150245 (Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "физика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "150245"
Текст 2 страницы из документа "150245"
Фиксируем координату 
, даем виртуальное перемещение 
, находим элементарную работу:
2. Вычислим потенциальную энергию системы:
Найдем обобщенные силы:
Подставив производные левой части уравнений (2.1.1) и обобщенные силы 
и 
в уравнения (2.1.1), получим дифференциальные уравнения движения системы:
Для решения системы дифференциальных уравнений движения механической системы проведем численное интегрирование на ЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.
Для проверки численного интегрирования найдем, исходя из полученных данных, значения потенциальной и кинетической энергии механической системы. Суммируя значения потенциальной и кинетической энергии механической системы проверим, выполняется ли Закон сохранения энергии (см. приложение №2).
2.2 Определение реакций в опорах методом кинетостатики
Выберем для нашей системы неподвижную систему координат О1X1Y1, (cм. рис.4).
Рис.4. Силы, действующие на систему
Уравнения кинетостатики в векторной форме имеют вид
(2.2.1)
где 
- главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции;
- главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции относительно точки О1.
Сила инерции шарика как материальной точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относительной, переносной и кориолисовой сил инерции:
,
Сила инерции пластины будет равна:
Модули сил инерции равны
, 
, 
(2.2.2)
Изобразим активные силы, реакции опоры и силы инерции, действующие на механическую систему (рис. 4). Векторные уравнения кинетостатики (2.2.1) в проекциях на оси неподвижной системы координат OX1Y1 имеют вид
(2.2.3)
C учётом выражений для сил инерции (2.2.2), уравнения (2.2.3) принимают вид
Найденные уравнения реакций шарнира и вращательного момента совпадают с теми, что были найдены в предыдущих частях курсовой работы.
3. Поведения системы в условиях малых колебаний
3.1 Положения равновесия механической системы и их устойчивость
Для определения положения равновесия механической системы воспользуемся выражением для потенциальной энергии системы, которое было выведено нами во втором разделе курсовой работы (см. п. 4):
(3.1.1)
Найдем возможные положения равновесия системы. Значение обобщенных координат в положениях равновесия есть корни системы уравнений:
Решая систему уравнений, получаем два возможных положение равновесия:
.
Для оценки устойчивости полученных положений равновесия определим обобщенные коэффициенты жесткости. Найдем все вторые производные потенциальной энергии (3.1) по обобщенным координатам:
Для первого положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:
Воспользуемся критерием Сильвестра:
Для второго положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:
Воспользуемся критерием Сильвестра:
Таким образом, система принимает единственное устойчивое положение равновесия при: 
3.2 Частоты главных колебаний. Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях
Для нахождения частот и форм главных колебаний, выпишем полученные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости в положении устойчивого равновесия, при: .
В положении равновесия:
(3.2.1)
Запишем дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы:
Составим характеристическое уравнение:
Или в развернутом виде:
Найдем корни характеристического уравнения, подставляя в уравнение найденные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости:
Определим коэффициенты форм колебаний:
Таким образом, движение рассматриваемой системы при собственных колебаниях будет происходить по следующему закону:
(3.2.2)
3.3Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях
Найдем значения постоянных интегрирования 
системы уравнений (3.2.2) для следующих начальных условий:
Решая систему уравнений, получим:
С учетом полученных значений постоянных интегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний:
Список использованной литературы
-
Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А. Динамика точки и механической системы. – Самара: СГАУ. – 2001. – 84 с.
-
СТП СГАУ 6.1.4. – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов: методические указания.
