Алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу, равна сумме утекающих от этого узла токов. Или же алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Второй закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура. (В каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением обхода контура, и со знаком минус, если их направление не совпадает)

Блок ИОО3

Прежде чем приступить к составлению уравнений по законам Кирхгофа, необходимо установить, сколько независимых уравнений составляется по каждому из этих законов. Уравнения по I закону Кирхгофа, связывающие m неизвестных токов, могут быть записаны для каждого из узлов цепи. Однако использовать для совместного решения можно только n—1 уравнений, т.к. уравнение, записанное для последнего узла, окажется следствием всех предыдущих уравнений. По II закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей m за вычетом числа уравнений, составленных по I закону Кирхгофа (n — 1), т.е. p = m — (n — 1) = m — n + 1, где p — количество независимых контуров.

1. Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел и совокупность p = m — n + 1 независимых контуров.

3. Для всех узлов, кроме опорного, составить уравнения по I закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть (n — 1).

4. Для каждого выбранного контура составить уравнения по II закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть p.

5. Система m уравнений Кирхгофа с m неизвестными токами решается совместно и определяются численные значения токов.

6. Если необходимо, рассчитать с помощью обобщенного закона Ома напряжения ветвей или разность потенциалов узлов.

7. Проверить правильность расчета с помощью баланса мощности.

Блок ИОО4

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.

3. Определить собственные, общие сопротивления и контурные ЭДС и подставить их в систему уравнений вида (2.3).

4. Разрешить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера.

5. Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа.

6. В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.

7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности

Блок ИОО5

Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того, чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, — один из основных расчетных методов. В том случае, когда п-1 < p (n — количество узлов, p — количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел (jn)и пронумеровать все остальные (n-1)-e узлы.

3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.

4. Записать систему уравнений в виде — матричная форма

Или в развернутом виде - алгебраическая форма

В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение.

5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n — 1) потенциалов при помощи метода Крамера.

6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.

7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.

Блок ИОО6

Метод Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем) с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде (i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

Блок ИООп1

Пример на первый закон кирхгофа

Для узла I1+I2-I3-I4=0

А возможен и такой вариант, когда все токи оттекают от узла. –I1-I2-I3=0

Блок ИООп2

Пример на второй закон кирхгофа

В данном случае уже выбрано направление обхода контура.

Ток в данном случае будет только один. I(R1+R2)=E

А в следующем случае мы имеем два источника ЭДС, причем направление Е2 не совпадает с направлением обхода контура.

I(R1+R2)=E1-E2

Блок ИООп3

Пример на составление уравнений для схемы по законам кирхгофа

1. Выбираем положительные напрвления токов и направления обхода контуров.

2. Составляем уравнения по 1 закону кирхгофа

I1-I3-I6=0

-I1+I5-I2=0

I3+I4-I5=0

1. Составляем уравнения по второму закону кирхгофа.

I1R1+I3R3+I5R5=E1

I2R2+I4R4+I5R5=E1

-I3R3+I4R4+I6R6=E2

4. Решаем систему уравнений

5. Делаем проверку балансом мощностей.

Для этого складываем мощности на резисторах и сравниваем их с мощностями источников. Т.е.

Блок ИООп4

Метод контурных токов: уравнения, составленные по 2 закону кирхгофа

В данном случае имеем два независимых контура

abca:

abda:

Блок ИООп5

Метод контурных токов. Определение токов в ветвях по найденным контурным.

Ток

Ток

Так как направления контурных токов в этой ветви совпадают

Ток

Блок ИООп6

1. Произвольно выбираем направления контурных токов и токов ветвей.

2. Составляем уравнения на основе второго закона кирхгофа для контуров:

Контур adbna:

Контур admca:

Контур acbna:

1. Решаем систему уравнений и находим контурные токи.

2. Находим токи ветвей

1. Проводим проверку с помощью баланса мощностей.

Блок ИООп7

Метод узловых потенциалов. Пример на составление уравнений по 1 закону киргофа. Уравнения составляются в виде

Где проводимость ветвей сходящихся в узле b

проводимости ветвей, непосредственно соединяющих узел b и Х, взятая со знаком минус.

Для учета источников необходимо помнить следующее. Если ЭДС источника направлена к узлу, тогда слагаемое берется со знаком плюс, если от него, то со знаком минус.

Исходя из всего вышесказанного составим систему уравнений.

где

Блок ИООп8

Метод узловых потенциалов. Пример определения значений токов по найденным значениям потенциалов.

Применим обобщенный закон Ома для определения токов в ветвях.

В данном случае ЭДС имеет то же направление что и ток, поэтому входит в выражение со знаком плюс.

Блок ИООп9

Пример расчета параметров цепи методом узловых потенциалов.

1. Заземлям узел a, произвольно выбираем положительные направления для токов ветвей.

2. Определяем собственные и взаимные проводимости для узлов.

1. Составим систему уравнений.

Решая систему, находим потенциалы точек b и c, потенциал точки а равен нулю.

1. Определяем с помощью обобщенного закона Ома и найденных потенциалов токи ветвей.

1. Делаем проверку балансом мощностей

Блок ЗОО1

Задачи на первый закон кирхгофа

Составьте уравнения по первому закону кирхгофа для приведенных ниже узлов.

(Эталон

(Эталон

Блок ЗОО2

Задачи на применение второго закона кирхгофа.

Для приведенных контуров составьте уравнения по второму закону кирхгофа.

(Эталон

Acb

Bcd

Acd )

Блок ЗОО3

Следующий блок задачь предполагает что обучаемый будет выполнять все действия по решению задачи самостоятельно.

Блок ЗОО4

Задачи на составление уравнений по второму закону кирхгофа для метода контурных токов.

Для приведенных ниже схем составьте системы уравнений на основе второго закона кирхгофа для метода контурных токов.

Блок ЗОО5

На приведенных схемах выразите токи ветвей через контурные токи.

Блок ЗОО6

Рассчитайте токи в схемах методом контурных токов.

Блок ЗОО7

Для приведенных схем составьте уравнения по методу узловых потенциалов.

Блок ЗОО8

С помощью обобщенного закона Ома и значений узловых потенциалов определите токи ветвей.

Блок ЗОО9

Рассчитайте токи ветвей следующих схем при помощи метода узловых потенциалов

Блок КОО1

Составьте уравнения по первому закону кирхгофа для следующих узлов

Блок КОО2

Составьте уравнения по второму закону кирхгофа для схем

Блок КОО3

Рассчитайте токи ветвей при помощи законов кирхгофа

Сложность 1

Сложность 2

Сложность 3

Блок КОО4

Составьте уравнения для расчета схемы методом контурных токов.

Блок КОО5

Определите токи ветвей по найденным контурным токам.

Блок КОО6

Рассчитайте токи ветвей в приведенных ниже схемах методом контурных токов.

Сложность 1

Сложность 2

Сложность 3

Блок КОО7

Составьте систему уравнений для расчета параметров схем методом узловых потенциалов.

Блок КОО8

Определите токи ветвей при условии, что известны узловые потенциалы.

Блок КОО9

Рассчитайте токи ветвей методом узловых потенциалов.

Сложность 1

Сложность 2

Сложность 3

На этом собственно разработка модели и сценария курса закончены, следующий этап подразумевает программную реализацию курса с последующим тестированием.