151436 (Динамика работы и расчет времени срабатывания электромагнита постоянного тока с пользованием математического пакета MathCad в среде Windows)

27

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ и ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Кафедра «Электротехнических систем электропотребления»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

по дисциплине

Электрические аппараты

Тема

Динамика работы и расчет времени срабатывания электромагнита постоянного тока с пользованием математического пакета MathCad в среде Windows

Выполнил:

студент ЭСЭ23В класса

Левицкий П.В.

Севастополь 2008

ПЛАН

1. Вступление. Теоретические положения расчета динамики электромагнитов постоянного тока

2. Расчет времени трогания электромагнита постоянного тока

2.1 Схемы включения электромагнита постоянного тока

2.2 Уравнение динамики и время трогания электромагнита постоянного тока при прямом включении катушки электромагнита под напряжение

2.3 Уравнение динамики и время трогания электромагнита постоянного тока при включении по схеме ускоренного процесса срабатывания

2.3.1 Определение изменения тока и напряжения во времени численным методом

2.3.2 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа

2.3.3 Решение с использованием передаточной функции.

2.4 Уравнение динамики и время трогания электромагнита постоянного тока при включении по схеме замедления процесса срабатывания

2.4.1 Определение изменения тока и напряжения во времени численным методом

2.4.2 Определение изменения тока и напряжения во времени операторным методом

2.4.3 Аналитический метод определения времени трогания якоря электромагнита по графику

2.4.4 Решение с использованием передаточной функции

3.Заключение

1. Вступление. Теоретические положения расчета динамики электромагнитов постоянного тока

В таблице 1 даны конструктивные параметры электромагнита и элементов схем ускорения и замедления срабатывания электромагнита.

Таблица 1.

Динамика срабатывания электромагнита постоянного тока.

Процесс срабатывания электромагнитов имеет динамических характер. Чтобы охарактеризовать динамический режим работы электромагнита, необходимо иметь зависимость изменения тока в обмотке и пути, пройденного якорем от времени.

Время срабатывания электромагнита – это время с момента подачи напряжения на катушку электромагнита до момента остановки якоря.

.

где tтр - время трогания и tдв- время движения.

В обычных конструкциях электромагнитов время срабатывания

мсек

Рис.1.1. Электромагнит постоянного тока с обмоткой напряжения

После включения цепи, напряжение источника уравновешивается активным падением напряжения и противо-э.д.с. обмотки. При начальном неподвижном положении якоря, рабочий зазор δ относительно велик, поэтому магнитную цепь можно считать ненасыщенной, а индуктивность обмотки

; .

Решение этого уравнения имеет вид: ,где установившиеся значение тока, - постоянная времени цепи.

Ток обмотки, при котором начинается движение якоря, называется током трогания ( т. а рис.2.), а время нарастания тока от нуля до - временем трогания .Уравнение тока для момента трогания можно записать в виде: . Решив это уравнение относительно времени трогания, получим . Таким образом, время трогания пропорционально постоянной времени Т. Изменение тока до момента трогания происходит по экспоненте с постоянной времени Т. При движении якоря , поэтому начинает уменьшаться, поскольку напряжение источника питания U постоянно. (а-b)- изменение тока при движении якоря. Точка b, на кривой 2, соответствует полному срабатыванию . Спад тока прекращается. После остановки якоря ток будет меняться по закону , где - постоянная времени при .Так как соответствует замкнутому состоянию магнитопровода, а Т – разомкнутому, то .

Динамика отпускания якоря электромагнита постоянного тока

При размыкании цепи обмотки электромагнита магнитный поток уменьшается, и в момент, когда сила тяги электромагнита становится меньше усилия пружины, происходит отпускание якоря. Время отпускания t_отп состоит из времени спада потока t_сп от установившегося Ф_у до потока отпускания Ф_отп и времени движения t_дв. t_отп = t_сп + t_дв ; Движение происходит за счет усилия противодействующей пружины. Принимая усилие противодействующей пружины постоянным Р_пр.ср = (Р_к + Р_н) / 2 , где, Р_к и Р_н - усилия пружины при и , то движение якоря описывается уравнением , где, а – ускорение; а = Р_пр.ср / m. Тогда время движения якоря .

На рис.1.2. представлен график полного цикла включения и отключения электромагнита постоянного тока.

Рис.1.2. График полного цикла включения и отключения электромагнита

2. Расчет времени трогания электромагнита постоянного тока

2.1 Схемы включения электромагнита постоянного тока

На рис.2.1. показаны схемы включения электромагнита постоянного тока: а) прямое включение катушки электромагнита под напряжение; б) включение электромагнита по схеме ускоренного срабатывания; в) включение электромагнита по схеме замедленного срабатывания.

Рис.2.1. Схемы включения электромагнита постоянного тока.

2.2 Уравнение динамики и время трогания электромагнита постоянного тока при прямом включении катушки электромагнита под напряжение (схема рис.2.1, а)

Чтобы охарактеризовать динамический режим работы электромагнита найдём зависимость изменения тока в обмотке от времени.

Математические описания схемы для интервала времени от начала подачи напряжения на катушку электромагнита до момента начала движения якоря электромагнита выглядит так:

; ; ;

где: - постоянная времени катушки электромагнита;

L=75 Гн, R= 950 Ом Т=0,07895

- установившееся значения тока.

U=220В, R= 950 Ом Iу=0,23158 А

2.2.1 Определение изменения тока во времени

;

;

; ; ; ;

;

;

Рис.2.2 График изменения тока в катушке электромагнита, включенной непосредственно на напряжение питания

Определение времени трогания якоря электромагнита:

;

Т.е якорь начинает двигаться через 0,042с с момента подачи U.

Определение тока трогания:

Это же подтверждается и графиком (рис.2.3.) построенным по уравнению с использованием Mathcad

Рис.2.3. График изменения тока в катушке электромагнита, включенной непосредственно на напряжение питания и ток трогания.

2.3 Уравнение динамики и время трогания электромагнита постоянного тока при включении по схеме ускоренного процесса срабатывания (схема рис.2.1,б):

Чем меньше активное сопротивление цепи, тем быстрее срабатывает электромагнит. Для уменьшения сопротивления R при неизменной индуктивности L и неизменных размерах электромагнита применяется добавочный резистор Rдоб, который шунтирован размыкающим контактом или конденсатором Сдоб.

Уравнения, описывающие схему :

Запишем уравнение данной схемы относительно тока в операторной форме:

Для обеспечения апериодического переходного процесса необходимо, чтобы корни знаменателя были вещественными. Это возможно, когда: . Это уравнение решается в MACHCAD относительно С. При ( мкф ) апериодический процесс изменения тока в катушке будет оптимальным.

Так для численных данных параметров схемы С_опт будет иметь численное значение в фарадах:

2.3.1 Определение изменения тока и напряжения во времени численным методом

Численный метод состоит в составлении системы дифференциальных уравнений, описывающей работу электромагнита. Далее эта система решается с помощью MACHCAD, с использованием матрицы системы. Матрица системы составляется из коэффициентов дифференциальных уравнений. Отдельно составляется матрица начальных условий.

Уравнение

можно записать и в виде уравнений в нормальной форме Коши:

СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать задачу Коши различными численными методами.

• rkfixed(y0, t0, t1, N, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,

• Rkadapt(y0, t0, t1, N, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

• Buistoer(y0, t0, t1, N, D) — метод Булирша-Штера;

  • у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;

  • t0 — начальная точка расчета, t1 — конечная точка расчета,

  • N — число шагов, на которых метод находит решение;

  • D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у. При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.

Воспользуемся функцией Rkadapt(y0, t0, t1, N, D) -получим матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 (зададим от 0 до 5 сек) при N фиксированных шагах решения (пусть N=1000), вектор заданных начальных условий X0 (нулевые условия). Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Применим функцию: Rkadapt