прямой aX+bY+c=0.

21. На интервале от -2 до 6 функция Y=cos(2,5X)sin²X имеет несколько экстремумов. Требуется найти, изменяя аргумент с шагом dX, точку экстремума-максимума с минимальным значением функции.

22. Составить программу вычисления максимального отрицательного значения функции Y= sin ⁵ (3X) +15Xsin⁴(3X)cos(3X) и соответствующие значения аргумента при его изменении на интервале от –4 до 16 с шагом 0,001.

23. Составить программу вычисления минимального расстояния между корнями уравнения 1/(2cosX+Xsin(2X))-0,4=0 с положительным приращением в их окрестностях, изменяя X на интервале от –1,5 до 7 с шагом 0,0001.

24. На интервале от -1 до 8 функция Y=cos(2,5X)sin²X+0,5 имеет несколько экстремумов-минимумов. Требуется найти, изменяя аргумент с шагом dX, минимальный положительный из таких экстремумов и соответствующее значение X

25. Найти минимальное расстояние от точки с координатами (Xt,Yt) до кривой Y=X²sin(9X), а также соответствующую точку (Xmin,Ymin) на этой кривой.

4