150366 (Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем)

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

Кафедра нелинейной физики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Исследование индуцированной шумом синхронизации в системах с дискретным временем

студента 3 курса факультета нелинейных процессов

Костакова Алексея Александровича

Научный руководитель

ассистент ______________________ О.И. Москаленко

Зав. кафедрой,

профессор, д.ф.-м.н. ______________________ Ю.П. Шараевский

Саратов – 2008

Содержание

Введение

Синхронизация колебаний

Цель работы

Синхронизация, индуцированная шумом

Численное моделирование

Вывод

Список литературы

Введение

Одна из главных тенденции в мире ‑ тенденция к достижению общих ритмов взаимного поведения или, другими словами, тенденция к синхронизации. Под синхронизацией обычно понимается процесс достижения связанными объектами различной природы общего ритма функционирования.

С проявлением синхронизации можно встретиться в физике, биологии, химии, технике, экономике, науках о жизни, медицине и т.д. Возможна синхронизация как двух элементов, так и в ансамблях, состоящих из сотен и тысяч элементов. В радиофизике интенсивно исследуется коллективное поведение лазеров, микроволновых генераторов, сверхпроводящих джозефсоновских контактов. В радиотехнике, радиоизмерениях и радиосвязи синхронизация используется для синтеза и стабилизации частоты генераторов, для демодуляции сигналов в доплеровских системах, в системах точного времени и т.д. В механике эффект синхронизации нашел широкое применение при конструировании различных вибро-технических устройств. В качестве примеров биологических ансамблей, в которых наблюдается синхронизация, приведем: колонии одновременно вспыхивающих светлячков; клетки, формирующие сердечный ритм; вырабатывающие инсулин клетки в поджелудочной железе; группы сверчков, щебечущих в унисон; ячейки в тонкой кишке млекопитающих; нейронные ансамбли, обеспечивающие ритмичную деятельность в мозгу и т.д. Проблемы синхронизации также очень важны при проектировании компьютеров с параллельной архитектурой. Синхронизации имеет место в химических колебаниях и волнах в реакции Белоусова-Жаботинского.

В связи с чрезвычайно широким распространением синхронизации в природе, науке и технике потребность изучения этого явления и его применений обусловила появление специального раздела в теории нелинейных колебаний и волн ‑ теории синхронизации.

Синхронизация колебаний

Синхронизация колебаний – одно из важнейших нелинейных явлений, привлекающих к себе широкое внимание исследователей, имеющих как теоретическое, так и практическое значение (например, в биологических и физиологических задачах, при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов, при управлении системами сверхвысокочастотной электроники и т.п.).

С развитием теории динамического хаоса было выявлено достаточно различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем:

• фазовая синхронизация

• обобщенная синхронизация

• лаг-синхронизация

• перемежающаяся фазовая синхронизация

• перемежающиеся лаг-синхронизация

• перемежающаяся обобщенная синхронизация

• полная синхронизация

Каждый из этих типов синхронной хаотической динамики имеет свои особенности и способы диагностики, при этом в научной литературе активно обсуждается вопрос о взаимосвязи этих типов синхронного поведения. Разные типы синхронизации связанных хаотических осцилляторов могут рассматриваться как различные виды проявления единых закономерностей, возникающих в связанных нелинейных системах.

Цель работы

Целью работы является изучение индуцированной шумом синхронизации: определение и методы ее диагностики. А также построить программу, с помощью которой можно наблюдать явление индуцированной шумом синхронизации, для двух отображений:

1. ¹, где

2. ², где

А также построить для этих отображений зависимость ляпуновской экспоненты от параметра связи ; и сравнить пороговое значение (т.е. при котором становится отрицательным) с результатами, полученными с помощью программы. А также сравнить полученные мной данные с результатами приведенными в [1] и [2].

Синхронизация, индуцированная шумом

Под режимом синхронизации, индуцированной шумом, понимается следующее: случайный сигнал , действующий на две независимые, но идентичные хаотические системы и (с разными начальными условиями и , лежащими в бассейне притяжения одного и того же хаотического аттрактора), может приводить к тому, что эти системы “синхронизуются” друг с другом, то есть после завершения переходного процесса они начинают демонстрировать идентичное поведение .

Но установление синхронной динамики двух систем с общим источником шума возможно лишь в том случае, когда все условные ляпуновские экспоненты оказываются отрицательными.

Далеко не всегда удается наблюдать синхронизацию, индуцированную шумом, в хаотических осцилляторах, поскольку хаотические системы должны обладать определенными свойствами (сильное сжатие фазового объема в фазовом пространстве, ограниченная область фазового пространства, где наблюдается увеличение фазового объема и др.)

Механизмы возникновения

Возможны два похожих механизма, приводящих к возникновению режима индуцированной шумом синхронизации:

1. Случайный сигнал имеет ненулевое среднее, что фактически переводит систему в нехаотический режим, при котором состояние системы просто ‘следует’ за внешним случайным возмущением .

2. Внешний сигнал большой интенсивности (может быть, даже с нулевым средним значением) переводит изображающую точку в области фазового пространства с большим сжатием фазового потока, которая находится в этих областях большую долю времени, в результате чего в среднем имеет место сходимость соседних траекторий.

В обоих случаях определяющую роль играет сжатие фазового потока, при этом условные ляпуновские экспоненты имеют отрицательные значения.

Связь обобщенной синхронизации и синхронизации,

индуцированной шумом

Режим обобщенной синхронизации означает, что между состояниями взаимодействующих однонапрвленно связанных ведущего и ведомого хаотических осцилляторов (с непрерывным или дискретным временем), существует такая функциональная зависимость , что после завершения переходного процесса устанавливается функциональное соотношение .

Сам вид данной зависимости (гладкая или фрактальная) может быть достаточно сложным, а процедура ее нахождения весьма нетривиальна. Выделяют сильную и слабую обобщенную синхронизацию. Следует отметить, что в качестве взаимодействующих осцилляторов могут выступать две разные динамические системы, в том числе и с различной размерностью фазового пространства.

Очевидно, что режим обобщенной хаотической синхронизации и режим синхронизации, индуцированной шумом, несмотря на то, что традиционно считаются разными явлениями, на самом деле обусловлены проявлениями одного и того же механизма и вызваны одной и той же причиной – подавлением собственных хаотических колебаний с помощью дополнительного введения диссипации (либо с помощью ненулевого среднего значения шума в случае индуцированной шумом синхронизации, либо с помощью дополнительного диссипативного слагаемого в случае режима обобщенной синхронизации, либо смещением изображающей точки системы в области фазового пространства с сильной диссипацией).

Численное моделирование

Описание рассмотренных систем

1. Логистическое отображение под воздействием шума:

³, где (1)

Значение управляющего параметра , - параметр связи.

Случайная величина подчиняется нормальному распределению , где , .

Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:

1. Одномерное отображение вида:

⁴, где (2)

Значение управляющего параметра , - параметр связи

Случайная величина подчиняется нормальному распределению , где, .

Бифуркационная диаграмма для данного отображения имеет вид:

Результаты, полученные с помощью созданной программы

1. Для отображения , где при

Видно, что в случае малого параметра связи ( ) обе системы в один момент дискретного времени принимают разные значения (точки, характеризующие состояние систем, распределены по плоскости (y,z)), а следовательно не существует функциональной зависимости между случайным процессом и состоянием динамической системы.

С увеличением параметра связи : точки соответствующие состояниям систем, лежаться на диагональ y=z, что свидетельствует о наличии синхронного поведения в системе.

1. Для отображения , где , при получаем аналогичные результаты: при синхронизации не наблюдается:

Но с увеличением параметра связи ε=0.2 появляется функциональная зависимость, что свидетельствует об установлении режима индуцированной шумом синхронизации.

С помощью данной программы было найдено, что порог синхронизации индуцированной шумом: