112802 (Методика изучения неравенств), страница 2

Каждый простейший класс тесно связан с классом соответствующих функций; по существу, формулы решений и исследование простейших неравенств здесь опираются на свойства функций. В начале изучения каждого простейшего класса учащимся приходится преодолевать трудности, связанные с освоением специфической символики, в частности узнавать новые формы записи чисел и числовых областей, в которых должен быть получен ответ к заданию. При решении заданий часто используются наряду с известными специфические для соответствующего класса функций тождества. Значительно чаще, чем в предшествующей части курса, в решении неравенств используются неравносильные преобразования, широко используются подстановки. Поэтому весь этот материал требует достаточной логической грамотности учащихся.

Специфика трансцендентных неравенств. При рассмотрении различных классов трансцендентных неравенств необходимо уделять достаточное внимание формированию навыка применения тождеств для преобразования данных неравенств. Особенно ярко это проявляется в тригонометрии, поэтому при изучении тригонометрических неравенств большое значение приобретают задания и системы вопросов, связанные с распознаванием применимости того или иного тождества, возможности приведения уравнения или неравенства к определенному виду.

Здесь значительные трудности связаны с тем, что некоторые тождества, используемые в преобразованиях, приводят к изменению области определения. К числу таких тождеств относятся, например, такие:

Использование этих тождеств слева направо может привести к потере корней, а справа налево - к появлению посторонних корней. Рассмотрим примеры.

Здесь учет ограничений при использовании тождества для логарифма произведения выполнен при втором переходе, в результате чего неравенство преобразовалось в систему неравенств, из которых два последних позволяют сохранить исходную область определения неизменной.

В результате выполнения аналогичных заданий можно сделать вывод: если приходится пользоваться преобразованиями, расширяющими область определения, то для сохранения равносильности необходимо дополнительно ввести ограничения, сохраняющие исходную область определения неизменной.

Заключение

В данной курсовой работе мы рассмотрели методику преподавания темы "Неравенства" в начальных и старших классах средней школы.

Неравенство числовое - высказывание вида а < b или а > b, где < - отношение строгого порядка, а отношение ≤ - отношение нестрогого порядка на некотором множестве чисел.

Неравенство с переменной - высказывательная форма вида А≤ В, где А или В - высказывательная форма.

Множество значений переменной х (или нескольких переменных), при которых высказывательная форма А < В или А ≤ В истинна, называется множеством истинности этой формы или решением неравенства с переменной.

Иногда неравенство с переменной определяют менее формально, но более, может быть, доступно: два выражения, соединенные знаком неравенства ( - знаки неравенства).

Неравенство, содержащее знак > или <, называют строгим; содержащее знак ≤ или ≥, называют нестрогим. Отношения "меньше" и "больше" для чисел а и b взаимосвязаны: если а>b, то b<а; если аа.

К обеим частям истинного (верного) числового неравенства можно прибавлять одно и то же число, в результате получим истинное неравенство. Умножая обе части истинного числового неравенства аbс.

Содержание линии неравенств развертывается на протяжении всего школьного курса математики. Учитывая важность и обширность материала этой линии, еще раз отметим целесообразность на заключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и сложные задания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонентов этой линии, основных понятий и основных приемов решения, исследования и обоснования заданий.