150451 (Колебания маятника с различными механизмами затухания)

Введение

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определенный период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля - не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

Целью данной курсовой работы является изучение колебаний маятника с различными механизмами затухания на примерах физического и пружинного маятников, где физический маятник - тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, а пружинный маятник может быть осуществлен в виде груза массой m и невесомой пружины жесткостью k.

Реализовать поставленную цель можно решив ряд задач:

- определение исходных теоретических положений;

- изучение и анализ литературы, посвященной данным проблемам;

Объектом данной курсовой работы является маятник. Предметом – колебания маятника с различными механизмами затухания.

Для решения постановленных задач использовались научные труды следующих авторов: Андронова А.А., Витта А.А., Хайкина С.Э., Анищенко В.С., Боголюбова Н.Н., Митропольского Ю.А., Владимирова С.Н., Майдановского А.С., Новикова С.С., Горелика Г.С., Дмитриева А.С., Кислова В.Я., Капранова М.В., Кулешева В.Н., Уткина Г.М., Ланда П.С., Мигулина В.В., Медведева В.И., Неймарка Ю.И., Рабиновича М.И., Трубецкова Д.И. и некоторых других.

1. Уравнения собственных затухающих колебаний маятника

1.1 Общие характеристики колебаний

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.⁰ Далее рассмотрим затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называют собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t)=Аоexp (-?t) (? - показатель затухания из-за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому сопротивлению для электромагнитных затухающих колебаний). Количественно затухающие колебания характеризуются декрементом затухания ?, добротностью Q = ?/? и временем затухания ? = 1/?, за которое амплитуда затухающих колебаний убывает в e = 2,73 раза.⁰

Затухание колебаний, уменьшение интенсивности колебаний с течением времени, обусловлено потерей энергии колебательной системой. Простейшим случаем уменьшения энергии колебания является превращение ее в тепло вследствие трения в механических системах и сопротивления в электрических системах. В последних, затухание колебаний происходит также вследствие излучения электромагнитной энергии. Закон затухания колебаний определяется характером потерь энергии и другими свойствами системы. Наиболее изученным является случай, когда затухание колебаний обусловлено уменьшением энергии, пропорциональным квадрату скорости движения в механической системе или соответственно квадрату силы тока в электрической системе, это справедливо для линейных систем. В этом случае затухание колебаний имеет экспоненциальный характер, т.е. размахи колебаний убывают по закону геометрической прогрессии.

Потери энергии в системе, вызывая затухание колебаний, нарушают их периодичность, поэтому затухающие колебания не являются периодическим процессом и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако, когда затухание мало, состояния в системе приблизительно повторяются и можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими прохождениями колеблющейся физической величины (тока, напряжения, размаха колебаний маятника и т.д.) в одну и ту же сторону через максимальное значение. Оценку относительного уменьшения амплитуды колебаний за период дает логарифмический декремент затухания. Скорость затухание колебаний связана с добротностью колебательной системы.

Д екремент затухания – количественная характеристика быстроты затухания колебаний. Декремент затухания d равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений х колеблющейся величины в одну и ту же сторону: .

Декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Например, если d=0,01, то амплитуда уменьшится в е раз после 100 колебаний. Декремент затухания характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний, а не время такого затухания. Полное время затухания определяется отношением Т/d.⁰

Добротность колебательной системы, отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы, т.к. чем больше Добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Добротность колебательной системы Q связана с логарифмическим декрементом затухания d. При малых декрементах затухания Q»p/d. В колебательном контуре с индуктивностью L, емкостью C и омическим сопротивлением R добротность колебательной системы

г де w - собственная частота контура. В механической системе с массой m, жесткостью k и коэффициентом трения b.

Добротность колебательной системы

Добротность - количественная характеристика резонансных свойств колебательной системы, указывающая, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т. е. в области столь низких частот, где амплитуду вынужденных колебаний можно считать не зависящей от частоты. На этом свойстве основан метод измерения Добротность колебательной системы величина добротности характеризует также и избирательность колебательной системы. Чем больше добротность, тем уже полоса частот внешней силы, которая может вызвать интенсивные колебания системы.

Экспериментально добротность колебательной системы обычно находят как отношение частоты собственных колебаний к полосе пропускания системы, т.е. Q=w/Dw.

Численные значения добротности колебательной системы:

- для радиочастотного колебательного контура 30 - 100;

- для камертона 10000;

- для пластинки пьезокварца 100000;

- для объемного резонатора СВЧ колебаний 100 - 100000.⁰

1.2 Уравнение собственных затухающих колебаний физического и пружинного маятников

Рассмотрим движение груза, жестко зафиксированного на подвесе (металлическом стержне), закрепленном в точке O (см. приложение 1). Система «груз – подвес» в общем случае представляет собой физический маятник. Точку крепления этого маятника условно назовем точкой подвеса.

Опыт показывает, что физический маятник, выведенный из положения равновесия, совершает вращательные колебания. Согласно основному закону динамики вращательного движения произведение момента инерции системы «груз – подвес» на угловое ускорение маятника равно равнодействующему моменту внешних сил: силы тяжести m·g и силы сопротивления F_c (момент силы деформации растяжения тела N равен нулю). Спроецировав это уравнение на направление оси вращения, для случая малых колебаний получим следующее выражение:

I·a" = M + M_c = - k·a - h·a', (1)

где α(t) - угол отклонения колеблющегося груза, отсчитываемый от положения равновесия;

α' и α" - соответственно угловая скорость и угловое ускорение маятника;

k и h - размерные константы;

I - момент инерции системы «груз – подвес»;

М = -m^.g^.r^.sin(α) = -k^.sin(α) - момент возвращающей силы (для малых колебаний М = -k^.α);

M_c = -h^.α' - момент сил сопротивления (выражение справедливо для малых угловых скоростей).⁰

Поделив левую и правую части уравнения (1) на величину I и перенеся все слагаемые в левую часть, получим соотношение, аналогичное выражению, описывающему движение собственных затухающих колебаний груза на пружине.

a" + w₀²·a + 2b·a' = 0, (2)

где b = h/2I - коэффициент затухания;

w₀ = (k/I)^1/2 - собственная частота колебаний груза.

Решение уравнения (2) имеет вид:

a(t) = a₀·e^-bt·sin(w·t + j), (3)

где w = (w₀² - b²)^1/2 - частота затухающих колебаний груза.

Как видно из уравнения (3) амплитуда углового смещения будет уменьшаться (затухать) с течением времени по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяет быстроту этого процесса. Он равен промежутку времени по истечении которого, амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Далее рассмотрим уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника.

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m и невесомой пружины жесткостью k.

Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия.

(второй закон Ньютона)

Данное уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Принято записывать его в следующем, так называемом каноническом виде:

- коэффициент затухания, - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.

Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j₀.

2. Движения маятника с различными механизмами затухания

При исследовании собственных колебаний предполагается отсутствие внешней среды. Наличие среды приводит к появлению диссипативной силы, которая, как мы показали, постепенно уменьшает первоначально переданную системе энергию. Это выражается через уменьшение собственной частоты колебаний ω₀, также как постепенным уменьшением амплитуды колебаний.

Примечание: во избежание путаницы нумерация формул останется такой же как в научной литературе.⁰

Пусть на колеблющееся тело действует сила мокрого трения:

,