150361 (Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы), страница 2

Учитывая (3.1.4) и (3.1.6), кинетический момент системы равен:

(3.1.7)

Продифференцируем выражение (3.1.7):

(3.1.8)

Подставив найденные значения в (3.1.2), теорема об изменении кинетического момента примет вид:

(3.1.9)

3.2 Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

При действии внешнего момента , обеспечивающего равномерное вращение механической системы вокруг шарнира , последнее слагаемое в левой части равенства (3.1.9) обращается в нуль:

, ; отсюда .

Тогда выражение (3.1.9) примет вид:

(3.2.1)

направлен противоположно главному моменту внешних сил, то есть, против часовой стрелки.

Внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение конструкции, равен:

(3.2.2)

В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 3).

4. Определение реакций в опорах вращающегося тела

Определим реакции в опоре вращающегося тела методом кинетостатики. Он заключается в решении задачи динамики средствами (уравнениями) статики. Для каждой точки механической системы справедливо основное уравнение динамики:

(4.1)

Здесь и – масса и ускорение некоторой точки системы; – сумма всех активных сил и реакций связей, приложенных к ней.

Основному уравнению динамики (4.1) можно придать вид уравнения статики:

(4.2)

Здесь – сила инерции точки механической системы.

Рисунок 4.1. Определение реакций в опорах вращающегося тела

Для заданной механической системы уравнение статики (4.2) имеет вид:

(4.3)

Для определения реакции шарнира нам необходимо и достаточно взять за координатные оси – неподвижные оси и , и определить составляющие реакции шарнира на эти оси:

(4.4)

Отсюда:

Подставив значения сил, получим:

(4.5)

Теперь спроецируем (4.2) на неподвижную ось :

(4.6)

Отсюда:

Подставив известные значения сил, получим:

(4.7)

Полную реакцию в шарнире можно найти по формуле: , где и определяются выражениями (4.5) и (4.7); график её зависимости от времени приведён в приложении к курсовой работе (рис. 4).

5. Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа II рода

5.1 Составление уравнений движения системы методом Лагранжа

Уравнения второго рода являются одним из наиболее удобных приёмов составления уравнений движения механических систем. Они имеют следующий вид:

(5.1.1)

Здесь – кинетическая энергия системы; , , , – обобщённые координаты, скорости и силы соответственно; – число степеней свободы.

Уравнения (5.1.1) образуют систему уравнений второго порядка относительно функций , а порядок данной системы равен . Форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщённых координат . В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством инвариантности.

Как видно из (5.1.1), для получения уравнений Лагранжа необходимо найти соответствующие производные от кинетической энергии системы и определить обобщённые силы.

Определим кинетическую энергию системы. Она будет складываться из кинетических энергий треугольника и шарика: .

Подставив значение из (3.1.5), получим:

(5.1.2)

Кинетическая энергия шарика определяется его массой и относительной и переносной скоростями:

С учётом известных значений скоростей, получим:

(5.1.3)

Кинетическая энергия системы равна:

(5.1.4)

Найдём производные от кинетической энергии согласно (5.1.1):

(5.1.5) (5.1.6)

(5.1.7) (5.1.8)

Рисунок 5.1.1. Определение кинетической и потенциальной энергий системы

Теперь, исходя из (5.1.1), нужно определить обобщённые силы. Данная механическая система является консервативной, мы можем определить обобщённые силы через потенциальную энергию по формуле:

(5.1.9)

Найдём потенциальную энергию. Она будет складываться из работ консервативных сил по перемещению тела из нулевого положения: . За нулевой уровень потенциальной энергии выберем начальный момент времени, при :

– энергия положения шарика;

– энергия положения прямоугольника;

– потенциальная энергия силы упругости;

Потенциальная энергия системы равна:

(5.1.10)

Найдём обобщённые силы:

(5.1.11)

(5.1.12)

Теперь можем записать систему уравнений Лагранжа II рода:

(5.1.13)

(5.1.14)

5.2 Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точки

(5.1.13) и (5.1.14) – это система уравнений Лагранжа II рода; первое из них представляет собой дифференциальное уравнение относительного движения. При сравнении (5.1.13) с уравнением относительного движения (2.7) видно, что уравнения тождественны:

(2.7)

(5.1.13)

5.3 Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

(5.1.14) – это уравнение уравнения движения твердого тела без ограничения на закон изменения угловой скорости вращения. Определим величину внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение:

(5.1.14)

При действии внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение, уравнение (5.1.14) примет вид:

(5.3.1)

Отсюда:

(5.2.2)

Сравним с полученным ранее значением:

(3.2.2)

Итак, два разных способа определения внешнего момента дали один результат.

6. Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчивости

Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение. Колебания – это повторяющиеся движения механической системы относительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени. В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного).

Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

Согласно основному уравнению статики, для того чтобы механическая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:

(6.1)

– обобщённые силы; – число обобщённых координат в механической системе.

В нашем случае механическая система находится в потенциальном силовом поле; из уравнений (6.1) получаем следующие условия равновесия:

(6.2)

Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения. Достаточные условия устойчивости положений равновесия для консервативных систем определяются теоремой Лагранжа – Дирихле: «Положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в нём потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум».

Определим положения равновесия для заданной механической системы, используя ранее найденные обобщённые силы (5.1.11) и (5.1.12) из системы уравнений:

(6.4)

Решение системы средствами MathCAD приведено в приложении Б к курсовой работе.

Для нашей механической системы имеем:

Первое положение равновесия: , .

Второе положение равновесия: , .

Используя теорему Лагранжа – Дирихле определяем, что первое положение равновесия является не устойчивым, а второе – устойчивым.

Рисунок 6.1. Положения равновесия механической системы

Найдем вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам:

(6.5)

Для исследования устойчивости положения равновесия необходимо исследовать на знакоопределенность матрицу жесткости, составленную из значений выражения (6.5) в этом положении равновесия.

1)

Положение равновесия не устойчивое

2)

Положение равновесия устойчивое

Заключение

В данной курсовой работе была исследована механическая система с двумя степенями свободы. В результате были достигнуты изначально поставленные цели, а именно:

• получен закон относительного движения материальной точки;

• составлено уравнение движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента, определено значение внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение конструкции;

• найдены реакции в опорах вращающегося тела;

• проведено исследование движения механической системы с помощью уравнений Лагранжа II рода, в результате которого получены уравнение относительного движения материальной точки и закон изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости;

• определены положения равновесия механической системы и исследована их устойчивость;

В приложениях к курсовой работе приведены результаты численного интегрирования, а так же графики зависимостей определяемых величин.

Список использованных источников

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л. и др.: Курс теоретической механики, том 1 и том 2, Москва, «Наука», 1970.

2. Яблонский А.А., Норейко С.С.: Курс теории колебаний, Москва, Высшая школа, 1966.

3. Динамика точки и механической системы: Учебное пособие для курсового проектирования / Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А.; Под ред. проф. В.С. Асланова. – Самарский государственный аэрокосмический университет, Самара, 2001 – 84 с.