Министерство образования РФ

Самарский Государственный Аэрокосмический Университет имени академика С.П. Королева (Тольяттинский филиал)

Кафедра математики и механики

Курсовая работа по теоретической механике

по теме:

«Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы»

Тольятти 2006 г.

Содержание

Введение

1. Исходные данные

2. Исследование относительного движения материальной точки

3. Применение общих теорем динамики к исследованию движения механической системы

3.1. Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента

3.2. Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

4. Определение реакций в опорах вращающегося тела

5. Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа II рода

5.1. Составление уравнений движения системы методом Лагранжа

5.2. Получение дифференциального уравнение относительного движения материальной точки

5.3. Определение закона изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости

6. Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчивости

Заключение

Список использованных источников

Введение

Изучение теоретической механики как одной из фундаментальных физико-математических дисциплин играет важную роль в подготовке специалистов по механико-математическим и инженерным механическим направлениям. Оно позволяет будущим специалистам не только получить глубокие знания о природе, но и вырабатывает у них необходимые навыки для решения сложных научных и технических задач, для которых требуется построение математических моделей разнообразных механических систем, развивает способности к научным обобщениям и выводам.

Для закрепления навыков самостоятельного решения задач механики во втором семестре изучения теоретической механики студенты СГАУ выполняют курсовую работу, в которой необходимо провести комплексный анализ движения системы с двумя степенями свободы, пользуясь различными методами теоретической механики.

Теоретическая механика, как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самими материальными объектами, а их математическими моделями. Такими моделями являются материальные точки, системы материальных точек, твердые тела и деформируемая сплошная среда. В курсовой работе рассматриваются простейшие системы, которые состоят из твердых тел, совершающих простейшие движения, и перемещающейся по телу материальной точки.

1. Исходные данные

Сплошной равносторонний треугольник со стороной , имеющий массу вращается вокруг шарнира . В точке – середине канала , на пружине жёсткостью закреплён шарик массой . При вращении треугольника шарик может совершать колебательные движения вдоль канала .

Рисунок 1.1. Схема механической системы

2. Исследование относительного движения материальной точки

Движение материальной точки в подвижной системе отсчета описывается дифференциальным уравнением относительного движения:

(1.1)

Здесь – относительное ускорение материальной точки; – сумма всех внешних и внутренних сил; и – переносная и кориолисова силы инерции соответственно.

Свяжем подвижную систему отсчета с движущимся вдоль канала шариком. Ось проведём вдоль канала, причём возрастание координаты сонаправленно с движением шарика относительно трубки; а ось направим перпендикулярно ей. Вращение треугольника вместе с системой координат вокруг шарнира является переносным движением для шарика. Относительным движением является его перемещение вдоль канала .

Дифференциальное уравнение движения (2.1) для данной системы примет вид:

(2.2)

Рисунок 2.1. Исследование относительного движения материальной точки

Абсолютные значения сил:

;

, где ;

– при постоянной угловой скорости вращения , тогда , где – радиус вращения шарика вокруг шарнира ;

, т. к. угол между относительной и угловой скоростями прямой, отсюда , а направление определяется по правилу Жуковского.

Возьмём проекцию дифференциального уравнения относительного движения (2.2) на координатную ось подвижной системы координат:

(2.3)

Радиус переносного вращения шарика:

(2.4)

С учётом значений сил и формулы (2.4), уравнение (2.3) принимает вид:

Отсюда получаем значение реакции связи :

(2.5)

В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 2).

Теперь спроецируем дифференциальное уравнение (2.2) на координатную ось :

(2.6)

При подстановке известных значений получим:

(2.7)

Приведём (2.7) к следующему виду:

(2.8)

Здесь – это собственная частота. Для нахождения зависимости решим данное уравнение.

– решение искомого дифференциального уравнения будет складываться из общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения .

Общее решение имеете вид: (2.9).

Найдём частное решение уравнения (2.8), оно будет иметь вид: . Первая и вторая производные: , .

Подставляя частное решение и его производные в (2.8), получим:

Находим значения постоянных коэффициентов: , .

(2.10)

Тогда, исходя из (2.9) и (2.10), решение исходного дифференциального уравнения:

Для определения констант интегрирования, используем начальные условия:

, или ; откуда .

, или , откуда .

Подставив значения и , и сгруппировав слагаемые, получим дифференциальные уравнения относительного движения шарика и его скорости:

(2.11)

Здесь , , , , .

В приложении к курсовой работе изображён график зависимости (рис. 1).

3. Применение общих теорем динамики к исследованию движения механической системы

3.1 Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента

Механической системой называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек. Получаемые для системы материальных точек теоремы и соотношения можно распространить и на системы, состоящие из одного или нескольких взаимосвязанных твердых тел. Ограничения, накладываемые на движение точек и тел механической системы, называются связями. Исходя из принципа освобождаемости от связей, движение каждой точки системы можно рассматривать как движение свободной точки, если заменить действие связей реакциями этих связей. Тогда для каждой точки, согласно основному уравнению динамики материальной точки, имеем:

(3.1.1)

и – масса и ускорение некоторой точки механической системы; и – внешние и внутренние силы (уже включают в себя реакции связей).

Уравнение (3.1.1) – это основное уравнение динамики, следствием его являются теоремы о движении центра масс механической системы и об изменении количества движения, теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии. Теорема об изменении кинетического момента применяется для решения задач, в которых рассматривается движение механической системы, состоящей из центрального тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и одного или нескольких тел, движение которых связано с центральным. Связь может осуществляться при помощи нитей, тела могут перемещаться по поверхности центрального тела или в его каналах за счёт внутренних сил. С помощью данной теоремы можно определить зависимость закона вращения центрального тела от положения или движения остальных тел.

Теорема об изменении кинетического момента формулируется следующим образом: полная производная по времени от вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра по величине и направлению равна главному моменту внешних сил, приложенных к механической системе, определенному относительно того же центра:

(3.1.2)

Здесь – кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра ; он является мерой движения системы вокруг этого центра и складывается из кинетических моментов всех точек и тел, входящих в эту систему; – главный момент внешних сил относительно неподвижного центра .

Определим главный момент внешних сил:

, где и – плечи сил тяжести шарика и треугольника;

(3.1.3)

Определим кинетический момент системы. Он складывается из кинетических моментов шарика и треугольника: .

Рисунок 3.1.1. Составление уравнения движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента

, где модуль переносной скорости равен .

(3.1.4)

, – момент инерции треугольника относительно шарнира . Определим его по теореме Штейнера:

(3.1.5)

(3.1.6)